力學(xué)答案第十章

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1、 第十章 波動(dòng)和聲 10.2.1 頻率在 20 至 20000Hz 的彈性波能使人耳產(chǎn)生聽(tīng)到聲音的感覺(jué) .0 時(shí)，空氣中的聲速為331.5m/s ，求這兩種頻率聲波的波長(zhǎng) .解 :因 所以 10.2.2 一平面簡(jiǎn)諧聲波的振幅為 0.001m ，頻率為 1483Hz ，在 20 的水中傳播，寫出其波方程 .解： 已知 波速 1483m/s 。 設(shè) O-x 軸沿波傳播方向， x 表示質(zhì)元平衡位置坐標(biāo)， y 表示質(zhì)心相對(duì)平衡位置的位移，選坐標(biāo)原點(diǎn)處位相為零的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。即原點(diǎn)處初相為零 。則位于處的體元相位落后 。即： 1

2、0.2.3 已知平面簡(jiǎn)諧波的振幅 ，波長(zhǎng) 1m ，周期為 ，寫出波方程（最簡(jiǎn)形式） . 又距波源 9m 和 10m 兩波面上的相位差是多少？解： 選坐標(biāo)原點(diǎn)處位相為零刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。 O-x 軸沿波傳播方向，得波的最簡(jiǎn)形式： 得： 設(shè)波源處為 ，則 所以位相差是： 10.2.4 寫出振幅為 A ， ，波速為 ，沿 Ox 軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波方程 . 波源在原點(diǎn) O ，且當(dāng) t=0 時(shí)，波源的振動(dòng)狀態(tài)被稱為零，速度沿 Ox 軸正方向 . 解： 設(shè)波源振動(dòng)方程： 得波源振動(dòng)方程為： 因?yàn)槿我?處的位相比波源的相位落后 ，得波方程為 將已知代入得波方

3、程為： 10.2.5 已知波源在原點(diǎn)（ ）的平面簡(jiǎn)諧波方程為 A,b,c 均為常量。試求：（ 1 ）振幅，頻率，波速和波長(zhǎng)；（ 2 ）寫出在傳播方向上距波源處一點(diǎn)的振動(dòng)方程式，此質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初位相如何？解： 與平面簡(jiǎn)諧波方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 比較可得： ? 振幅為 A ，頻率： ； 波速 ，波長(zhǎng) （ 2 ） 時(shí)，該點(diǎn)的振動(dòng)方程式為： 此質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初位相為 。 10.2.6 一平面簡(jiǎn)諧波逆軸傳播，波方程為， 試?yán)酶淖冇?jì)時(shí)起點(diǎn)的方法將波方程化成最簡(jiǎn)形式。 解： 對(duì)應(yīng) 的最簡(jiǎn)形式應(yīng)為 如改變計(jì)時(shí)起點(diǎn)后的新計(jì)時(shí)系統(tǒng)以 應(yīng)滿足，因此 即將計(jì)時(shí)起點(diǎn)提前 3

4、 秒，就可將波方程化成最簡(jiǎn)形式 10.2.7 平面簡(jiǎn)諧波方程 ，試用兩種方法畫出 時(shí)的波形圖。（ SI ） 解： 的波形圖。 方法一：有方程求得。 找出對(duì)應(yīng)于方程的各（ x,y ）點(diǎn) , 例 如： 通過(guò)各點(diǎn)描繪出所求波形圖（右圖）。 方法二：由方程求得， 先畫出 的圖形，在將縱坐標(biāo)軸向右移動(dòng) ： 即向右移動(dòng) ，就可以得到所求的波形圖。 10.2.9 二圖分別表示向右和向左傳的兩列平面簡(jiǎn)諧波在某瞬時(shí)的波形圖，說(shuō)明此時(shí) 以及 各質(zhì)元的位移和速度為正還是為負(fù)？它們的相位如何？（對(duì)于 和 只要求說(shuō)明其相位在第幾象限） 解： 若波用余弦函數(shù)表示 ,

5、 則所求結(jié)果如下表 . 橫坐標(biāo) 位移 速度 相位 正最大 0 負(fù) 負(fù) Ⅱ象限 0 負(fù)最大 正最大 0 負(fù) 正 Ⅲ象限 0 正最大 10.2.10 圖（ a ）、（ b ）分別表示 和 時(shí)的某一平面簡(jiǎn)諧波的波形圖。試寫出此平面簡(jiǎn)諧波波方程。 (a) (b) 解： 由圖知 由圖 (a) 知，原點(diǎn)處質(zhì)元初相 .比較 t=0 和 t=2s 的 (a)(b) 圖知 , 因此 取 , 將 之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一個(gè)表達(dá)式 :

6、10.3.1 有一圓形橫截面的銅絲，手張力 1.0N ，橫截面積為 1.0 . 求其中傳播橫波和縱波時(shí)的波速各多少？銅的密度為 ，銅的楊氏模量為 . 解： 可把很細(xì)的銅絲看作柔軟的弦線 ( 設(shè)弦線的密度為 ), 計(jì)算在其中傳播的橫波的波速 . 10.3.2 已知某種溫度下水中聲速為 ，求水的體變模量 .解： 已知 10.4.1 在直徑為 14cm 管中傳播的平面簡(jiǎn)諧聲波 . 平均能流密度 ， ， . （ 1 ）求最大能量密度和平均能量密度，（ 2 ）求相鄰?fù)辔徊骈g的總能量 .解： (1) 能量密度 最大能量密度 能流密度 已知 平

7、均能流密度 (2) 由于相鄰?fù)幌嗖骈g的距離為 . 一周期內(nèi)單位體積媒質(zhì)具有的平均能量為 , 因此相鄰?fù)幌嗖骈g的總能量為 10.4.3 面向街道的窗口面積約 ，街道上的噪聲在窗口的聲強(qiáng)級(jí)為 60dB ，問(wèn)有多少聲功率傳入室內(nèi)（即單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入多少聲能）？解： 聲功率 10.4.4 距一點(diǎn)聲源 10m 的地方，聲音的聲強(qiáng)級(jí)為 20dB. 求（ 1 ）距聲源 5m 處的聲強(qiáng)級(jí)；（ 2 ）距聲源多遠(yuǎn)，就聽(tīng)不到 1000Hz 的聲音了？解： (1) (2) 設(shè)距聲源 時(shí) , 剛好聽(tīng)不到聲音 10.5.1 聲音干涉儀用于顯示聲波的干涉 , 見(jiàn)圖 .

8、薄膜 S 在電磁鐵的作用下振動(dòng) .D 為聲音檢測(cè)器 ,SBD 長(zhǎng)度可變 ,SAD 長(zhǎng)度固定 . 聲音干涉儀內(nèi)充滿空氣 . 當(dāng) B 處于某一位置時(shí) , 在 D 處聽(tīng)到強(qiáng)度為 100 單位的最小聲音 , 將 B 移動(dòng)則聲音加大 , 當(dāng) B 移動(dòng) 1.65 時(shí)聽(tīng)到強(qiáng)度為 900 單位的最強(qiáng)音 . (1) 求聲波的頻率 ,(2) 求到達(dá) D 處二聲波振幅之比 . 已知聲速為 342.4 . 解： (1) 由最小聲音到相鄰的最強(qiáng)音 , 經(jīng) SAD,SBD 管內(nèi)穿到 D 處的二相干波 , 傳播距離差應(yīng)改變 , 此改變量是由 B 管的移動(dòng)引起的 , 因此 (2) 10.5.2 兩個(gè)聲源發(fā)

9、出橫波 , 振動(dòng)方向與紙面垂直 , 二波源具有相同的位相 , 波長(zhǎng) . (1) 至少求出三個(gè) 數(shù)值使得在 P 點(diǎn)合振動(dòng)最強(qiáng) ,(2) 求出三個(gè) 數(shù)值使得在 P 點(diǎn)合振動(dòng)最弱 . 解： 由已知此二橫波振動(dòng)方向相同 , 波長(zhǎng)相同 , 在同一種媒質(zhì)中 , 波速和周期相同 ,P 點(diǎn)的此二橫波的方程可寫成 : (1) 在 P 點(diǎn)合振動(dòng)最強(qiáng)時(shí) , 二橫波在該點(diǎn)引起的多振動(dòng)位相相同 , 即 由此得 , . 已知 取 時(shí)得 10.5.3 試證明兩列頻率相同 , 振動(dòng)方向相同 , 傳播方向相反而振幅大小不同的平面簡(jiǎn)諧波相疊加可形成一駐波與一行波的疊加 .解： 設(shè)二平面簡(jiǎn)諧波為

10、 : 則： 此結(jié)果的前一項(xiàng)表示一行波 , 后一項(xiàng)表示一駐波 , 可見(jiàn)滿足題目要求的二平面簡(jiǎn)諧波疊加后形成了一駐波與一行波的疊加。 10.5.4 入射波 在固定端反射 , 坐標(biāo)原點(diǎn)與固定端相距 , 寫出反射波方程 . 無(wú)振幅損失 .(SI) 解： 反射波的振幅 , 頻率 , 波速均與入射波相同 , 傳播方向與入射波傳播方向相反 , 初位相也不同 , 因入射波在坐標(biāo)原點(diǎn)的初位相為零 . 故反射波在原點(diǎn)的初位相為 : 式中 ， 為落后位相， 為半波損失。 入射波 可見(jiàn) 由以上各條件可寫出所求反射波在原點(diǎn)的振動(dòng)方程 : 反射波的振動(dòng)方程為 :

11、 10.5.5 入射波方程為 , 在 X=0 處的自由端反射 , 求反射波的波方程 . 無(wú)振幅損失 . 解： 由入射波方程 知 反射波振幅為 A, 周期為 T, 波長(zhǎng)為 , 傳播方向沿坐標(biāo)軸 O-X 正方向 . 因在 X=0 處自由端反射 , 故反射波與入射波在原點(diǎn)處位相相同 . 因此反射波方程為 : 10.5.6 圖示某一瞬時(shí)入射波的波形圖 , 在固定端反射 . 試畫出此瞬時(shí)反射波的波形圖 . 無(wú)振幅損失 . 解： 因?yàn)榉瓷洳ㄅc入射波傳播方向相反 , 在固定端反射時(shí) , 二者位相差為 , 所以可以按以下方法作出反射波波形圖 : 以界面處質(zhì)元平衡位置為原點(diǎn)如圖建

12、立坐標(biāo)系 . 設(shè)入射波波方程為 先作出入射波波形圖 , 以 軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱波形圖 , 并畫出該波形圖在固定端左側(cè)的部分。 因?yàn)楣潭ǘ朔瓷洳ㄔ诮缑嫣幱邪氩〒p失 , 所以反射波方程應(yīng)為 : 其波形可將入射波波形圖向 x 正方向延長(zhǎng)，再剪去半個(gè)波長(zhǎng)后對(duì)稱鏡像至 x 軸原點(diǎn)左方而得。 10.5.7 若 10.5.6 題圖中為自由端反射 , 畫出反射波波形圖 . 解： 因?yàn)槿肷洳ㄔ谧杂啥朔瓷鋾r(shí) , 沒(méi)有半波損失 , 即反射波和入射波在界面處位相相同 , 而傳播方向相反 , 所以反射波波形圖是入射波波形圖以界面為對(duì)稱的對(duì)稱圖形 , 其圖形如圖所示 10.5.8 一平面

13、簡(jiǎn)諧波自左向右傳播 , 在波射線上某質(zhì)元 A 的振動(dòng)曲線如圖示 . 后來(lái)此波在前進(jìn)方向上遇儀障礙物而反射 , 并與該入射平面簡(jiǎn)諧波疊加形成駐波 , 相鄰波節(jié)波腹距離為 , 以質(zhì)元 A 的平衡位置為 軸原點(diǎn) , 寫出該入射波波方程 . 解： 振動(dòng)的一般方程可寫為 由題意知 因此 , 質(zhì)元 A 的振動(dòng)方程為 : 這就是所求波方程中原點(diǎn) 處質(zhì)心的振動(dòng)方程 .已知相鄰波節(jié) , 波腹間距離為 由以上諸條件可寫出以質(zhì)元 A 的平衡位置為 OY 軸原點(diǎn)的入射波方程為 : 10.5.9 同一媒質(zhì)中有兩個(gè)平面簡(jiǎn)諧波波源作同頻率 , 同方向 , 同振幅的振動(dòng) . 二波相對(duì)傳播 , 波長(zhǎng)

14、 . 波射線上 A,B 兩點(diǎn)相距 . 一波在 A 處為波峰時(shí) , 另一波在 B 處位相為 . 求 AB 連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)的位置 .解： 由已知條件可知 , 此二平面簡(jiǎn)諧波為相干波 , 在二波源間的連線上形成駐波 . 以 A 為原點(diǎn)建立 OX 坐標(biāo)軸 , 以甲波在點(diǎn)位相為零時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn) . 在 A,B 間 , 甲波方程為 : 乙波方程為 : 由題知 , 甲波在 A 處質(zhì)點(diǎn)位移為正最大時(shí) , 在 處的 B 點(diǎn)位相為 , 因此當(dāng) 時(shí) , 在 處 當(dāng) AB 間的點(diǎn)因干涉而靜止時(shí) , 甲乙二波在該點(diǎn)的位相差應(yīng)滿足 : 當(dāng) 時(shí) , , 這就是 AB

15、 間靜止各點(diǎn)的位置坐標(biāo) . 10.5.10 一提琴弦長(zhǎng) 50 , 兩端固定 . 不用手指按時(shí) , 發(fā)出的聲音是 A 調(diào) :440 . 若欲發(fā)出 C 調(diào) :528 , 手指應(yīng)按在何處 ? 解： 音調(diào)決定了基頻 , 弦的基頻為 一定 , 已知 因此 10.5.11 張緊的提琴弦能發(fā)出某一種音調(diào) , 若欲使它發(fā)生的頻率比原來(lái)提高一倍 , 問(wèn)弦內(nèi)張力應(yīng)增加多少倍 ? 解： 因此 , 弦內(nèi)張力應(yīng)增加 3 倍 . 10.7.1 火車以速率 駛過(guò)一個(gè)在車站上的觀察者 , 火車發(fā)出的汽笛聲頻率為 . 求觀察者聽(tīng)到的聲音的變化 . 設(shè)聲速是 解： 近似認(rèn)為靜止的觀察者

16、和火車軌道在同一直線上 , 則當(dāng)火車駛向觀察者時(shí) , 觀察者聽(tīng)到的聲音的頻率為 當(dāng)火車駛離觀察者時(shí) , 觀察者聽(tīng)到的聲音的頻率為 : 因此 , 火車駛過(guò)觀察者時(shí) , 觀察者聽(tīng)到的聲音頻率的變化為 : 10.7.2 兩個(gè)觀察者 A 和 B 攜帶頻率均為 1000 的聲源 . 如果 A 靜止 , 而 B 以 的速度向 A 運(yùn)動(dòng) , 那么 A 和 B 聽(tīng)到的拍是多少 ? 設(shè)聲速是 340 . 解： 對(duì) A 而言，系觀察者靜止 , 聲源運(yùn)動(dòng) , 因此 A 聽(tīng)到的頻率為： A 聽(tīng)到的拍頻為 對(duì) B 來(lái)說(shuō) , 系觀察者運(yùn)動(dòng) , 聲源靜止 , 因此 B 聽(tīng)到的頻率為 : B 聽(tīng)到的拍頻為 10.7.3 一音叉以 速率接近墻壁 , 觀察者在音叉后面聽(tīng)到拍音頻率 , 求音叉振動(dòng)頻率 . 設(shè)聲速是 340 . 解： 若音叉后的觀察者直接聽(tīng)到音叉的頻率為 , 聽(tīng)到經(jīng)玻璃反射的頻率為 , 因波源 ( 音叉 ) 在運(yùn)動(dòng) , 所以： 拍頻 因此