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1、第 九 章 方差分析與回歸分析 第一節(jié) 單因素試驗(yàn)的 方差分析 一、方差分析原理 把考察事物的結(jié)果稱為試驗(yàn)結(jié)果 ,也稱為 試驗(yàn)指標(biāo) . 因素可分為兩類 : 平 。 影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱為 因素 。 一類是人們可以控制的，稱為 可控因素 ； 另一類是人們不能控制的，稱為 不可控因素 。 為了考慮某個(gè)因素 A對(duì)所考察的隨機(jī)變量 X的影響 , 可以在實(shí)驗(yàn)時(shí)讓其他因素保持不變，而僅讓因素 A改變 , 這樣的試驗(yàn)稱為 單因素試驗(yàn) ，因素 A所處的狀態(tài)稱為 水 在試驗(yàn)中變化的因素稱為因子，用 A、 B、 C ...... 表示， 因子在試驗(yàn)中所取的不同狀態(tài)稱為水平，因子 A的不同
2、水 平用 12, , , sA A A 表示。 以下用字母 ,,xy 等表示隨機(jī) 變量。 例 1 為考察種子品種對(duì)作物產(chǎn)量的影響 , 同一 作 物選用三個(gè)命名為 1 2 3,,A A A 的種子 , 分別在條件大 體 相同的 5 塊等面積的小田塊上試種 , 其作物產(chǎn)量 ( 單 位 : kg),如下表，試分析種子的不同品種對(duì)作物產(chǎn)量 的 影響 . 1A 2A 3A 139 151 125 139 132 148 122 106 117 125 137 125 133 142 130 139 126 128 5 4 3 2 1 重復(fù)試驗(yàn)序號(hào)及作物實(shí)測產(chǎn)量 種子品種代 號(hào) (水平
3、) 這里試驗(yàn)的指標(biāo)是作物產(chǎn)量 , 作物是因素 , 三種種 子品種代表三個(gè)不同的水平 . 首先 ,形成數(shù)據(jù)差異的直接原因是種子的不同品 種 .因此 , 每個(gè)品種下產(chǎn)量的均值差異檢驗(yàn)是我們的主 要任務(wù) .這種由因素 (種子品種 )造成的差異稱為條件 (系 統(tǒng) )誤差 . 其次 , 同一品種下數(shù)據(jù)表現(xiàn)出來的差異稱為試驗(yàn) (隨 機(jī) )誤差 , 這是由客觀條件的偶然干擾造成 , 與因素 (品種 ) 無直接聯(lián)系 . 方差分析正是分析兩類誤差的有效工具 . 本問題只考慮品種一種因素，故是單因素試驗(yàn)，即只有 一個(gè)因子，記為 A, 5個(gè)不同的品種就是該因子的 5個(gè)不同 的水平，分別記為
4、 1 2 3 4 5, , , , ,A A A A A 由于同一品種在不 同的田塊上的畝產(chǎn)量不同，故可以認(rèn)為一個(gè)品種的畝產(chǎn) 量 就是一個(gè)母體，在方差分析中，總是假定各母體相互獨(dú) 立地服從同方差的正態(tài)分布，即第 j 個(gè)品種的畝產(chǎn)量是 一個(gè)隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分布 : 2( , ) , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . jNj 試驗(yàn)的目的是檢驗(yàn)假設(shè) 0 1 2 3 4 5:H 是否成立。 二、單因素試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型 設(shè)在單因素試驗(yàn)中 ,所考察的因素為 A， A有 s 個(gè)水平 1 2 3, , , , ,sA A A A 現(xiàn)在 Aj 水平下做了 nj 次試驗(yàn)，
5、 1 , 2 , , .js 試驗(yàn)的實(shí)測數(shù)據(jù)由下表給出 : 1A 2A sA 11x 12x 1sx 21x 22x 2sx 11nx 22n x snsx 為考察因素對(duì)指標(biāo)的影響 , 把第 j 個(gè)水平 Aj下的實(shí)測 數(shù)據(jù) 12, , , jj j n jX X X 看做是從第 j 個(gè)總體 jX 中抽取的容 量為 jn 的樣本 ( 1 , 2 , , ) .js 在方差分析中總是假定 s個(gè)總體相互獨(dú)立且服從相 同方差 (未知 )的正態(tài)分布 . 即水平 Aj 對(duì)應(yīng)的總體 2( , )jjXN 要檢驗(yàn)的假設(shè)是： 0 1 2: sH 1 1 2: , ,
6、, sH 不 全 相 等 （ 1） 我們假定各個(gè)水平 Aj下的樣本 12 jj j n jX X X， ， ， 為 來自具有相同方差 2 均值分別為 ( 1 , 2 , , ) j js 的正 態(tài)總體 2( , ),jN j 與 2 均未知 . 設(shè)不同水平 Aj下的 樣本之間相互獨(dú)立 . 由于 2 ( , ) ,i j jXN 2 ( 0 , ) ,i j jXN 從而將 ij jX 可看成隨機(jī)誤差 , 將其記作 ,ij 則 ijX 可表為 2 (0 , ) , 1 , 2 , , , 1 , 2 , , , i j j i j i j
7、i j j X N i n j s 各 相 互 獨(dú) 立 ， 此即單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型 . 三、單因素方差分析及其顯著性檢驗(yàn)的方法 (一 ) 方差分析的任務(wù) 相等 ,即檢驗(yàn)下述假 設(shè) 1. 檢驗(yàn) s 個(gè)總體 2( , )jN ( 1 , 2 , , )js 的均值是 否 0 1 2: sH 1 1 2: , , , sH 不 全 相 等 2. 對(duì)未知參數(shù) ( 1 , 2 , , )j js 及 2進(jìn)行估計(jì) . （ 2） 引入記號(hào) 1 1 s jj j nn 1 , s j j nn 其中 jj (
8、 1 , 2 , , )js 稱為總平均 . j A的第 j 個(gè)水平的 效應(yīng) , 表示水平 Aj下的總體平均 效應(yīng)間的關(guān)系： 1 0 s jj j n 值與總平均的差異 , 利用上述記號(hào) , 將 單因素試驗(yàn)方差分析 模的型改寫 成如下形式 : 2 1 1 2 2 , ( 0 , ) , 1 , 2 , , , 1 , 2 , , . 0. ij j ij ij ij j ss X N i n j s n n n 各 相 互 獨(dú) 立 ， 顯然 ,當(dāng)且僅當(dāng) 12 s 時(shí) , , j 即 0j ( 1 , 2 ,
9、 , )js 由此知假設(shè) (2)等價(jià)于假設(shè) 0 1 2: 0 ,sH 1 1 2: , , , sH 不全為零 . （ 3） (二 ) 離差平方和分解 引入記號(hào) 1 1 jn j i j ij xx n ( 1 , 2 , , )js 11 1 ,jns ij ji xx n 12 ,sn n n n 水平 Aj下的樣本均值 , 稱為組內(nèi)平均 (或列平均 ) 稱為總平均 , 它是從 s 個(gè)總體中抽得的樣本的樣本均值 . 用樣本值 xij 與總平均 x 之間的偏差平方和來反映 xij 之間的波動(dòng) . 用樣本值 xi
10、j 與總平均 x 之間的偏差平方和來反映 xij 之間的波動(dòng) . 記 2 11 () jns T i j ji S x x 稱 ST 為總的偏差平方和 . 對(duì)其作分解如下 : 22 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) jjnnss T i j i j j j j i j i S x x x x x x 22 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) j j jn n ns s s i j j j i j j j j i j i j i x x x x x x x x 對(duì)于第三
11、項(xiàng) , 直接計(jì)算可得 22 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) j j jn n ns s s T i j j j i j j j j i j i j i S x x x x x x x x 對(duì)于第三項(xiàng) , 直接計(jì)算可得 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) ) jjnnss ij j j j ij j j j i j i x x x x x x x n x 1 2 ( ) 0 s j j j j j j x x n x n x 記 2 11 ( ) , jn
12、s e i j j ji S x x 2 2 2 1 1 1 ( ) = jnss A j j j j i j S x x n x n x 從而有 T e AS S S 利用 (3)可得 1 1 ()jn j j ij j j ij x n 1 1 1 11 ()jnss j i j j j j i j xn nn 從而有 2 11 ( ) , jns e i j j ji S 2 1 () s A j j j j Sn 由此知 , Se 反映了誤差的波動(dòng) , 稱其為誤
13、差的偏差 平方和 (或稱為組內(nèi)平方和 ), 它集中反映了試驗(yàn)中與因 素及其水平無關(guān)的全部隨機(jī)誤差 . 在 H0 為真時(shí) , SA 反 映誤差的波動(dòng) , 在 H0 不真時(shí) , SA 反映因子 A 的不同水 平效應(yīng)間的差異 (同時(shí)也包含誤差 ), 2 11 ( ) , jns e i j j ji S 2 1 () s A j j j j Sn 由此知 , Se 反映了誤差的波動(dòng) , 稱其為誤差的偏差 平方和 (或稱為組內(nèi)平方和 ), 它集中反映了試驗(yàn)中與因 素及其水平無關(guān)的全部隨機(jī)誤差 . 在 H0 為真時(shí) , SA 反 映誤差的波動(dòng) , 在 H
14、0 不真時(shí) , SA 反映因子 A 的不同水 差平方和 (或效應(yīng)平方和 ), 無關(guān)的條件誤差 , 指標(biāo)的影響 . 稱其為因素 A 的 偏 它描述了試驗(yàn)中與偶然干 擾 其數(shù)值大小集中體現(xiàn)了因素及水平 對(duì) (三 ) Se與 SA 的統(tǒng)計(jì)特性 由于 2 ( 0 , ) ,ij N 2 0 , , j j N n 2 0 ,N n ( 1 , 2 , , , 1 , 2 , , )jj s i n由此可得 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 () j j jn n ns s s e i j j i j j j i j j j j i j i j i E S
15、 E E n E n E 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) jnss jj j i jj n n n s n 同理可 得 22 1 ( 1 ) s A j j j E S s n 2( ) ,eE S n s 22 1 ( 1 ) s A j j j E S s n 由此得 2 ,eSE ns 22 1 1 11 s A jj j SEn ss 在 H0 為真時(shí) , 即 12 0s 時(shí) ,
16、 有 2 , 1 e AS SEE n s s 否則 1 e AS SEE n s s 2 , 1 e AS SEE n s s 否則 1 e AS SEE n s s 從而在 H0 不真時(shí) , 比值 ( 1) () A e Ss S n s 有偏大的趨勢 , 記為 F, 即 ( 1 ) .()A e SsF S n s 則 F 可以作為檢驗(yàn) H0 的統(tǒng) 計(jì)量 . 將 Se 寫成如下分項(xiàng)相加的形式 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) j j jn n n e i i is s i
17、 i i S x x x x x x 將 其 將 Se 寫成如下分項(xiàng)相加的形式 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) j j jn n n e i i is s i i i S x x x x x x 其中 2 1 () jn i j j i xx 是總體 2( , ) jN 的樣本方差的 1jn 倍 , 于是 2 21 2 () ( 1 ) jn i j j i j xx n 因諸 xij 相互獨(dú)立 , 所以 , Se 中的 s 個(gè)平方和相互獨(dú)立 , 根據(jù) 2 分布的可
18、加性知 2 2 1 ( 1 ) s e j j S n 因諸 xij 相互獨(dú)立 , 所以 , Se 中的 s 個(gè)平方和相互獨(dú)立 , 根據(jù) 2 分布的可加性知 2 2 1 ( 1 ) s e j j S n 1 ( 1 ) , s j j n n s 因?yàn)? 所以 2 2 ( ) . eS ns 由 SA 的表達(dá)式知 , SA 是 s 個(gè)變量 ()jjn x x 的平方和 , 它們之間有關(guān)系 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 jns s s j j j j j i j j j j i n n x x n x
19、x x n x 由此知 SA的自由度為 s1. 可以證明 SA與 Se 相互獨(dú)立 , 且當(dāng) H0 為真時(shí)， 由此知 SA的自由度為 s1. 可以證明 SA與 Se 相互獨(dú)立 , 且當(dāng) H0 為真時(shí)， 2 2 ( 1 ) AS s 基于以上分析知 , 當(dāng) H0 為真時(shí) , ( 1 ) ( 1 , ) () A e SsF F s n s S n s 此即方差分析中所用到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 . 論知 , AeSS 不能太大 , 的形式 為 1 , .F F s n s 由上面的討 當(dāng) H0 為真時(shí) , 比值 因此拒絕域
20、 拒絕域的形式為 1 , .F F s n s 若統(tǒng)計(jì)量的觀測值為 F , 則有 1) 若 ( 1 , ) ,FF s n s 拒絕 H0 , 水平下的效應(yīng)有顯著差異 , 12, , , s 不全相等 . 2) 若 ( 1 , ) ,FF s n s 接受 H0 , 水平下的效應(yīng)無顯著差異 . 表示因素 A 的各 即 表示因素 A 的各 四、實(shí)測演算 單因素方差分析表 AS 1s 1 AS s /1 / A e SsF S n s eS ns eS ns TS 1n = 1 ,F F s n s 臨界值 總和 組內(nèi) (誤差
21、 ) 組間 (因素 A) 方差比 均方和 自由度 平方和 方差來源 簡化的計(jì)算公式 1 , jn j i j i Tx 1 , 2 , , , js 11 jns ij ji Tx 2 2 2 2 1 1 1 1 jjnnss T i j i j j i j i TS x n x x n 2 2 22 11 ss j A j j jj j T T S n x n x nn e T AS S S 例 2 某糧食加工廠用 4中不同方法貯藏糧食 , 在一 段時(shí)間后 , 分別抽樣化驗(yàn)測得含水率 (%)如表 9.4所示 : 1A 2A 3A
22、 4A / / 7.0 6.4 8.1 / / / 9.0 7.9 8.3 8.4 7.6 8.3 7.3 / / 7.1 7.4 5.8 5 4 3 2 1 重復(fù)試驗(yàn)含水率的實(shí)測數(shù)據(jù)表 貯藏方 法 (水 平 ) 試問不同貯藏方法對(duì)糧食含水率的影響是否顯著 ? ( = 0 .0 1 ) 解 這是單因素試驗(yàn) , 因素 A 的水平 s = 4 , 另由題意 知 1 2 3 43 , 5 , 2 , 3 ,n n n n 假設(shè)貯藏方法 Ai下的糧食含 水 率服從獨(dú)立同方差的正態(tài)分 布 2( , ),jN 1 , 2 , 3 , 4 .j 1) 提出待檢假設(shè) 0 1 2 3
23、 4:,H 1 1 2 3 4: , , ,H 不全相等 . 2) 計(jì)算行平均、總平均、行離差平方和 .并列出表 ix is 1A 2A 3A 4A 1.48667 7.16667 21.5 0.605 8.45 16.9 0.988 7.98 39.9 1.44667 6.76667 20.3 行離差平方和 ( ) 行平均 ( ) 行和 ( ) 水平 2) 計(jì)算行平均、總平均、行離差平方和 .并列出表 7 .5 8 4 6 2 ,x 4 2 i = 1 ( ) 4 . 8 1 0 6 ,A i iS n x x 13AKs 4 i = 1
24、4 . 5 2 6 3 ,eiSS = 9 ,eK n s = + = 9 . 3 3 6 9T e AS S S 1 1 2TKn 計(jì)算三個(gè)離平方和及其自由度 3) 列方差分析表 1 AS s 1.603 5 = 3.19 0.502 9F eS ns 0 . 0 1= 3 , 9 = 6 . 9 9FF 1.6035 0.5029 臨界值 12 9.3369 總和 6 4.5263 組內(nèi) (誤差 ) 3 4.8106 組間 (貯藏方 法 ) 方差比 均方和 自由度 平方和 方差來源 由于 0 . 0 1= 3 . 1 9 3 , 9 = 6 . 9
25、9 ,FF 不能拒絕 H0 , 認(rèn)為各 種貯藏方法所得的結(jié)果沒有顯著差異 . 例 3 設(shè)有三臺(tái)機(jī)器 , 用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄 板 . 取樣 , 測量薄板的厚度精確至千分之一厘米 . 得結(jié) 果如下表所示 . 0.262 0.261 0.243 0.267 0.254 0.245 0.259 0.255 0.248 0.264 0.253 0.238 0.258 0.257 0.236 機(jī)器 機(jī)器 機(jī)器 問各臺(tái)機(jī)器所生產(chǎn)的薄板的厚度有無顯著的差異 . 解 在此問題中 , 試驗(yàn)的指標(biāo)是薄板的厚度 , 機(jī)器為 因素 , 本問題就是要 檢驗(yàn)假設(shè) ( 0 .0 5
26、) 0 1 2 3:,H 1 1 2 3: , ,H 不全相等 . 此處 3,s 1 2 3 5,n n n 15n , 直接計(jì)算可得 2 235 11 3 . 80 . 9 6 3 9 1 2 0 . 0 0 1 2 4 5 3 3 , 1 5 1 5T i jji TSx 2 23 2 2 2 2 1 1 ( 1 . 2 1 1 . 2 8 1 . 3 1 ) 3 . 8 1 5 0 . 0 0 1 0 5 3 3 3 , 5 j A j j T TS nn 0 . 0 0 0 1 9 2 .e T AS S S
27、不同的三臺(tái)機(jī)器就是這個(gè)因素的三個(gè)不同的水平 . ,,T A eS S S 的自由度依次為 1 1 4,n 1 2 ,s 12ns 得方差分析表如下 : 14 0.00124533 總和 0.000016 12 0.000192 誤差 32.92 0.00052667 2 0.00105333 因素 F比 均方和 自由度 平方和 方差來源 因?yàn)? 0 . 0 5 ( 2 , 1 2 ) 3 . 8 9 3 2 . 9 2 ,F 故在水平 0.05下拒絕 H0, 認(rèn)為各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的薄板厚度有顯著的差異 . 五、未知參數(shù)的估計(jì) 由于 2 ,eSE ns
28、 故可取 2 eS ns 又因?yàn)? 1 1 1 1 1 1 1 1jjnns s s i j i j j j j i j i j E x E x E x n n n n 11 11jjnn j ij j j iijj E x E xnn 由此知 , ,x jjx 分別是 , j 的無偏估計(jì) . 若拒絕 H0 , 則意味著效應(yīng) 12, , , s 不全為零 . 由 j 的定義 jj 1 , 2 , , , js 由 j ,jj 1 , 2 , , , js 的定義 知 , jjxx
29、 j 是 的無偏估計(jì) , 并且此時(shí)有關(guān)系式 11 0 ss j j j j jj n n x n x 成立 . 2( , )jN 2( , )kN 和 ()jk 的均值差 jk 的區(qū)間估計(jì) . 在拒絕 H0 的同時(shí) ,常需要作出兩總體 2( , )jN 2( , )kN 和 ()jk 的均值差 jk 的區(qū)間估計(jì) . 在拒絕 H0 的同時(shí) ,常需要作出兩總體 ()j k j kE x x 211() jk jk D x x nn 因?yàn)? 可以證明 , jkxx ()eS n s 與 相互獨(dú)立 , 從而有
30、 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()1111 j k j k j k j k e jke j k xx xx S t n s nsnnS n n 其中 ( ) , eeS S n s 由此得均值差 j k j k 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()1111 j k j k j k j k e jke j k xx xx S t n s nsnnS n n 其中 ( ) , eeS S n s 由此得均值差 j k j k 的置信水平為 1 的置信區(qū)間為 22( ) (
31、1 1 ) , ( ) ( 1 1 )j k e j k j k e j kx x t n s S n n x x t n s S n n 例 4 求例 3中的未知參數(shù) 2 ,,jj ( 1, 2 , 3 )j 的點(diǎn) 估計(jì)及均值差的置信水平為 0.95的置信區(qū)間 . 解 由前述討論知 2 ( ) 0 .0 0 0 1 6eS n s 例 4 求例 3中的未知參數(shù) 2 ,,jj ( 1, 2 , 3 )j 的點(diǎn) 估計(jì)及均值差的置信水平為 0.95的置信區(qū)間 . 解 由前述討論知 2 ( ) 0.0 00 16 ,eS n
32、s 11 0 . 2 4 2 ,x 22 0 . 2 5 6x 33 0 . 2 6 2 ,x 0 . 2 5 3 ,x 11 0 . 0 1 1xx 22 0 . 0 0 3 ,xx 33 0 . 0 0 9xx 查 t分布表 , 0 . 0 2 5 0 . 0 2 5( ) ( 1 2 ) 2 . 1 7 8 8 ,t n s t 由此可得 6 0 . 0 2 5 2( 1 2 ) ( 1 1 ) 2 . 1 7 8 8 1 6 1 0 0 . 0 0 6 5e j kt S n n 查 t分布表 , 0 . 0 2 5 0 .
33、 0 2 5( ) ( 1 2 ) 2 . 1 7 8 8 ,t n s t 由此可得 6 0 . 0 2 5 2( 1 2 ) ( 1 1 ) 2 . 1 7 8 8 1 6 1 0 0 . 0 0 6 5e j kt S n n 將其代入上述公式得 12, 13, 23 的置信區(qū) 間分別為 ( 0 . 2 4 2 0 . 2 5 6 0 . 0 0 6 , 0 . 2 4 2 0 . 2 5 6 0 . 0 0 6 ) ( 0 . 0 2 0 , 0 . 0 0 8 ) ( 0 . 2 4 2 0 . 2 6 2 0 . 0 0 6 , 0 . 2 4 2 0 . 2 6 2 0 . 0 0 6 ) ( 0 . 0 2 6 , 0 . 0 1 4 ) ( 0 . 2 5 6 0 . 2 6 2 0 . 0 0 6 , 0 . 2 5 6 0 . 2 6 2 0 . 0 0 6 ) ( 0 . 0 1 2 , 0 )
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