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1、第十章,曲線回歸,,本章介紹可以直線化的曲線回歸的類型，以生長型曲線為例說明曲線的直線化配合，曲線回歸方程的擬合度,,第一節(jié) 曲線回歸的意義,,直線回歸的局限 1、兩變量之間的關(guān)系不完全是直線關(guān)系 2、簡單相關(guān)不顯著并不表示兩變量間無相關(guān) 3、兩變量間更普遍的關(guān)系是曲線關(guān)系 4、直線回歸僅是曲線回歸的一種特殊形式 5、直線回歸是曲線回歸中的一部分,,曲線配合的一般步驟： 1、確定回歸關(guān)系的類型：線性 非線性（曲線形狀） 2、確定回歸關(guān)系的參數(shù)、相關(guān)指數(shù)、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤 3、對所得回歸方程作顯著性檢驗(yàn) 曲線方程可分為兩種： 可直線化的曲線方程 不可直線化的曲線方程（多項(xiàng)式）
2、因此，首先應(yīng)確定兩變量的曲線關(guān)系是哪一種,,第二節(jié) 曲線類型及其方程,,本章僅討論可以直線化的曲線方程 函數(shù)型曲線方程 （一）冪函數(shù) 直線化：兩邊取對數(shù)： 令： 則有： 對 求 A 和 b， 并得 即可得：a、b，建立方程 （雙對數(shù)轉(zhuǎn)換，即對 x、y 均求對數(shù)后輸入）,,,,,,,,,,（二）指數(shù)函數(shù) 或 直線化：兩邊取對數(shù)： 令： 則有 對 求A 并得 即可得 a、b，建立方程 （單對數(shù)變換，即對 y 求對數(shù)后與 x 一起輸入）,,,,,,,,,,（三）雙曲線函數(shù) 令： 則 對 x 求 X 即可得 中的 a、b （倒數(shù)變換，即取 x 的倒數(shù)，與
3、y 一起輸入） 此外還有一些曲線方程： 下面是幾種可以轉(zhuǎn)換為直線方程的曲線函數(shù)圖形：,,,,,,,,,,曲線回歸的計(jì)算器計(jì)算方法： 計(jì)算器將出現(xiàn)如下畫面：,mode,3,Lin Log Exp 1 2 3,,<,Pwr Inv Quad 1 2 3,,,,,（Lin） 線性回歸： （Log）對數(shù)回歸： （Exp）指數(shù)回歸： （Pwr）冪函數(shù)回歸： （inv） 雙曲線回歸： （Quad）拋物線回歸：,1,2,3,1,,,2,,3,,（四）S型曲線 陸生、水生動(dòng)物的種群增長、微生物種群增長、細(xì)胞的生（增）長等都是這一模式 因此，S型曲線又稱為生長型曲線、logisti
4、c曲線，其變換形式有以下幾種：,,,,,,,,,,,類似的生長型曲線還有 Gompertz 曲線： 其變換形式： Bertalanffy 曲線：,,在這些曲線方程中，無一例外的都有3個(gè)需要計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量：k、a、b K 是當(dāng) x 趨向于 +時(shí) y 所能達(dá)到的最大值，往往是未知的，因此也是需要進(jìn)行計(jì)算的 這是生長曲線與其他可以直線化的曲線方程不同的地方 這些曲線方程中的 x 往往是時(shí)間單位，因此一般可用 t 表示，而 y 往往是群體的增長量，或群體增長倍數(shù)，所以也可以用 N 表示 我們這里僅對典型的 S 型曲線方程進(jìn)行直線化，其他變換類型的方程直線化可以仿此進(jìn)行,,測得某微生物在一定溫度下隨時(shí)間變
5、化的平均增長量 數(shù)據(jù)如下： 時(shí) 間t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 增長倍數(shù)N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 從下面的散點(diǎn)圖我們可以看出，可配合S型曲線： 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9,,,,,,,,,,,,,,,,,我們采用生長曲線的一般形式 進(jìn)行配合 變換，兩邊取對數(shù)，得： 并令： 從數(shù)據(jù)表中取三個(gè)等距的點(diǎn)代入上式（一般總?cè)∈键c(diǎn)、中點(diǎn)、末點(diǎn)）：（1，1.3）、（5，6.8）、（9，9.5）,,,,,,,解這一三元一次方程組，消去a、b，得： 則 這
6、是一個(gè)通式，任何配置 S 型曲線的數(shù)據(jù)資料均可使用這一公式求得 k 值 將上式中的 代入 式，得 即為 k 的解 將k=9.78代入 可得和t相對應(yīng)的各個(gè)Y值,,,,,,,,將這些 Y 值寫在數(shù)據(jù)表下方對應(yīng)處，用最小二乘配置法配置直線 時(shí) 間t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 增長倍數(shù)N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 1.88 1.71 1.02 0.54 -0.82 -1.81 -1.89 -2.59 -3.52,,,,,,,得一級數(shù)據(jù)： 或?qū)r(shí)間 t 和 Y 值輸入計(jì)算器
7、直接進(jìn)行計(jì)算,,則 將k、a、b代入方程，即得： 或：,,,,,,,在這一類例子中，時(shí)間往往是有效單位時(shí)間，如一周、一月、一年、一個(gè)時(shí)間段等，如需換算成具體時(shí)間如天、小時(shí)、分等，則需將其換算值代入 t 值即可 另外，在一般的通式中，我們往往以 x、y 作為自變量和依變量的符號，但在具體問題中，有時(shí)為了更形象、更直觀地說明問題，可以用其他不同的字母（往往是相應(yīng)的英文名詞的首寫字母）來代替,,如長度用 L、時(shí)間用 t、增重倍數(shù)用 N、體重用 W 等 用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可直接將原始數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)庫，調(diào)用相應(yīng)的程序運(yùn)算即可,,第三節(jié) 曲線配合的擬合度,,曲線配合完成，其方程是否理想，同
8、一批數(shù)據(jù)采用不同的曲線方程進(jìn)行擬合，其效果如何，哪一種方程更好，可以用曲線方程的擬合度來衡量 曲線方程的擬合度就是相關(guān)指數(shù) R2 離回歸平方和 Q（實(shí)測值與預(yù)測值之差的平方和，即剩余回歸平方和）在總平方和中所占的比例越小，說明方程的效果越好，因此可以用剩余回歸平方和在總平方和中的比例來表示曲線配合的好壞：,,,在曲線回歸方程中，我們必須實(shí)際求得每一個(gè) ，然 后求出 ，而不能象簡單回歸一樣可以用有關(guān) 公式求出 在上例中： t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1
9、9.5 0.9445 1.7481 3.0030 4.6386 6.3326 7.7167 8.6448 9.1874 9.4797 0.1264 0.0615 0.1624 1.0788 0.2184 0.4669 0.0210 0.0076 0.0004,,,,,,,,,,,,,,,,R2 的平方根 R 稱為相關(guān)系數(shù)，為了和簡單相關(guān)系數(shù)r 有所區(qū)別，曲線回歸方程和多元回歸方程的相關(guān)系數(shù)稱為復(fù)相關(guān)系數(shù)，寫為 R 擬合度得到后，同樣需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的方法還是查 r 表 本例中，變量個(gè)數(shù)為 m = 2，自由度 df = 7，因此,,,同一批數(shù)據(jù)如果擬合了多條曲線回歸方程，應(yīng)當(dāng)將每一條曲線方程的相關(guān)系數(shù)相比較，原則上哪一個(gè)曲線方程的相關(guān)系數(shù)大，哪一個(gè)曲線方程就是最好的，當(dāng)然還應(yīng)當(dāng)結(jié)合專業(yè)知識來進(jìn)行判斷 （*）,,end,
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