函數(shù)yAsin(ωxφ)的圖像與性質課件文蘇教版.ppt

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1、第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 雙向 固基 礎 點面 講考 向 多元 提能 力 教師 備用 題 返回目錄 考試大綱 返回目錄 1 了解三角函數(shù) y A sin ( x ) 的實際意義及其參數(shù) A ， ， 對函數(shù)圖像變化的影響 2 會畫出 y A sin ( x ) 的簡圖，能由正弦曲線 y sin x 通過平移、伸縮變換得到 y A sin ( x ) 的圖像 3 會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題，體會三角函 數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型 . 1 用五點法畫函數(shù) y A sin ( x ) 的簡

2、圖 用五點法畫函數(shù) y A s in ( x ) 在一個周期內的簡圖， 要確定五個特征點，如下表所示： x 2 3 2 2 x 0 2 3 2 2 y A sin ( x ) 0 A 0 A 0 具體做法是：先令 ____ ____ 取 0 ， 2 ， ， 3 2 ， 2 五 個值，求出相應 x ， y 的值，再描點作圖 雙向 固基 礎 x 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 2 函數(shù) y A sin ( x ) 中各量的物理意義 當函數(shù)

3、y A sin ( x )( A 0 ， 0 ) ， x 0 ， ) 表示 簡諧振動時，幾個相關的概念如下表： 簡諧振動 振幅 周期 頻率 相位 初相 y A sin ( x ) ( A 0 ， 0) A T 2 f 1 T x 3. 函數(shù) y sin x 的圖像經(jīng)平移變換得到 y A sin ( x )( A 0 ， 0) 的圖像的步驟 雙向 固基 礎 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 方法一：先畫出函數(shù) y si n x 的圖像，再把正弦曲線向左 ( 右 ) 平移 __ __ 個

4、單位長度，得到函數(shù) ____________ 的圖像；然 后使曲線上各點的橫坐標都變?yōu)樵瓉淼?___ 倍，得到函數(shù) _____________ 的圖像；最后把曲線上各點的 ________ 變?yōu)樵?來的 ____ 倍，這時的曲線就是函數(shù) y A sin ( x ) 的圖 像 方法二：先畫出函數(shù) y sin x 的圖像，再使曲線上各點的 橫坐標都變?yōu)樵瓉淼?____ 倍，得到函數(shù) _____ ____ ___ 的圖像； 然后把正弦曲線向左 ( 右 ) 平移 ____ 個單位長度，得到函數(shù) _______ ____ ___ 的圖像；最后把曲線上各點的 ________ 變?yōu)樵?/p>

5、 來的 ___ _ 倍，這時的曲線就是函數(shù) y A sin ( x ) 的圖像 以上兩種方法的區(qū)別：方法一先平移再伸縮，方法二先伸 縮再平移 特別注意方法二中的平移量 雙向 固基 礎 返回目錄 y sin x 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 || y sin ( x ) 1 y sin ( x ) A 1 縱坐標 y sin ( x ) 縱坐標 A 鏈接教材 雙向 固基 礎 答案 y 2 sin x 返回目錄 1 函數(shù) y sin x 的圖像上每個點的橫坐標不變，縱坐標

6、伸長到原來的 2 倍得到的是函數(shù) ________ 的圖像 解析 作圖可知 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 雙向 固基 礎 答案 y sin （ x 3 4 ） 返回目錄 2 某函數(shù)的圖像向右平移 2 個單位長度后得到函數(shù) y sin x 4 的圖像，則原函數(shù)的表達式是 ______________ 解析 將函數(shù) y sin （ x 4 ） 的圖像向左平移 2 個單 位長度得 y sin （ x 2 4 ） sin （ x 3 4 ） 的圖像 第 21講 函數(shù) y Asin(

7、x ) 的圖像與性質 雙向 固基 礎 答案 6 返回目錄 3 已知簡諧振動 f ( x ) 2 sin （ 3 x ） | |< 2 的圖像經(jīng) 過 (0 ， 1) 點，則該簡諧運動的初相 為 ________ 解析 其函數(shù)圖像經(jīng)過 ( 0 ， 1 ) 點， 將點 ( 0 ， 1 ) 代入 函數(shù)表達式可得 2 sin 1 ， sin 1 2 . 又 | |< 2 ， 6 . 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 雙向 固基 礎 4 電流強度 I ( A ) 隨時間 t ( s ) 變化的

8、關系式是 I 5 sin 100 t 3 ，則當 t 1 200 s 時，電流強度 I 為 ________ 答案 2.5 A 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 解析 當 t 1 200 s 時， I 5 sin （ 100 1 200 3 ） 5 cos 3 2.5( A ) 疑 難 辨 析 雙向 固基 礎 1 圖像的伸縮與平移變換中的問題 (1) 要得到函數(shù) y si n 2 x 的圖像，只需把函數(shù) y sin 2 x 3 的圖像向右平移 3

9、個單位長度 ( ) (2) 把函數(shù) y sin x 的圖像上所有點的橫坐標縮短為原來 的 1 2 ( 縱坐標不變 ) ，得到函數(shù) y sin 1 2 x 的圖像 ( ) 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 雙向 固基 礎 解析 ( 1 ) 因為 y sin （ 2 x 3 ） sin 2 （ x 6 ） ，則應 把函數(shù) y sin （ 2 x 3 ） 的圖像向右平移 6 個單位長度，得到 函數(shù) y sin 2 x 的圖像 ( 2 ) 把橫坐標縮短為原來的 1 2 ，周期變小，則 應變大， 故應得到函數(shù) y s

10、in 2 x 的圖像 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 答案 ( 1 ) ( 2 ) 雙向 固基 礎 2 誤求單調區(qū)間 函數(shù) y sin ( 2 x ) 的單調遞減區(qū)間是 3 4 k ， 4 k ( k Z ) ( ) 解析 y sin ( 2 x ) sin 2 x ，它的圖像和函數(shù) y sin 2 x 的圖像關于 x 軸對稱，單調性正好相反令 2 2 k < 2 x < 2 2 k ， k Z ，可得 （ 4 k ， 4 k ） ( k Z

11、 ) 即為 y sin ( 2 x ) 的單調遞減區(qū)間 答案 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 雙向 固基 礎 3 忽視正余弦函數(shù)的有界性 函數(shù) y cos 2 x 3 cos x 的最大值為 9 4 . ( ) 答案 返回目錄 解析 y cos 2 x 3 c os x （ c os x 3 2 ） 2 9 4 ，當 cos x 1 時，函數(shù) y cos 2 x 3 c os x 取得最大值 2. 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 點面 講考 向 例 1

12、 (1) 2013 蘇中三市、宿遷調 研 將函數(shù) y 2 sin 3 x 圖像上的每一點向右平移 1 個單位長度，再將所得 圖像上的每一點的橫坐標擴大為原來的 3 倍 ( 縱坐標保持 不變 ) ，得到函數(shù) y f ( x ) 的圖像，則 f ( x ) 的一個解析式為 ________ ( 2 ) 2013 新課標全國卷 函數(shù) y cos (2 x )( ) 的圖像向右平移 2 個單位后，與函數(shù) y sin 2 x 3 的圖像重合，則 ________ . 返回目錄 探究點一 函數(shù) y A sin ( x )

13、的圖像及變換 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 答案 (1) y 2 sin ( x 3 ) (2) 5 6 解析 (1) 函數(shù) y 2 sin 3 x 的圖像向右平移 1 個單位長度得 y 2 sin 3 ( x 1) 2 sin 3 x 3 的圖像，將所得圖像上每一點的 橫坐標擴大為原來的 3 倍 ( 縱坐標保持不變 ) ，則得到 y 2 sin( 3 3 x 3 ) 的圖像，即 f ( x ) 2 sin( x 3 ). (2) 由已知， y cos (2 x ) 的圖像向右平移 2 個單位長 度，得

14、到 y cos (2 x ) cos (2 x ) 的圖像 y sin ( 2 x 3 ) cos ( 2 2 x 3 ) cos ( 2 x 5 6 ) ，兩個函數(shù)圖像重 合，且 0 ，則向左平移 個單位；若 0 ，則向下平移 m 個單位；若 m 0) 時，其橫坐標變?yōu)樵瓉淼?1 . (4) 當 y ky ( k 0) 時，其縱坐標變?yōu)樵瓉淼?1 k . 點面 講考 向 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 點面 講考 向 變式題 為了得到函數(shù) y cos ( x 3 ) 的圖像，只需將

15、 函數(shù) y sin x 的圖像向左平移 ________ 個長度單位 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 答案 5 6 解析 因為 y sin x cos （ x 2 ） ，且 y cos （ x 3 ） cos （ x 2 5 6 ） ，所以向左平移 5 6 個單位長度 點面 講考 向 例 2 2013 蘇中三市、連云港、淮安三調 函數(shù) f ( x ) A sin ( x )( A 0 ， 0 ， 0 < ) 在 R 上的部分圖像如圖 4 21 1 所示，則 f (2013) 的值為

16、________ 圖 4 21 1 返回目錄 探究點二 由圖像求函數(shù)解析式 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 圖 3193 點面 講考 向 思考流程 第一步：先根據(jù)最高點確定 A 的值第二 步：求出周期，進而確定 . 第三步：代入點求 . 答案 5 32 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 解析 由圖易知 A 5 ， T 12 ，所以 6 ，所以 f ( x ) 5 sin （ 6 x ） . 又圖像過點 (5 ， 0) ，且 0 0) 的部分圖像如圖 4 21 2 所

17、示，則 ________ 圖 4 21 2 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 點面 講考 向 (2) 2013 蘇州模擬 已知函數(shù) y sin ( x ) 0 ， 0 R ；燈腳 FA 1 ， FB 1 ， FC 1 ， FD 1 是正四棱錐 F A 1 B 1 C 1 D 1 的 四條側棱，正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 的外接圓半徑為 R ( 米 ) ，四條燈 腳與燈桿所在直線的夾角都為 ( 弧度 ) 已知燈桿、燈腳的 造價都是每米 a ( 元 ) ，燈托造價是每米 a 3 ( 元 ) ，其中 R ， h

18、， a 都為常數(shù)設該燈架的總造 價為 y ( 元 ) 返回目錄 探究點三 三角函數(shù)模型的簡單應用 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 點面 講考 向 (1) 求 y 關于 的函數(shù)關系式； (2) 當 取何值時， y 取得最小值？ 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 圖 4214 點面 講考 向 思考流程 第一步：將燈架的每一個部分用 表示； 第二步：對所建立函數(shù)模型進行求導；第三步：得出最 值 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 解： (1) 如圖所示，延長

19、EF 與地面交于點 O 1 ，由題意 知 A 1 FO 1 ，且 FO 1 R ta n ， 從而 EF h R ta n ， A 1 F R sin ， 則 y 4 R a 3 （ h R ta n 4 R sin ） a Ra （ 4 3 4 cos sin ） ha ， （ 0 ， 2 ） . 點面 講考 向 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 點面 講考 向 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 (2) 由 (1) 知 y Ra （ 4 3

20、 4 cos sin ） ha . 設 f ( ) 4 3 4 cos sin ， 則 f ( ) 4sin 2 12 cos 3 3 sin 2 （ 1 2 cos ）（ 7 2 cos ） 3 sin 2 . 令 f ( ) 0 得 1 2 cos 0 ，則 cos 1 2 . 又 0 ， 2 ，所以 3 . 當 0 ， 3 時， f ( ) 0. 當 3 時， y 最小 即當 3 時，燈架造價 y 取得最小值 點面 講考 向 歸納總結 與三角函數(shù)有關的應

21、用題，主要是在建立 模型時選取角為自變量建立函數(shù)模型 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 點面 講考 向 變式題 如圖 4 21 5 所示，某市準備在道路 EF 的一側 修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段 FBC ，該曲 線段是函數(shù) y A sin x 2 3 ( A 0 ， 0) ， x 4 ， 0 的 圖像，且圖像的最高點為 B ( 1 ， 2) ；賽道的中間部分為長 為 3 的直線跑道 CD ，且 CD EF ；賽道的后一部分是以 O 為圓心的一段圓弧 DE . 圖 4 21 5 返回目錄 第 21

22、講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 點面 講考 向 (1) 求 的值和 DOE 的大??； (2) 若要在圓弧賽道所對應的扇形 ODE 區(qū)域內建一個 矩形草坪，矩形的一邊在道路 EF 上，一個頂點在半徑 OD 上，另外一個頂點 P 在圓弧 DE 上，且 POE ，求當矩 形草坪的面積取得最大值時 的值 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 點面 講考 向 返回目錄 解： (1) 由題易知 A 2 ， T 4 3 ， T 2 12 ， 6 . 曲線段 FBC 的解析式為 y 2 sin （ 6

23、 x 2 3 ） . 當 x 0 時， y OC 3 . 又 CD 3 ， COD 4 ， 故 DOE 4 . (2) 由 (1) ，可知 OD 6 . 點 P 在弧 DE 上， OP 6 . 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 點面 講考 向 由 POE 得 0< < 4 ，矩形草坪的面積為 S 6 sin ( 6 cos 6 sin ) 6( sin cos sin 2 ) 6 1 2 sin 2 1 2 cos 2 1 2 3 2 sin （ 2 4 ） 3.

24、 0< < 4 ， 4 <2 4 0) 的圖像 關于直線 x 3 對稱，且 f ( 12 ) 0 ，則 的最小值為 ________ (2) 設函數(shù) f ( x ) sin ( x ) cos ( x ) ( 0 ， | | 2 ) 的最小 正周期為 ，且 f ( x ) f ( x ) ，則 f ( x ) 的單調遞減區(qū)間為 ________ (3) 若 f ( x ) A sin ( x ) 1( 0 ， | |< ) 對任意的實數(shù) t 都有 f ( t 3 ) f ( t 3 ) . 記 g ( x )

25、 A cos ( x ) 1 ，則 g ( 3 ) _____ ___ 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 教師 備用 題 答案 (1 ) 2 (2) k ， k 2 ( k Z ) (3) 1 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質 解析 (1) 由題意知 T 的最大值為 4 ( 3 12 ) ，又 2 T ，所以 的最小值為 2. 教師 備用 題 (2) f ( x ) 2 sin ( x 4 ) ，由題意知 2 ，且 4 k

26、 2 ( k Z ) ，解得 2 ， k 4 ( k Z ) ，又 | | 2 ， 4 ， f ( x ) 2 sin ( 2 x 2 ) 2 cos 2 x . 令 2 k 2 x 2 k ( k Z ) ，得 k x k 2 ( k Z ) ，故 f ( x ) 的單調遞減區(qū)間為 k ， k 2 ( k Z ) (3) 對于任意實數(shù) t ，有 f ( t 3 ) f ( t 3 ) 成立，故函數(shù) f ( x ) 的圖像關于直線 x 3 對稱，即 sin ( 3 ) 1 ，所以 cos ( 3 0 ，故 g ( 3 ) A co s ( 3 ) 1 1. 返回目錄 第 21講 函數(shù) y Asin(x ) 的圖像與性質