誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章隨機(jī)誤差

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1、第二章 隨機(jī)誤差,教學(xué)目的和要求,通過本章內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生對(duì)誤差的概念有一個(gè)感性的了解。要求學(xué)生清楚為什么所有的測量均存在誤差 ,了解誤差公理，明確學(xué)習(xí)本課程的目的和意義。通過本章內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生對(duì)隨機(jī)誤差的產(chǎn)生原因、特點(diǎn)及處理方法有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)。要求學(xué)生清楚隨機(jī)誤差的產(chǎn)生原因、特征，服從正態(tài)分布隨機(jī)誤差的特征；掌握隨機(jī)誤差 特征值的確定方法；了解隨機(jī)誤差的分布；正確求解極限誤差。,重點(diǎn)和難點(diǎn),3- 3,主要內(nèi)容,隨機(jī)誤差系指測量結(jié)果與在重復(fù)條件下，對(duì)同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差。 隨機(jī)誤差等于誤差減去系統(tǒng)誤差。因?yàn)闇y量只能進(jìn)行有限次數(shù)，故可能確定的只是隨機(jī)誤差的估計(jì)值

2、。,第一節(jié)隨機(jī)誤差概述,隨機(jī)誤差是由人們不能掌握，不能控制，不能調(diào)節(jié)，更不能消除的微小因素造成。這些因素中，有的是尚未掌握其影響測量準(zhǔn)確的規(guī)律；有的是在測量過程中對(duì)其難以完全控制的微小變化，而這些微小變化又給測量帶來誤差。,第一節(jié)隨機(jī)誤差概述,例 題,舉例：用測長機(jī)測量1m長的鋼桿制件，測量溫度的允許范圍為（202）。為此，測量在恒溫室內(nèi)進(jìn)行，恒溫室溫度控制能力達(dá)到（200.5），滿足測量要求。但在測量時(shí)，恒溫室的溫度必然處在不斷地變化中，圍繞平均溫度20有微小的波動(dòng)，溫度時(shí)高時(shí)低，變化速度時(shí)快時(shí)慢。溫度的微小變化引起鋼桿制件長度和測量儀器示值的微小變化，且它們受溫度的影響又不一致，有快慢之別

3、，大小之分。這種影響又無法確定，因此造成隨機(jī)誤差。,隨機(jī)誤差性質(zhì)上屬隨機(jī)變量，其處理方法的理論依據(jù)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。具體參量可用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（算術(shù)平均值）、方差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）和置信概率等三個(gè)特征量來描述。,服從正態(tài)分布隨機(jī)誤差的特征,3- 10,第二節(jié) 隨機(jī)誤差的分布,,一、正態(tài)分布 隨機(jī)誤差概率分布密度函數(shù)表達(dá)式為：,圖24,,數(shù)學(xué)期望 E（）0 方 差 D（）2,標(biāo)準(zhǔn)偏差,,均勻分布又稱等概率分布，其概率密度函數(shù)為：,它的數(shù)學(xué)期望為： E（） 0,它的方差為：,,,它的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：,二、均勻分布,三、三角分布,三角分布的概率密度函數(shù)為：,3- 13,,數(shù)學(xué)期望：,E（） 0

4、,它的方差為：,,它的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：,,四、反正弦分布,它的概率密度為： 數(shù)學(xué)期望： E（） 0 方差為： 標(biāo)準(zhǔn)偏差為：,3- 14,,,,五、2分布,設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，，X相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則隨機(jī)變量 的概率密度為,3- 15,,,,特征量為：,六、t分布,設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），Y服從自由度為的2分布，則隨機(jī)變量 的概率密度 t分布的主要分布特征量為：,3- 16,,,,（232） （233）,七、F分布,設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，分別服從自由度為與的2分布，則隨機(jī)變量 的概率密度為,3- 17,,,,第三節(jié)

5、 算術(shù)平均值原理,在等權(quán)測量條件下，對(duì)某被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量，得到一系列測量值,常取算術(shù)平均值,作為測量結(jié)果的最佳估計(jì)。,一、算術(shù)平均值,算術(shù)平均值原理,,若測量次數(shù)無限增多，且無系統(tǒng)誤差下，由概率論的大數(shù)定律知，算術(shù)平均值以概率為1趨近于真值,因?yàn)?根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)n充分大時(shí)，有,最佳估計(jì)的意義,若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量 ，即滿足無偏性、有效性、一致性,滿足最小二乘原理,在正態(tài)分布條件下，滿足最大似然原理,該所有測量值對(duì)其算術(shù)平均值之差的平方和達(dá)到最小,該測量事件發(fā)生的概率最大,二、殘余誤差,3- 21,由算術(shù)平均值原理可知，算術(shù)平

6、均值是真值的最佳估計(jì)值，用算術(shù)平均值代替真值計(jì)算得到的誤差稱為殘余誤差。 在規(guī)定測量條件下，同一被測量的測量列x1，x2，，xn有算術(shù)平均值： 則稱 為殘余誤差。,,殘余誤差可求，又稱實(shí)用誤差公式。殘余誤差具有兩個(gè)重要特性。 （一）殘余誤差具有低償性殘余誤差代數(shù)和等于零 （二）殘余誤差平方和為最小,,,二、殘余誤差,一、單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差,定理：同一被測量，在相同條件下，測量列xi（x1，2，，n）中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差（也稱單次測量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度）是表征同一被測量值n次測量所得結(jié)果的分散性參數(shù)，并按下式計(jì)算： 式中：n測量次數(shù)（充分大）； i測量結(jié)果xi的隨機(jī)誤差。,,第四

7、節(jié) 測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差,例題,3- 24,單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差,,3- 25,,,,,0.2m,二、標(biāo)準(zhǔn)偏差的基本估計(jì)貝塞爾公式,定理：對(duì)同一被測量，在相同測量條件下，進(jìn)行有限次測量得測量列xi （i1，2，，n），則單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值為：,3- 26,,實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s的標(biāo)準(zhǔn)差,設(shè)在同一條件下，對(duì)被測量進(jìn)行n1次等精度測量，得測量列xi（i1，2，，n）。用貝塞爾公式即可求得單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差要s1。仍在該條件下，再進(jìn)行n2次測量，同樣又可得到單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差s2。我們發(fā)現(xiàn)，無論兩次的測量次數(shù)n1和n2是否相等，而s1和s2不一定相等，這說明由貝塞爾公式計(jì)算所得的測量標(biāo)準(zhǔn)偏差，也存在誤差。 標(biāo)準(zhǔn)

8、偏差s的標(biāo)準(zhǔn)偏差ss由下式確定，即,3- 27,,三、算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差,如果在相同條件下對(duì)同一量值作多組重復(fù)的系列測量，每一系列測量都有一個(gè)算術(shù)平均值，由于誤差的存在，各個(gè)測量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表征同一被測量的各個(gè)獨(dú)立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。,3- 28,,最佳測量次數(shù)確定,當(dāng)n10以后， 已減少得非常緩慢。由于測量次數(shù)愈大，也愈難保證測量條件的恒定，從而帶來新的誤差，因此一般情況下取n10以內(nèi)較為適宜?？傊?，要提高測量精度，應(yīng)采用適當(dāng)精度的儀器，選取

9、適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。,3- 29,,,例 題,已知測量的單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差s0.12（略去單位）。問在不改變測量條件的情況下，使被測量估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差達(dá)到0.04，需測量多少次？ 解：以算術(shù)平均值作為被測量的估計(jì)值，適當(dāng)增加測量次數(shù)，以滿足測量精密度的需要。 可得： 即測量次數(shù)： （次） 即對(duì)被測量進(jìn)行9次以上重復(fù)測量，它們的算術(shù)平均值的精密度便可達(dá)到要求。,3- 30,,,四、標(biāo)準(zhǔn)差的其他估計(jì)方法,3- 31,1、極差法,若等精度多次測量測得值x1，x2，，xn服從正態(tài)分布，在其中選取最大值xmax與最小值xmin，則兩者之差稱為極差,nxmaxxmin,根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學(xué)期望為

10、：,,,,標(biāo)準(zhǔn)差的其他估計(jì)方法,3- 32,故可得s的無偏差估計(jì)值，若仍以s表示，則有,,,,,,特點(diǎn)：極差法可簡單迅速算出標(biāo)準(zhǔn)差，并具有一定精度，一般在n10時(shí)均可采用。,因,2、最大誤差法,測量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式,估算時(shí)的相對(duì)誤差,在已知被測量的真值的情形，多次獨(dú)立測得的數(shù)據(jù) 的真誤差，其中的絕對(duì)值最大,在只進(jìn)行一次性實(shí)驗(yàn)中，是唯一可用的方法,標(biāo)準(zhǔn)差的其他估計(jì)方法,3、最大殘差法,在一般情況下，被測量的真值難以知道，無法應(yīng)用最大誤差法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差,最大殘余誤差 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差,最大殘差法不適用于n=1的情形,標(biāo)準(zhǔn)差的其他估計(jì)方法,第五節(jié) 極限誤差,極限誤差是指極端誤差，是誤差不應(yīng)超過的界限，此時(shí)對(duì)被測量的測量結(jié)果（單次測量或測量列的算術(shù)平均值）的誤差，不超過極端誤差的置信概率為p，并使差值1pa可以忽略。此極端誤差稱為測量的極限誤差，并以表示。 極限誤差的值可依據(jù)測量標(biāo)準(zhǔn)差、誤差分布及要求的置信概率確定： 或 K稱為置信因子，是誤差分布、自由度和置信概率的函數(shù)，通常有表可查。,3- 35,,,