信息論基礎(chǔ)-信道容量的計(jì)算

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1、1,,,,,2.2.二進(jìn)刪除信道M信道 X=0,1; Y=0,2,1,0 1-p 0,p,p,1 1-p 1,2,離散無記憶信道和信道容量,C=1-p 最佳入口分布為等概分布,2,對(duì)稱離散信道的信道容量,I(X;Y)=H(Y)-H(Y/X) 而,H(Y/X=x)是對(duì)矩陣的行求和，是與x無關(guān)的一個(gè)常數(shù)，即,因此,當(dāng)輸出等概分布時(shí)，即H(Y)=logs時(shí)信道容量才能達(dá)到。,離散無記憶信道和信道容量,3,那么，在什么樣的信源輸出情況下，信道輸出能等概分布呢？ 可以證明，,輸入等概分布時(shí)，輸出也等概分布,離散無記憶信道和信道容量,4,Eg. 求信道容量,離散無記憶信道和信道容量,5,我

2、們首先從一個(gè)例子開始 例：二元無記憶對(duì)稱信道得二次擴(kuò)展信道。 二元記憶對(duì)稱信道為,離散無記憶信道和信道容量,6,可以將信道的擴(kuò)展和信源的擴(kuò)展聯(lián)系起來看，當(dāng)信源擴(kuò)展以后，信道也就稱為了擴(kuò)展信道。,則它的二次擴(kuò)展信道為：,離散無記憶信道和信道容量,7,因此，如果信源、信道都是無記憶的,這就是離散無記憶信道序列的信道容量，該信道容量在信源是無記憶信源且每一個(gè)輸入變量Xi 達(dá)到最大入口分布時(shí)達(dá)到。,,離散無記憶信道和信道容量,8,數(shù)據(jù)可靠傳輸和信道編碼,4.1 離散無記憶信道和信道容量 4.2 信道容量的計(jì)算 4.3 信道編碼理論 4.4 帶反饋的信道模型 4.5 聯(lián)合信源-信道編碼定理 4.6 線性

3、分組碼 習(xí)題四,9,,10,,接入信道容量的分析與尋呼信道不一樣，尋呼信道用于前向鏈路，容量的分析主要在于對(duì)尋呼信道占用率的計(jì)算，而接入信道用于反向鏈路，對(duì) CDMA 系統(tǒng)來說，反向鏈路容量主要用于干擾的分析。即使采用時(shí)隙化的隨機(jī)接入?yún)f(xié)議，接入信道也可能有較高的通過量，大量的接入業(yè)務(wù)會(huì)在反向鏈路中產(chǎn)生無法接受的干擾。如前所述，第一個(gè)接入試探失敗后，下一個(gè)接入試探將增加一定量的功率，最終的結(jié)果將導(dǎo)致小區(qū)接收功率的增加以及反向鏈路容量的減少。 為了保證話音業(yè)務(wù)信道的容量，應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)合適的接入信道，以限制接入對(duì)反向鏈路容量的干擾。一般情況下，我們保持接入信道干擾余量在業(yè)務(wù)信道負(fù)載的 10% 以下,業(yè)

4、務(wù)信道負(fù)載定義如下：對(duì)某個(gè)用戶來說，CDMA 系統(tǒng)中的其他用戶都是干擾，這種干擾提高了接收機(jī)的噪聲基底，降低了接收機(jī)的靈敏度。,11,,CDMA是碼分多址的英文縮寫(Code Division Multiple Access)，它是在數(shù)字技術(shù)的分支--擴(kuò)頻通信技術(shù)上發(fā)展起來的一種嶄新而成熟的無線通信技術(shù)。CDMA技術(shù)的原理是基于擴(kuò)頻技術(shù)，即將需傳送的具有一定信號(hào)帶寬信息數(shù)據(jù)，用一個(gè)帶寬遠(yuǎn)大于信號(hào)帶寬的高速偽隨機(jī)碼進(jìn)行調(diào)制，使原數(shù)據(jù)信號(hào)的帶寬被擴(kuò)展，再經(jīng)載波調(diào)制并發(fā)送出去。接收端使用完全相同的偽隨機(jī)碼，與接收的帶寬信號(hào)作相關(guān)處理，把寬帶信號(hào)換成原信息數(shù)據(jù)的窄帶信號(hào)即解擴(kuò)，以實(shí)現(xiàn)信息通信。,12,

5、,移動(dòng)通訊技術(shù)的分類 移動(dòng)通信系統(tǒng)有多種分類方法。例如按信號(hào)性質(zhì)分，可分為模擬、數(shù)字；按調(diào)制方式分，可分為調(diào)頻、調(diào)相、調(diào)幅；按多址連接方式分，可分為頻分多址(FDMA)、時(shí)分多址(TDMA)、碼分多址(CDMA)。 目前中國(guó)聯(lián)通、中國(guó)移動(dòng)所使用的GSM移動(dòng)電話網(wǎng)采用的便是FDMA和TDMA兩種方式的結(jié)合。GSM比模擬移動(dòng)電話有很大的優(yōu)勢(shì)，但是，在頻譜效率上僅是模擬系統(tǒng)的3倍，容量有限；在話音質(zhì)量上也很難達(dá)到有線電話水平；TDMA終端接入速率最高也只能達(dá)到9.6kbit/s；TDMA系統(tǒng)無軟切換功能，因而容易掉話，影響服務(wù)質(zhì)量。因此，TDMA并不是現(xiàn)代蜂窩移動(dòng)通信的最佳無線接入，而CDMA多址技

6、術(shù)完全適合現(xiàn)代移動(dòng)通信網(wǎng)所要求的大容量、高質(zhì)量、綜合業(yè)務(wù)、軟切換等，正受到越來越多的運(yùn)營(yíng)商和用戶的青睞。,13,,CDMA的機(jī)理相關(guān)。CDMA是一個(gè)自擾系統(tǒng)，所有移動(dòng)用戶都占用相同帶寬和頻率，打個(gè)比方，將帶寬想像成一個(gè)大房子，所有的人將進(jìn)入惟一的大房子。如果他們使用完全不同的語言，他們就可以清楚地聽到同伴的聲音而只受到一些來自別人談話的干擾。在這里，屋里的空氣可以被想像成寬帶的載波，而不同的語言即被當(dāng)作編碼，我們可以不斷地增加用戶直到整個(gè)背景噪音限制住了我們。如果能控制住用戶的信號(hào)強(qiáng)度，在保持高質(zhì)量通話的同時(shí)，我們就可以容納更多的用戶。 數(shù)據(jù)可靠傳輸和信道編碼,14,互信息 I(X；Y）是輸入

7、信源的概率分布p(x)的上凸函數(shù)； 每個(gè)固定信道都有一個(gè)最大的信息傳輸率，即信道容量C.,,信道容量的計(jì)算知識(shí)回顧,15,最佳入口分布不一定是唯一的，但是最佳輸出分布是唯一的； 單位時(shí)間內(nèi)信道的最大信息傳輸率，即,,信道容量的計(jì)算,16,常見信道的信道容量C： 無噪信道,,信道容量的計(jì)算,,,17,常見信道的信道容量C： 離散對(duì)稱信道,,信道容量的計(jì)算,,,,,18,1 信道容量的計(jì)算原理 C是選擇不同的輸入概率分布p(x),在滿足 p(x)=1條件下，求互信息的極大值：,,信道容量的計(jì)算,,,,,,Lagrange乘子法,19,例1、設(shè)某二進(jìn)制數(shù)字傳輸系統(tǒng)接收判決器 的輸入信號(hào)電平、噪聲密度

8、分布及判決電平 如下圖所示. 試求： (1)信道模型；(2)平均互信息；(3)信道容量.,信道容量的計(jì)算,20,解2）令 ，則Y的概率分布為,信道容量的計(jì)算,,,,所以，,,,,21,3）為求信道容量，對(duì)平均互信息求駐點(diǎn)：,信道容量的計(jì)算,,,,令 ，解得p=3/5，這時(shí)互信息達(dá)最大值.,,將p=3/5代入（2），得到信道容為:C=0.32bit/sym.,22,2 達(dá)到信道容量輸入分布的充要條件,信道容量的計(jì)算,令,,定理4.2.2 一般離散信道的互信息I(X；Y)達(dá)到極大值（即等于信道容量）的充要條件是輸入概率分布p(x)滿足,,,23,結(jié)論：當(dāng)信道互信息達(dá)到信道容量時(shí)

9、，輸入信源符號(hào)集 中每一個(gè)信源符號(hào)對(duì)輸出端y提供相同的互信息，只是 概率為零的符號(hào)除外. 這個(gè)結(jié)論和直觀概念是一致的： 在某給定的輸入分布下，若有一個(gè)輸入符號(hào)xi對(duì)輸出y所 提供的互信息比其他輸入符號(hào)所提供的互信息大，那 么，我們就可以更多地使用這一符號(hào)來增大互信息.但 是，這就會(huì)改變輸入符號(hào)的概率分布，必然使這個(gè)符號(hào) 的互信息減小，而其他符號(hào)對(duì)應(yīng)的互信息增加。所以， 經(jīng)過不斷調(diào)整輸入符號(hào)的概率分布，就可使每個(gè)概率不 為零的輸入符號(hào)對(duì)輸出Y提供相同的互信息.,信道容量的計(jì)算,24,例2 一個(gè)信道的信道矩陣為,信道容量的計(jì)算,,求信道容量.,25,解：由x0和x2時(shí)信道的對(duì)稱性以及x1時(shí)的不可靠

10、傳輸，可以假定最佳輸入概率分布為,信道容量的計(jì)算,,這時(shí)，,,因?yàn)槟軌驖M足信道容量定理：,,,26,所以假定的輸入分布確實(shí)是最佳輸入分布，這時(shí) 信道容量為,信道容量的計(jì)算,,27,習(xí)題1：求下述信道的信道容量.,信道容量的計(jì)算,C=1 p(0)=p(2)=1/2, p(1)=0,28,習(xí)題2：求下述信道的信道容量.,信道容量的計(jì)算,,分析： 由于a3到b1、b2是等概的，可略；a1、a2均到b1 ，a4、a5均到b2，所以可只取a1、a5. 設(shè)輸入分布：p(a1)=p(a5)=1/2，p(ai)=0,p(a1)= p(a2)= p(a4)= p(a5)= 1/4，p(ai)=0,C=1,29,

11、Z信道,Z信道的信道矩陣：,設(shè)入口概率分布為：,則，輸出符號(hào)的概率分布：,從而，,30,可得：,注：這時(shí)要找某個(gè) 使得I(U;V)達(dá)到最大值，困難!,定理求法,Z信道,31,定理4.2.2 一般離散信道達(dá)到信道容量的充要條件是入口概率分布滿足,該定理表明，當(dāng)信道平均互信息達(dá)到信道容量時(shí)，輸入信源符號(hào)集中每一個(gè)符號(hào)對(duì)輸出端提供相同的互信息；只是概率為零的符號(hào)除外.,32,可得：,注：這時(shí)要找某個(gè) 使得I(U;V)達(dá)到最大值，困難!,定理求法,即,33,可整理為：,從而 ，,即，,解得：,Z信道,34,解方程組，求信道容量,由定理4.2.2可得：,即,令,35,可得,（*）,由于,兩邊求和，得,從

12、而，對(duì)應(yīng)的輸出概率分布為：,從而可得最大入口分布！,解方程組，求信道容量,36,例：,可列方程組：,解方程組，求信道容量,37,解之得：,解方程組，求信道容量,信道容量,最佳入口分布,38,信源與信道的匹配,信道的信道容量是固定的，如果某一信源通過該信道傳輸時(shí)，信息傳輸率達(dá)到了信道容量，我們認(rèn)為信源與信道達(dá)到匹配，否則，我們認(rèn)為有剩余. 定義：信道剩余度C-I(X;Y) 信道的相對(duì)剩余度,39,如何才能做到匹配呢？ 一般通信系統(tǒng)中，把信源發(fā)出的符號(hào)變成能在信道中傳輸?shù)姆?hào)，在傳輸時(shí)，要能夠盡量用較少的符號(hào)表示相同的信息，這樣就可以提高信息的傳輸率，從而提高信道的利用率. 這就是香農(nóng)無失真信源編碼理論，也就是無失真數(shù)據(jù)壓縮理論. 無失真信源編碼就是將信源輸出的消息變換成適合信道傳輸?shù)男滦旁吹南韨鬏?，而使新信源的符?hào)接近等概率分布，新信源的熵接近最大熵. 這樣，信源傳輸?shù)男畔⒘窟_(dá)到最大，信道剩余度接近于零，信源與信道達(dá)到匹配.,信源與信道的匹配,40,數(shù)據(jù)可靠傳輸和信道編碼,4.1 離散無記憶信道和信道容量 4.2 信道容量的計(jì)算 4.3 信道編碼理論 4.4 帶反饋的信道模型 4.5 聯(lián)合信源-信道編碼定理 4.6 線性分組碼 習(xí)題四,