誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章隨機誤差

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1、第二章 隨機誤差,教學目的和要求,通過本章內(nèi)容的教學，使學生對誤差的概念有一個感性的了解。要求學生清楚為什么所有的測量均存在誤差 ,了解誤差公理，明確學習本課程的目的和意義。通過本章內(nèi)容的教學，使學生對隨機誤差的產(chǎn)生原因、特點及處理方法有一個整體的認識。要求學生清楚隨機誤差的產(chǎn)生原因、特征，服從正態(tài)分布隨機誤差的特征；掌握隨機誤差 特征值的確定方法；了解隨機誤差的分布；正確求解極限誤差。,重點和難點,3- 3,主要內(nèi)容,隨機誤差系指測量結(jié)果與在重復(fù)條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差。 隨機誤差等于誤差減去系統(tǒng)誤差。因為測量只能進行有限次數(shù)，故可能確定的只是隨機誤差的估計值

2、。,第一節(jié)隨機誤差概述,隨機誤差是由人們不能掌握，不能控制，不能調(diào)節(jié)，更不能消除的微小因素造成。這些因素中，有的是尚未掌握其影響測量準確的規(guī)律；有的是在測量過程中對其難以完全控制的微小變化，而這些微小變化又給測量帶來誤差。,第一節(jié)隨機誤差概述,例 題,舉例：用測長機測量1m長的鋼桿制件，測量溫度的允許范圍為（202）。為此，測量在恒溫室內(nèi)進行，恒溫室溫度控制能力達到（200.5），滿足測量要求。但在測量時，恒溫室的溫度必然處在不斷地變化中，圍繞平均溫度20有微小的波動，溫度時高時低，變化速度時快時慢。溫度的微小變化引起鋼桿制件長度和測量儀器示值的微小變化，且它們受溫度的影響又不一致，有快慢之別

3、，大小之分。這種影響又無法確定，因此造成隨機誤差。,隨機誤差性質(zhì)上屬隨機變量，其處理方法的理論依據(jù)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計。具體參量可用隨機變量的數(shù)學期望（算術(shù)平均值）、方差（標準偏差）和置信概率等三個特征量來描述。,服從正態(tài)分布隨機誤差的特征,3- 10,第二節(jié) 隨機誤差的分布,,一、正態(tài)分布 隨機誤差概率分布密度函數(shù)表達式為：,圖24,,數(shù)學期望 E（）0 方 差 D（）2,標準偏差,,均勻分布又稱等概率分布，其概率密度函數(shù)為：,它的數(shù)學期望為： E（） 0,它的方差為：,,,它的標準偏差為：,二、均勻分布,三、三角分布,三角分布的概率密度函數(shù)為：,3- 13,,數(shù)學期望：,E（） 0

4、,它的方差為：,,它的標準偏差為：,,四、反正弦分布,它的概率密度為： 數(shù)學期望： E（） 0 方差為： 標準偏差為：,3- 14,,,,五、2分布,設(shè)隨機變量X1，X2，，X相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布N（0，1），則隨機變量 的概率密度為,3- 15,,,,特征量為：,六、t分布,設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X服從標準正態(tài)分布N（0，1），Y服從自由度為的2分布，則隨機變量 的概率密度 t分布的主要分布特征量為：,3- 16,,,,（232） （233）,七、F分布,設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，分別服從自由度為與的2分布，則隨機變量 的概率密度為,3- 17,,,,第三節(jié)

5、 算術(shù)平均值原理,在等權(quán)測量條件下，對某被測量進行多次重復(fù)測量，得到一系列測量值,常取算術(shù)平均值,作為測量結(jié)果的最佳估計。,一、算術(shù)平均值,算術(shù)平均值原理,,若測量次數(shù)無限增多，且無系統(tǒng)誤差下，由概率論的大數(shù)定律知，算術(shù)平均值以概率為1趨近于真值,因為,根據(jù)隨機誤差的抵償性，當n充分大時，有,最佳估計的意義,若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計知，算術(shù)平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量 ，即滿足無偏性、有效性、一致性,滿足最小二乘原理,在正態(tài)分布條件下，滿足最大似然原理,該所有測量值對其算術(shù)平均值之差的平方和達到最小,該測量事件發(fā)生的概率最大,二、殘余誤差,3- 21,由算術(shù)平均值原理可知，算術(shù)平

6、均值是真值的最佳估計值，用算術(shù)平均值代替真值計算得到的誤差稱為殘余誤差。 在規(guī)定測量條件下，同一被測量的測量列x1，x2，，xn有算術(shù)平均值： 則稱 為殘余誤差。,,殘余誤差可求，又稱實用誤差公式。殘余誤差具有兩個重要特性。 （一）殘余誤差具有低償性殘余誤差代數(shù)和等于零 （二）殘余誤差平方和為最小,,,二、殘余誤差,一、單次測量的標準偏差,定理：同一被測量，在相同條件下，測量列xi（x1，2，，n）中單次測量的標準偏差（也稱單次測量的標準不確定度）是表征同一被測量值n次測量所得結(jié)果的分散性參數(shù)，并按下式計算： 式中：n測量次數(shù)（充分大）； i測量結(jié)果xi的隨機誤差。,,第四

7、節(jié) 測量的標準偏差,例題,3- 24,單次測量的標準偏差,,3- 25,,,,,0.2m,二、標準偏差的基本估計貝塞爾公式,定理：對同一被測量，在相同測量條件下，進行有限次測量得測量列xi （i1，2，，n），則單次測量標準偏差的估計值為：,3- 26,,實驗標準偏差s的標準差,設(shè)在同一條件下，對被測量進行n1次等精度測量，得測量列xi（i1，2，，n）。用貝塞爾公式即可求得單次測量標準偏差要s1。仍在該條件下，再進行n2次測量，同樣又可得到單次測量標準偏差s2。我們發(fā)現(xiàn)，無論兩次的測量次數(shù)n1和n2是否相等，而s1和s2不一定相等，這說明由貝塞爾公式計算所得的測量標準偏差，也存在誤差。 標準

8、偏差s的標準偏差ss由下式確定，即,3- 27,,三、算術(shù)平均值標準偏差,如果在相同條件下對同一量值作多組重復(fù)的系列測量，每一系列測量都有一個算術(shù)平均值，由于誤差的存在，各個測量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標準差則是表征同一被測量的各個獨立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評定標準。,3- 28,,最佳測量次數(shù)確定,當n10以后， 已減少得非常緩慢。由于測量次數(shù)愈大，也愈難保證測量條件的恒定，從而帶來新的誤差，因此一般情況下取n10以內(nèi)較為適宜。總之，要提高測量精度，應(yīng)采用適當精度的儀器，選取

9、適當?shù)臏y量次數(shù)。,3- 29,,,例 題,已知測量的單次測量標準偏差s0.12（略去單位）。問在不改變測量條件的情況下，使被測量估計值的標準偏差達到0.04，需測量多少次？ 解：以算術(shù)平均值作為被測量的估計值，適當增加測量次數(shù)，以滿足測量精密度的需要。 可得： 即測量次數(shù)： （次） 即對被測量進行9次以上重復(fù)測量，它們的算術(shù)平均值的精密度便可達到要求。,3- 30,,,四、標準差的其他估計方法,3- 31,1、極差法,若等精度多次測量測得值x1，x2，，xn服從正態(tài)分布，在其中選取最大值xmax與最小值xmin，則兩者之差稱為極差,nxmaxxmin,根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學期望為

10、：,,,,標準差的其他估計方法,3- 32,故可得s的無偏差估計值，若仍以s表示，則有,,,,,,特點：極差法可簡單迅速算出標準差，并具有一定精度，一般在n10時均可采用。,因,2、最大誤差法,測量誤差服從正態(tài)分布時，估計標準差的計算公式,估算時的相對誤差,在已知被測量的真值的情形，多次獨立測得的數(shù)據(jù) 的真誤差，其中的絕對值最大,在只進行一次性實驗中，是唯一可用的方法,標準差的其他估計方法,3、最大殘差法,在一般情況下，被測量的真值難以知道，無法應(yīng)用最大誤差法估計標準差,最大殘余誤差 估計標準差,最大殘差法不適用于n=1的情形,標準差的其他估計方法,第五節(jié) 極限誤差,極限誤差是指極端誤差，是誤差不應(yīng)超過的界限，此時對被測量的測量結(jié)果（單次測量或測量列的算術(shù)平均值）的誤差，不超過極端誤差的置信概率為p，并使差值1pa可以忽略。此極端誤差稱為測量的極限誤差，并以表示。 極限誤差的值可依據(jù)測量標準差、誤差分布及要求的置信概率確定： 或 K稱為置信因子，是誤差分布、自由度和置信概率的函數(shù)，通常有表可查。,3- 35,,,