考點50 離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差

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1、圓學(xué)子夢想 鑄金字品牌 溫馨提示: 此題庫為Word版,請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸,調(diào)節(jié)合適的觀看比例,關(guān)閉Word文檔返回原板塊。 考點50 離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差 一、選擇題 1. (2013·廣東高考理科·T4)已知離散型隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 p 則X的數(shù)學(xué)期望E(x)=( ) A. B. 2 C. D 3 【解題指南】本題考查離散型隨機變量的期望公式,可以直接代入計算. 【解析】選A. . 2. (2013·湖北高考理科·T9)如圖,將一個各面都凃了油漆的正方體,切割為125

2、個同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機取一個小正方體,記它的油漆面數(shù)為X,則X的均E(X)=( ) A. B. C. D 【解題指南】先求分布列,再求E(X)。 【解析】選B. E(X)= 二、填空題 3.(2013·上海高考理科·T10)設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差,隨機變量等可能地取值,則方差 【解析】,. 【答案】. 4.(2013·上海高考文科·T6)某學(xué)校高一年級男生人數(shù)占該年級學(xué)生人數(shù)的40%.在一次考試中,男、女生平均分數(shù)分別是75、80,則這次考試該年級學(xué)生平均分數(shù)為 . 【解析】 【答案】 78. 三

3、、解答題 5. (2013·四川高考理科·T18) 某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量x在1,2,3,…,24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生. (Ⅰ)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i=1,2,3); (Ⅱ)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復(fù)運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù). 甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 運行 次數(shù)n 輸出y的值 為1的頻數(shù) 輸出y的值 為2的頻數(shù) 輸出y的值 為3的頻數(shù) 30 14 6 10 … … … … 2 10

4、0 1 027 376 697 乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 運行 次數(shù)n 輸出y的值 為1的頻數(shù) 輸出y的值 為2的頻數(shù) 輸出y的值 為3的頻數(shù) 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 當n=2100時,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分數(shù)表示),并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大. (Ⅲ)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次,求輸出y的值為2的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解題指南】求解本題的關(guān)鍵是理解題意,并且弄清框圖的功能,找到隨

5、機變量可能的取值,列出分布列再求數(shù)學(xué)期望. 【解析】(Ⅰ)變量x是在1,2,3,…,24這24個整數(shù)中隨機產(chǎn)生的一個數(shù),共有24種可能. 當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出的y=1,故P1=; 當x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出的y=2,故P2=; 當x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出的y=3,故P3=. 所以輸出y的值為1的概率是,輸出y的值為2的概率是,輸出y的值為3的概率是. (Ⅱ) 當n=2100時,甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下: 輸出

6、y的值為1的頻率 輸出y的值為2的頻率 輸出y的值為1的頻率 甲 乙 比較頻率趨勢與概率,可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大. (Ⅲ)隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3. P(=0)=C30()0()3=, P(=1)=C31()1()2=, P(=2)=C32()2()1=, P(=3)=C33()3()0=. 故的分布列為 0 1 2 3 P 所以,E=0′+1′+2′+3′=1,即的數(shù)學(xué)期望為1. 6. (2013·四川高考文科·T18) 某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量在這個整數(shù)

7、中等可能隨機產(chǎn)生。 (Ⅰ)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出的值為的概率; (Ⅱ)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復(fù)運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù). 甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 運行 次數(shù)n 輸出y的值 為1的頻數(shù) 輸出y的值 為2的頻數(shù) 輸出y的值 為3的頻數(shù) 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 運行 次數(shù)n 輸出y的值 為1的頻數(shù) 輸出y的值 為2的頻數(shù) 輸出y的值 為3的

8、頻數(shù) 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 當時,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出的值為的頻率(用分數(shù)表示),并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大。 【解題指南】求解本題的關(guān)鍵是證明理解題意,并且弄清框圖的功能,在第(Ⅱ)問中應(yīng)比較頻率的趨勢與概率進行判斷. 【解析】(Ⅰ)變量x是在1,2,3,…,24這24個整數(shù)中隨機產(chǎn)生的一個數(shù),共有24種可能. 當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出y的值為1,故P1=; 當x從2,4,8

9、,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出y的值為2,故P2=; 當x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出y的值為3,故P3=. 所以輸出y的值為1的概率是,輸出y的值為2的概率是,輸出y的值為3的概率是. (Ⅱ) 當n=2100時,甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下: 輸出y的值為1的頻率 輸出y的值為2的頻率 輸出y的值為1的頻率 甲 乙 比較頻率趨勢與概率,可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大. 7.(2013·天津高考理科·T16)一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,

10、2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同). (1)求取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率. (2)在取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設(shè)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解題指南】(1)根據(jù)組合數(shù)原理求出符合條件的取法及總?cè)》?再求概率. (2)根據(jù)隨機變量X所有可能取值列出分布列,求數(shù)學(xué)期望. 【解析】(1)設(shè)“取出的4張卡片中, 含有編號為3的卡片”為事件A,則 所以,取出的4張卡片中, 含有編號為3的卡片的概率為. (2)設(shè)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4. 所以隨機變量X

11、的分布列是 X 1 2 3 4 P 隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望 8.(2013·浙江高考理科·T19)設(shè)袋子中裝有a個紅球,b個黃球,c個藍球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍球得3分. (1)當a=3,b=2,c=1時,從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機會均等)2個球,記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和,求ξ的分布列. (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球,記隨機變量η為取出此球所得分數(shù).若E(η)= ,D(η)= ,求a∶b∶c. 【解題指南】(1)在分析取到兩球的顏色時,要注意是有放回地抽取,即同一個球

12、可能兩次都能抽到;(2)根據(jù)計算數(shù)學(xué)期望與方差的公式計算,尋找a,b,c之間的關(guān)系. 【解析】(1)由題意得,ξ=2,3,4,5,6, 故 , , , , 所以的分布列為 2 3 4 5 6 (Ⅱ)由題意知的分布列為 1 2 3 所以 化簡得,解得 所以. 9. (2013·重慶高考理科·T18)某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定:在一次摸獎中,摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球,再從裝有1個籃球與2個白球的袋中任意摸出1個球,

13、根據(jù)摸出4個球中紅球與籃球的個數(shù),設(shè)一、二、三等獎如下: 獎級 摸出紅、藍球個數(shù) 獲獎金額 一等獎 3紅1藍 200元 二等獎 3紅0藍 50元 三等獎 2紅1藍 10元 其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級. (Ⅰ)求一次摸球恰好摸到1個紅球的概率; (Ⅱ)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額的分布列與期望. 【解題指南】首先設(shè)出相應(yīng)的事件,根據(jù)古典概型的公式求出恰好摸到一個紅球的概率,然后再求出相應(yīng)事件的概率列出分布列求出期望. 【解析】設(shè)表示摸到個紅球,表示摸到個藍球,則與獨立. (Ⅰ)恰好摸到1個紅球的概率為 (Ⅱ)的所有可能值為,且 綜上

14、知,的分布列為 從而有(元). 10. (2013·湖南高考理科·T18)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗,一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米. (1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率; (2)從所種作物中隨機選取一株,求它的年

15、收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望. 【解題指南】(1)本三角形地共有15株作物,其中內(nèi)部3株,邊界12株,結(jié)合題意求解相應(yīng)概率. (2)先弄清15株滿足相應(yīng)年產(chǎn)量的各有多少株,然后求出對應(yīng)的概率,寫出分布列再求期望. 【解析】(1)所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12,從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株的不同結(jié)果有種,選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種. 故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物,它們恰好“相近”的概率為. (2)先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量Y的分布列.

16、因為P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可,記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k=1,2,3,4),則n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由P(X=k)=得P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= =,P(X=4)= =, 故所求的分布列為 Y 51 48 45 42 P 所求的數(shù)學(xué)期望為 . 11. (2013·江西高考理科·T18)小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團還是參加學(xué)校排球隊,游戲規(guī)

17、則為:以O(shè)為起點,再從A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如圖)這8個點中任取兩點分別分終點得到兩個向量,記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X=0就參加學(xué)校合唱團,否則就參加學(xué)校排球隊. (1)求小波參加學(xué)校合唱團的概率; (2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解題指南】(1)將基本事件總數(shù)求出,然后找所求概率事件的基本事件數(shù),由古典概型公式求得結(jié)果;(2)先確定X的可能取值,然后再計算各個概率值即得分布列,最后計算期望值. 【解析】(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有種,時,兩向量夾角為直角共有8種情形.所以小波參加學(xué)校合唱團的概率為. (2)兩向量數(shù)量積的所有可

18、能取值為-2,-1,0,1. 時,共有2種情形,時,有10種情形,有8種情形. 所以X的分布列為 X 0 1 P . 12. (2013·山東高考理科·T19)甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率是 .假設(shè)每局比賽結(jié)果互相獨立. (Ⅰ)分別求甲隊以3:0,3:1,3:2勝利的概率? (Ⅱ)若比賽結(jié)果為3:0或3:1,則勝利方得3分,對方得0分;若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分、對方得1分,求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解題指南】(Ⅰ)本題考查了相互獨

19、立事件的概率;(Ⅱ)本題考查的是隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,先列出X的所有值,并求出每個X值所對應(yīng)的概率,列出分布列,然后根據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望. 【解析】(Ⅰ)記“甲隊以3:0勝利”為事件A1,“甲隊以3:1勝利”為事件A2,“甲隊以3:2勝利”為事件A3,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立, 故, , , 所以甲隊以3:0勝利、以3:1勝利的概率都為,甲隊以3:2勝利的概率為. (Ⅱ)設(shè)“乙隊以3:2勝利”為事件A4,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立, 所以. 由題意,隨機變量的所有可能的取值為0,1,2,3, 根據(jù)事件的互斥性得 , 又, , 故的分布列為 0

20、1 2 3 P 所以E=. 13.(2013·北京高考理科·T16)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天 (1)求此人到達當日空氣重度污染的概率 (2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望。 (3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要求證明) 【解題指南】(1)這是古典概型的概率計算問題,分別求出基本事件空間的基本事件總數(shù)、所求事件包含的基本事件總數(shù),作比即

21、可求出概率。 (2) 天數(shù)的可能取值為0,1,2,列出分布列,再求期望。 (3) 從圖中找一找哪三天的波動最大,則方差也就最大。 【解析】(1)某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,共有13種可能。到達當日空氣重度污染有2種可能。所以概率為。 (2)X可能取值為0,1,2.分布列如下 X 0 1 2 P 。 (3)5,6,7三天。 14.(2013·福建高考理科·T16)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會,每

22、次抽獎中獎與否互不影響,晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品. (1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為X,求X≤3的概率. (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大? 【解題指南】先求出X的取值情況,逐一求出對應(yīng)事件的概率,利用期望公式求出兩種方案的期望,然后進行比較. 【解析】(1)由已知得:小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,且兩人中獎與否互不影響,記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A,則A事件的對立事件為“X=5”, 因為, 所以P(A)=1-P(X=5)= , 所以這兩人的累計得分X≤3的

23、概率為. (2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數(shù)為X1,都選擇方案乙抽獎中獎的次數(shù)為X2,則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1),選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2), 由已知: ,, 所以,, 所以E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= , 因為E(2X1)>E(3X2), 所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學(xué)期望最大. 15. (2013·陜西高考理科·T19)在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的

24、歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機選3名歌手. (1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率. (2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解題指南】利用相互獨立事件的概率乘法公式即可得解;通過確定隨機變量X的取值,求隨機變量X的分布列,求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望三步完成. 【解析】(1) 設(shè)事件A 表示:觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手。 觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙未選中3號歌手的概率為。 所以P(A) = . 因此,觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未

25、選中3號歌手的概率為. (2) X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,則X可取0,1,2,3. 觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙、丙選中3號歌手的概率為。 當觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時,這時X=0,P(X = 0) = . 當觀眾甲、乙、丙中只有1人選中3號歌手時,這時X=1,P(X = 1) = . 當觀眾甲、乙、丙中只有2人選中3號歌手時,這時X=2,P(X = 2) = . 當觀眾甲、乙、丙均選中3號歌手時,這時X=3,P(X =3) = . X的分布列如下表: X 0 1 2 3 P 所以,數(shù)學(xué)期望. 16. (2013

26、·新課標全國Ⅱ高考理科·T19)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量.T(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤. (1)將T表示為x的函數(shù) (2)根據(jù)直方圖估計利潤T,不少于57000元的概率; (3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值, 需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如:

27、若x)則取x=105,且x=105的概率等于需求量落入的頻率),求T的數(shù)學(xué)期望。 【解題指南】(1)依題意,可求得T關(guān)于x的分段函數(shù); (2)由頻率分布直方圖可知,知利潤T不少于57000元當且僅當用頻率估計概率,可概率的估計值; (3)由分布列,代入期望公式,得所求. 【解析】(1)當時,, 當時, 所以 (2)由(1)知利潤T不少于57000元當且僅當 由直方圖知需求量的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為 T 45000 53000 61000 65000 P 0.1

28、 0.2 0.3 0.4 所以 ET= 17. (2013·新課標Ⅰ高考理科·T19)一批產(chǎn)品需要進行質(zhì)量檢驗,檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗,若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗. 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立 (Ⅰ)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率; (Ⅱ)已知每件產(chǎn)品檢驗費用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗,對這批產(chǎn)品作質(zhì)

29、量檢驗所需的費用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解題指南】(Ⅰ)由事件的獨立性和互斥性,并結(jié)合產(chǎn)品通過檢驗的情形確定這批產(chǎn)品通過檢驗的概率; (Ⅱ)根據(jù)題意,先確定的可能取值,然后求出相應(yīng)的概率,列出分布列利用期望公式求出期望. 【解析】(Ⅰ)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件,第二次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件,這批產(chǎn)品通過檢驗為事件.依題意有,且A1B1與A2B2互斥,所以 . (Ⅱ)的可能取值為,,, 所以的分布列為 (元) 18

30、.(2013·大綱版全國卷高考理科·T20)甲、乙、丙三人進行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽,另一人當裁判,每局比賽結(jié)束時,負的一方在下一局當裁判,設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結(jié)果都相互獨立,第局甲當裁判. (I)求第局甲當裁判的概率; (II)表示前局中乙當裁判的次數(shù),求的數(shù)學(xué)期望. 【解析】(I)記表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”, 表示事件“第3局甲參加比賽時,結(jié)果為甲負”, 表示事件“第4局甲當裁判”.則.. 方法一:(II)的可能值為 記表示事件“第3局乙和丙參加比賽時,結(jié)果為乙勝丙”, 表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”, 表示事件“第2局乙和甲比賽時,結(jié)果為乙勝甲”

31、, 表示事件“第3局乙參加比賽時,結(jié)果為乙負”, , , , 方法二:(II)由于第一局甲當裁判,乙可能當裁判次數(shù)的可能值為0,1,2 當裁判次數(shù)為0: 乙第一局,第二局與第三局贏,第四局決定第五局裁判權(quán),所以不用管第四局輸贏. 所以. 當裁判次數(shù)為1:有三種情況 第一局乙輸,第二局乙當裁判,第三局乙贏,概率為; 第一局乙贏,第二局乙輸,第三局當裁判,概率為 第一局乙贏,第二局乙贏,第三局乙輸,第四局當裁判概率為。 所以.當裁判次數(shù)為2: 第一局乙輸,第二局當裁判,第三局乙輸,第四局當裁判. 所以. 的分布列為 所以. 1

32、9.(2013·遼寧高考理科·T19)現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學(xué)從中任取3道題解答。 求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率; 已知所取到的3道題中有2道甲類題,1道乙類題。設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立。用表示張同學(xué)答對題的個數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望。 【解題指南】諸如“至少有一個”等問題,可以結(jié)合對立事件的概率來求解;對于隨機變量的研究,需要了解隨機變量將取哪些值以及取這些值時對應(yīng)的事件及其概率,列出其分布列,正確應(yīng)用均值公式進行計算 【解析】記事件“張同學(xué)所取的3道題至少取到1道乙類題”;則“張同學(xué)所取的3道題全

33、為甲類題”; 事件“張同學(xué)所取的3道題全為甲類題”共有種取法;而“從10道題中任取3道題”共有種取法; 所以故 所以張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率為 張同學(xué)答對題的個數(shù)的可能值為0,1,2,3. 表示張同學(xué)沒有答對一道題,; 表示張同學(xué)答對一道題,包含以下兩種可能,“答對一道甲類題”、“答對一道乙類題”, 因此; 表示張同學(xué)答對二道題,包含以下兩種可能,“答對二道甲類題”、“答對一道甲類題和一道乙類題”, 因此; 表示張同學(xué)所取得的三道題全部答對, 因此; 所以的分布列為 0 1 2 3 故的數(shù)學(xué)期望為 關(guān)閉Word文檔返回原板塊。 - 23 -

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