高中數(shù)學(xué)解析幾何總結(jié)非常全

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1、高中數(shù)學(xué)解析幾何 第一部分:直線 1、 直線的傾斜角與斜率 1. 傾斜角α (1)定義：直線l向上的方向與x軸正向所成的角叫做直線的傾斜角。 (2)范圍： 2.斜率：直線傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率. （1）.傾斜角為的直線沒有斜率。 （2）.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率（直線垂直于軸時(shí)，其斜率不存在)，這就決定了我們?cè)谘芯恐本€的有關(guān)問題時(shí)，應(yīng)考慮到斜率的存在與不存在這兩種情況，否則會(huì)產(chǎn)生漏解。 （3）設(shè)經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線的斜率為， 則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；斜率不存在； 二、直線的方程 1.點(diǎn)斜式：已知直線上一點(diǎn)P（x

2、0,y0）及直線的斜率k（傾斜角α）求直線的方程用點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0) 注意：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式表示，此時(shí)方程為； 2.斜截式：若已知直線在軸上的截距（直線與y軸焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)）為，斜率為，則直線方程：；特別地，斜率存在且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線方程為： 注意：正確理解“截距”這一概念，它具有方向性，有正負(fù)之分，與“距離”有區(qū)別。 3.兩點(diǎn)式：若已知直線經(jīng)過和兩點(diǎn)，且（則直線的方程：； 注意：①不能表示與軸和軸垂直的直線； ②當(dāng)兩點(diǎn)式方程寫成如下形式時(shí)，方程可以適應(yīng)在于任何一條直線。 4截距式：若已知直線在軸，軸上的截距分別是，（）則直線方程：； 注意：1）.

3、截距式方程表不能表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。 2）.橫截距與縱截距相等的直線方程可設(shè)為x+y=a;橫截距與縱截距互為相反數(shù)的直線方程可設(shè)為x-y=a 5一般式：任何一條直線方程均可寫成一般式：；（不同時(shí)為零）；反之，任何一個(gè)二元一次方程都表示一條直線。 注意：①直線方程的特殊形式，都可以化為直線方程的一般式，但一般式不一定都能化為特殊形式，這要看系數(shù)是否為0才能確定。 ②指出此時(shí)直線的方向向量：，， （單位向量）；直線的法向量：；（與直線垂直的向量） 6(選修4-4)參數(shù)式（參數(shù)）其中方向向量為， 單位向量； ；； 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

4、，則； （為參數(shù)）其中方向向量為， 的幾何意義為；斜率為；傾斜角為。 3、 兩條直線的位置關(guān)系 位置關(guān)系 平行 ，且 (A1B2-A2B1=0) 重合 ，且 相交 垂直 設(shè)兩直線的方程分別為：或；當(dāng)或時(shí)它們相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組或解； 注意：①對(duì)于平行和重合，即它們的方向向量（法向量）平行；如： 對(duì)于垂直，即它們的方向向量（法向量）垂直；如 ②若兩直線的斜率都不存在，則兩直線 平行 ；若一條直線的斜率不存在，另一直線的斜率為 0 ，則兩直線垂直。 ③對(duì)于來(lái)說，無(wú)論直線的斜率存在與否，該式都成立。因此，此公式使用起來(lái)更方便

5、． ④斜率相等時(shí)，兩直線平行(或重合)；但兩直線平行(或重合)時(shí)，斜率不一定相等，因?yàn)樾甭视锌赡懿淮嬖凇? 四、兩直線的交角 （1）到的角：把直線依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角；它是有向角，其范圍是； 注意：①到的角與到的角是不一樣的；②旋轉(zhuǎn)的方向是逆時(shí)針方向；③繞“定點(diǎn)”是指兩直線的交點(diǎn)。 （2）直線與的夾角：是指由與相交所成的四個(gè)角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范圍是； （3）設(shè)兩直線方程分別為： 或 ①若為到的角，或； ②若為和的夾角，則或； ③當(dāng)或時(shí)，； 注意：①上述與有關(guān)的公式中，其前提是兩直線斜率都存在，而且兩直線互不垂直；當(dāng)有一條直線斜率不存在時(shí)，

6、用數(shù)形結(jié)合法處理。 ②直線到的角與和的夾角：或； 5、 點(diǎn)到直線的距離公式： 1.點(diǎn)到直線的距離為：； 2.兩平行線，的距離為：； 六、直線系： （1）設(shè)直線，，經(jīng)過的交點(diǎn)的直線方程為（除去）； 如：①，即也就是過與的交點(diǎn)除去 的直線方程。 ②直線恒過一個(gè)定點(diǎn) 。 注意：推廣到過曲線與的交點(diǎn)的方程為：； （2）與平行的直線為； （3）與垂直的直線為； 七、對(duì)稱問題： （1）中心對(duì)稱： ①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱： 該點(diǎn)是兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn) ②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱： Ⅰ、在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出它們關(guān)于

7、已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程； Ⅱ、求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，在利用由點(diǎn)斜式得出直線方程； Ⅲ、利用點(diǎn)到直線的距離相等。求出直線方程。 如：求與已知直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程。 （2）軸對(duì)稱： ①點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱： Ⅰ、點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)。 Ⅱ、求出過該點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點(diǎn)，在利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。 如：求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的坐標(biāo)。 ②直線關(guān)于直線對(duì)稱：（設(shè)關(guān)于對(duì)稱） Ⅰ、若相交，則到的角等于到的角；若，則，且與的距離相等。 Ⅱ、求出上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程。

8、Ⅲ、設(shè)為所求直線直線上的任意一點(diǎn)，則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)適合的方程。 如：求直線關(guān)于對(duì)稱的直線的方程。 八、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃： （1）設(shè)點(diǎn)和直線， ①若點(diǎn)在直線上，則；②若點(diǎn)在直線的上方，則； ③若點(diǎn)在直線的下方，則； （2）二元一次不等式表示平面區(qū)域： 對(duì)于任意的二元一次不等式， ①當(dāng)時(shí)，則表示直線上方的區(qū)域； 表示直線下方的區(qū)域； ②當(dāng)時(shí)，則表示直線下方的區(qū)域； 表示直線上方的區(qū)域； 注意：通常情況下將原點(diǎn)代入直線中，根據(jù)或來(lái)表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。 （3）線性規(guī)劃： 求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。 滿足線性約

9、束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。 注意：①當(dāng)時(shí)，將直線向上平移，則的值越來(lái)越大； 直線向下平移，則的值越來(lái)越??； ②當(dāng)時(shí)，將直線向上平移，則的值越來(lái)越??； 直線向下平移，則的值越來(lái)越大； x y O A(1,1) B(5,1) C(4,2) 如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括周界），目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則為 ； 第二部分：圓與方程 2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心，半徑 特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：. 2.2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系： 1.

10、設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，圓半徑為r： (1)點(diǎn)在圓上 d=r；(2)點(diǎn)在圓外 d＞r；(3)點(diǎn)在圓內(nèi) d＜r． 2.給定點(diǎn)及圓. ①在圓內(nèi) ②在圓上 ③在圓外 2.3 圓的一般方程： . 當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心，半徑. 當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，方程無(wú)圖形（稱虛圓）. 注：（1）方程表示圓的充要條件是：且且. 圓的直徑系方程：已知AB是圓的直徑 2.4 直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系有三種，d是圓心到直線的距離，( (1)；(2)；（3）。 2.5 兩圓的位置關(guān)系 設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。 （1）；（2

11、）； （3）；（4）； （5）； 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 2.6 圓的切線方程： 1. 直線與圓相切：(1)圓心到直線距離等于半徑r；（2）圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直（斜率互為負(fù)倒數(shù)） 2. 圓的斜率為的切線方程是過圓上一點(diǎn)的切線方程為：. 一般方程若點(diǎn)(x0 ,y0)在圓上，則(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特別地，過圓上一點(diǎn)的切線方程為. 若點(diǎn)(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程. 2.7圓的弦長(zhǎng)問題：1.半弦、半徑r、弦心距

12、d構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理： 2.弦長(zhǎng)公式（設(shè)而不求）： 第三部分:橢圓 一．橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，即點(diǎn)集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}； 這里兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距2c。 （時(shí)為線段，無(wú)軌跡）。 2．標(biāo)準(zhǔn)方程： ①焦點(diǎn)在x軸上：（a＞b＞0）； 焦點(diǎn)F（c，0） ②焦點(diǎn)在y軸上：（a＞b＞0）； 焦點(diǎn)F（0, c） 注意：①在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞b＞0，并且橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上； ②一般形式表示：或者

13、 二．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)： 1.范圍 （1）橢圓（a＞b＞0） 橫坐標(biāo)-a≤x≤a ,縱坐標(biāo)-b≤x≤b （2）橢圓（a＞b＞0） 橫坐標(biāo)-b≤x≤b,縱坐標(biāo)-a≤x≤a 2.對(duì)稱性 橢圓關(guān)于x軸y軸都是對(duì)稱的，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心 3.頂點(diǎn) （1）橢圓的頂點(diǎn)：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b） （2）線段A1A2，B1B2 分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于2a，短軸長(zhǎng)等于2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。 4．離心率

14、 （1）我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比，即稱為橢圓的離心率， 記作e（）， e越接近于0 （e越小），橢圓就越接近于圓; e越接近于1 （e越大），橢圓越扁； 注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無(wú)關(guān)。 （2）橢圓的第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一定直線（準(zhǔn)線）的距離的比為常數(shù)e，（0＜e＜1）的點(diǎn)的軌跡為橢圓。（） ①焦點(diǎn)在x軸上：（a＞b＞0）準(zhǔn)線方程： ②焦點(diǎn)在y軸上：（a＞b＞0）準(zhǔn)線方程： 小結(jié)一：基本元素 （1）基本量：a、b、c、e、（共四個(gè)量）， 特征三角形 （2）基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心（共七個(gè)點(diǎn)） （3）基本

15、線：對(duì)稱軸（共兩條線） 5．橢圓的的內(nèi)外部 （1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部. （2）點(diǎn)在橢圓的外部. 6.幾何性質(zhì) （1） 焦半徑（橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的線段）： （2）通徑（過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦） （3）焦點(diǎn)三角形（橢圓上的任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)夠成的三角形）：其中 7直線與橢圓的位置關(guān)系： (1) 判斷方法:聯(lián)立直線方程與橢圓方程消y(或x)得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號(hào)判斷位置關(guān)系： 聯(lián)立消y得： 聯(lián)立消x得： (2) 弦中點(diǎn)問題:斜率為k的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，則： (3) 弦長(zhǎng)公式： 第四部分：雙曲線 雙曲線 標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)

16、在軸） 標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸） 定義 第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。 P P 第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離的比是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)（）叫做雙曲線的離心率。 P P P P 范圍 ， ， 對(duì)稱軸 軸 ，軸；實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為 對(duì)稱中心 原點(diǎn) 焦點(diǎn)坐標(biāo) 焦點(diǎn)在實(shí)軸上，；焦距： 頂

17、點(diǎn)坐標(biāo) （,0） (,0) (0, ,) (0，) 離心率 1) 重要結(jié)論 （1） 焦半徑（雙曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的線段）： （2）通徑（過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦） （3）焦點(diǎn)三角形（雙曲線上的任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)夠成的三角形）： 準(zhǔn)線方程 準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離： 漸近線 方程 共漸近線的雙曲線系方程 （） （） 直線和雙曲線的位置 （1）判斷方法:聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消y(或x)得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號(hào)判斷位置關(guān)系： 聯(lián)立消y得： 聯(lián)立消x得： (4) 弦中點(diǎn)問題:斜率為k的

18、直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，則： 弦長(zhǎng)公式： 補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)： 等軸雙曲線的主要性質(zhì)有： （1）半實(shí)軸長(zhǎng)=半虛軸長(zhǎng)； （2）其標(biāo)準(zhǔn)方程為其中C≠0； （3）離心率； （4）漸近線：兩條漸近線 y=x 互相垂直； （5）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)； （6）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)P處的切線夾在兩條漸近線之間的線段，必被P所平分； 7）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)處的切線與兩條漸近線圍成三角形面積恒為常數(shù) 第五部分：拋物線知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 圖象 x y O l F x y O l F l F

19、 x y O x y O l F 定義 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。{=點(diǎn)M到直線的距離} 范圍 對(duì)稱性 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱 焦點(diǎn) (,0) (,0) (0,) (0,) 焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上 頂點(diǎn) 離心率 =1 準(zhǔn)線 方程 準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。 頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 焦半徑 焦點(diǎn)弦 長(zhǎng) 焦點(diǎn)弦的幾

20、條性質(zhì)(以焦點(diǎn)在x軸正半軸為例) o x F y M N 以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切,以MN為直徑的圓與AB相切與點(diǎn)F，即 若的傾斜角為，則 參數(shù) 方程 1. 直線與拋物線的位置關(guān)系 直線，拋物線，，消y得： （1）當(dāng)k=0時(shí)，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，有一個(gè)交點(diǎn)； （2）當(dāng)k≠0時(shí)， Δ＞0，直線與拋物線相交，兩個(gè)不同交點(diǎn)； Δ=0， 直線與拋物線相切，一個(gè)切點(diǎn)； Δ＜0，直線與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)。 （3） 若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),則

21、直線與拋物線必相切嗎?（不一定） 2. 關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法 直線： 拋物線， 1　 聯(lián)立方程法： 設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,，則有,以及，還可進(jìn)一步求出， 在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，對(duì)稱，面積等問題時(shí)，常用此法，比如 a. 相交弦AB的弦長(zhǎng) 或 b. 中點(diǎn), ， 2　 點(diǎn)差法： 設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，代入拋物線方程，得 將兩式相減，可得 a. 在涉及斜率問題時(shí)， b. 在涉及中點(diǎn)軌跡問題時(shí)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，， 即， 同理，對(duì)于拋物線，若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則有 （注意能用這個(gè)公式的條件：1）直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，2）直線的斜率存在，且不等于零）