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1、1 第二章 機(jī)器人的空間描述和坐標(biāo)變換 2.1 位姿和坐標(biāo)系描述 2.2平移和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系映射 2.3平移和旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換 2.4物體的變換和變換方程 2.5通用旋轉(zhuǎn)變換 2 z y x A p p p p 2 -1圖 位 置 表 示 2.1位置方位表示與坐標(biāo)系描述 1.位置描述 矢量 Ap 表示箭頭指向點(diǎn)的位置矢量，其 中右上角標(biāo) “A”表示該點(diǎn)是用 A坐標(biāo)系描述 的。 （ 2-2） 2.方位描述 坐標(biāo)系 B與機(jī)械手末端工具固連，工具的姿態(tài) 可以由坐標(biāo)系 B的方向來(lái)描述。而坐標(biāo)系 B的方 向可以用沿三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量來(lái)表示 333231 232221 131211 rrr rrr rrr
2、R BABABAAB ZYX X A Z A Y A A P O A 圖 2-2方位表 示 （ 2-1） 旋轉(zhuǎn)矩陣 描述坐標(biāo)系 B的姿態(tài)，矢量 描述坐標(biāo)系 B的原點(diǎn)位 置。 3 BoAAB RB p 3.位姿描述 固連坐標(biāo)系把剛體位姿描述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系的描述問(wèn)題。圖 2-3 中坐標(biāo)系 B可以在固定坐標(biāo)系 A中描述為 （ 2-3） RAB BoAP 4 1.平移坐標(biāo)變換 圖 2-3平移變換 A B O B O A A P B O A P B P BP為坐標(biāo)系 B描述的某一空間位 置，我們也可以用 AP（坐標(biāo)系 A）描 述同一空間位置。因?yàn)閮蓚€(gè)坐標(biāo)系具有 相同的姿態(tài)，同一個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下 的描
3、述滿足以下關(guān)系 A B A BoP P P （ 2-4） 2.2平移和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系映 射 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的任務(wù)是已知坐標(biāo)系 B描述的 一個(gè)點(diǎn)的位置矢量 BP和 旋轉(zhuǎn)矩陣 ，求在坐標(biāo) 系 A下描述同一個(gè)點(diǎn)的位置矢量 AP。 5 2.旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變 換 X A Z A Y A A P ( B P ) X B Y B Z B RAB A B T B xA A B T B yA A B T B zA p p p XP YP ZP （ 2-5） 將（ 2-5）式寫成矩陣形式得： PP Z Y X P BABB T A B T A B T A B A R （ 2-6） 圖 2-4旋轉(zhuǎn)變換 式（ 2-6）即為我們要
4、求的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，該變換是通過(guò)兩個(gè)坐 標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換實(shí)現(xiàn)的。 6 3.復(fù)合變換 A C O B O A A P B O A P B P B 圖 2-5復(fù)合變換 如果兩個(gè)坐標(biāo)系之間即存在平移 又存在旋轉(zhuǎn)，如何計(jì)算同一個(gè)空間點(diǎn) 在兩個(gè)坐標(biāo)系下描述的變換關(guān)系？ 為了得到位置矢量 BP和 AP之 間的變換關(guān)系，我們建立一個(gè)中 間坐標(biāo)系 C。 PPP BABBCBC RR A C A A B ACo B B oR P P P P P （ 2-7） （ 2-8） 為了得到位置矢量 BP和 AP之間的變換關(guān)系，只需坐標(biāo)系 B 在坐標(biāo)系 下 A的描述。 是 44矩陣，稱為齊次坐標(biāo)變換矩陣?？梢岳斫鉃樽鴺?biāo)系
5、 B在固定坐 標(biāo)系 A中的描述。 7 2.3齊次坐標(biāo)變換 坐標(biāo)變換（ 2-8）可以寫成以下形式 1101 PPP B Bo AA B A R （ 2-9） 將位置矢量用 41矢量表示，增加 1維的數(shù)值恒為 1，我們?nèi)匀挥迷?來(lái)的符號(hào)表示 4維位置矢量并采用以下符號(hào)表示坐標(biāo)變換矩陣 10 Bo AA BA B RT P （ 2-10 ） PP BABA T （ 2-11） TAB 齊次坐標(biāo)變換的主要作用是表達(dá)簡(jiǎn)潔，同時(shí)在表示多個(gè)坐標(biāo)變換 的時(shí)候比較方便。 1.齊次變換 8 2.齊次變換算子 在機(jī)器人學(xué)中還經(jīng)常用到下面的變換，如圖 2-8，矢量 AP1沿矢量 AQ平移至的 AQ終點(diǎn)，得一矢量 AP
6、2。已知 AP1和 AQ求 AP2的過(guò)程稱之為 平移變換，與前面不同，這里只涉及單一坐標(biāo)系。 A O A Q A P 2 A P 1 A P 1 圖 2-6平移算子 QPP AAA 12 （ 2-12） 可以采用齊次變換矩陣表示平移變換 12 )( PQP AAA T r a n s （ 2-13） )( QATrans 稱為平移算子，其表達(dá)式為 1)( 0 QQ A A IT r a n s （ 2-14） 其中 I是 33單位矩陣。例如若 AQ=ai+bj+ck， 其中 i、 j和 k分別表示坐標(biāo)系 A三個(gè)坐標(biāo)軸的 單位矢量，則平移算子表示為 1000 100 010 001 ),( c
7、b a cbaT r an s 9 X A Y A A P 2 Z A A P 1 q 同樣，我們可以研究矢量在同一坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn) 變換，如圖 2-9， AP1繞 Z軸轉(zhuǎn) q角得到 AP2。則 圖 2-7旋轉(zhuǎn)算子 12 ),( PP AA zR o t q （ 2-20） Rot(z,q)稱為旋轉(zhuǎn)算子，其表達(dá)式為 1000 0100 00 00 ),( qq qq q cs sc zR o t （ 2-21） 同理，可以得到繞 X軸和 Y軸的旋轉(zhuǎn)算子 1000 00 00 0001 ),( qq qq q cs sc xR ot 1000 00 0010 00 ),( qq qq q cs s
8、c yR ot 10 定義了平移算子和旋轉(zhuǎn)算子以后，可以將它們復(fù)合實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的映射 關(guān)系。變換算子與前面介紹的坐標(biāo)變換矩陣形式完全相同，因?yàn)樗忻?述均在同一坐標(biāo)系下，所以不需上下標(biāo)描述（坐標(biāo)系）。 21AAP T P （ 2-23） TAB ABR BoAP PP BABA T 21AAP T P 齊次坐標(biāo)變換總結(jié)： 表示坐標(biāo)系 B在坐標(biāo)系 A下的描述， 的各列是坐標(biāo)系 B三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量， 而表示坐標(biāo)系 B原點(diǎn)位置 。 2. 它是不同坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換。如 3.它是同一坐標(biāo)系內(nèi)的變換算子。 齊次坐標(biāo)變換是復(fù)雜空間變換的基礎(chǔ)，必須認(rèn)真理解和掌握。具體應(yīng) 用的關(guān)鍵是理解它代表的是上面三種
9、含義的哪一種，而不是簡(jiǎn)單的套用 公式！ 1. 它是坐標(biāo)系的描述。 如圖 2-10表示的三個(gè)坐標(biāo)系，已知坐標(biāo)系 A、 B和 C之間的變換矩陣 和 位置 矢量 CP，求在坐標(biāo)系 A下表示同一個(gè)點(diǎn)的 位置矢量 AP。 11 3.復(fù)合變換 復(fù)合變換主要有兩種應(yīng)用形式，一種是建立了多個(gè)坐標(biāo)系描述機(jī)器人 的位姿，任務(wù)是確定不同坐標(biāo)系下對(duì)同一個(gè)量描述之間的關(guān)系；另一種是 一個(gè)空間點(diǎn)在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)順序經(jīng)過(guò)多次平移或旋轉(zhuǎn)變換，任務(wù)是確定 多次變換后點(diǎn)的位置。 A C O B O A A P C P B O C 圖 2-10 復(fù)合坐標(biāo)變換 TAB TBC PP CBCB T PPP CBCABBABA TTT
10、（ 2-24） （ 2-25） TTT BCABAC 根據(jù)坐標(biāo)變換的定義得 （ 2-26） 12 X Y Z u v w (a) ZY順序旋轉(zhuǎn) X Y Z u v w (b) Y Z順序旋轉(zhuǎn) 圖 2-11旋轉(zhuǎn)順序?qū)?變換結(jié)果影響 例 2-3已知點(diǎn) u=7i+3j+2k，先對(duì)它進(jìn)行繞 Z軸旋轉(zhuǎn) 90o 的變換得點(diǎn) v，再對(duì)點(diǎn) v進(jìn)行繞 Y軸旋轉(zhuǎn) 90o的變換得 點(diǎn) w，求 v和 w。 1 2 7 3 1 2 3 7 1000 0100 0001 0010 )90,( uv ozR o t 1 3 7 2 1 2 7 3 1000 0001 0010 0100 )90,( vw oyR o t 如
11、果只關(guān)心最后的變換結(jié)果，可以按下式計(jì)算 ( , 9 0 ) ( , 9 0 ) ( , 9 0 )o o oR o t y R o t y R o t zw v u 0 0 1 0 7 2 1 0 0 0 3 7 0 1 0 0 2 3 0 0 0 1 1 1 計(jì)算結(jié)果與前面的相同，稱 R= Rot(y,90o) Rot(z,90o) 為復(fù)合旋轉(zhuǎn)算子。 13 注：固定坐標(biāo)系變換，矩陣乘的順序“自右向左” 如果改變旋轉(zhuǎn)順序，先對(duì)它進(jìn)行繞 y軸旋轉(zhuǎn) 90o，再繞 z軸旋轉(zhuǎn) 90o，結(jié) 果如圖 2-11b所示。比較圖 2-11a和圖 2-11b可以發(fā)現(xiàn)最后的結(jié)果并不相同， 即旋轉(zhuǎn)順序影響變換結(jié)果。
12、從數(shù)學(xué)角度解釋就是矩陣乘法不滿足交換率， Rot(y,90o) Rot(z,90o) Rot(z,90o) Rot(y,90o)。 和 ， 求 和 給定 計(jì)算 14 2.4物體的變換和變換方程 TAB TBA 已知坐標(biāo)系 B相對(duì)坐標(biāo)系 A的描述 求 坐標(biāo)系 A相對(duì)坐標(biāo)系 B的描述 一種直接的方法是矩陣求逆，另一種方法是根據(jù)變換矩陣的特點(diǎn)直 接得出逆變換。后一種方法更簡(jiǎn)單方便。 即齊次變換的求逆問(wèn)題。 TAB TBA 等價(jià)為：已知 RAB BoAP RBA AoBP 是坐標(biāo)系 B的原點(diǎn)在 坐標(biāo)系 B中的描述，顯然為零矢量。 由 （ 2-28）式得 15 根據(jù)前面的討論，旋轉(zhuǎn)矩陣關(guān)系為 TABAB
13、BA RRR 1 （ 2-27） 將坐標(biāo)變換用于坐標(biāo)系 B的原點(diǎn)得 AoBBoABABoB R PPP （ 2-28） BoBP B B A A T AA o A B o B B oRR P P P（ 2-29） 逆變換可以直接用正變換的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣表示 10 Bo ATA B TA BB A RRT P （ 2-30） 16 A沿 xA平移 3個(gè)單位，再繞新的 zA 軸轉(zhuǎn) 180o得 B 1 8 0 1 8 0 0 1 0 0 1 8 0 1 8 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 A B cs R s c 因此 1 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
14、A BT B沿 z B平移 2個(gè)單位，然后繞 yB軸轉(zhuǎn) 90o再繞新 xB軸轉(zhuǎn) 150o得 C 31 22 33 11 2 2 2 2 31 22 90 0 90 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 15 0 15 0 0 1 0 0 0 90 0 90 0 15 0 15 0 1 0 0 0 1 0 0 B C cs R c s s c s c 圖 2-12楔形塊角點(diǎn)坐標(biāo) 系 例 2-4， 如圖 2-12給出的楔形塊角點(diǎn)坐標(biāo)系，求齊次坐標(biāo)變換 ,A B A B C CT T T, 3311 2 2 2 2 33 11 2 2 2 2 1 0 0 3 0 0 0 3 0 1
15、 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A A B C B CT T T 因此 A沿 xA和 zA平移 3和 2，然后繞 yA軸轉(zhuǎn) 90 ，再繞新 xA軸轉(zhuǎn) -30 得 C 也可以按以下方法計(jì)算 31 22 33 11 2 2 2 2 31 22 9 0 0 9 0 1 0 0 0 1 0 0 3 0 3 0 9 0 0 9 0 0 3 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 A C cs R c s s c s c 17 事實(shí)上，對(duì)于像本例題這種簡(jiǎn)單的情況，可以直
16、接利用齊次坐標(biāo)變換 的定義得到變換矩陣。即直接寫出坐標(biāo)系 C坐標(biāo)軸矢量在坐標(biāo)系 A下表 示得旋轉(zhuǎn)矩陣，平移矢量為坐標(biāo)系 C的原點(diǎn)在坐標(biāo)系 A下的矢量表示。 18 變換方程 圖 2-13表示了多個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系圖，可以用兩種不 同的方式得到世界坐標(biāo)系 U下坐標(biāo)系 D的描述。 B U A D C TTT ADUAUD TTTT CDBCUBUD （ 2-31） （ 2-32） 由（ 2-31）和（ 2-32）可以得到變換方程 圖 2-13坐標(biāo)變換序列 可以利用變換方程 （ 2-33） 求解其中任意一個(gè)未知變換。例如，假設(shè) 除 以外其余變換均為已知，則該未知變換可以用下式計(jì)算 TU B 11U U A
17、 C BB A D D CT T T T T 在坐標(biāo)系的圖形表示方法中，從一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)指向另一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn) 的箭頭表示坐標(biāo)系的描述關(guān)系。 TTT BCUBUC （ 2-35） 1U U D DC A A CT T T T （ 2-36） 19 例 2-5假設(shè)已知圖機(jī)械臂末端工具坐標(biāo)系 T相對(duì)基座 坐標(biāo)系 B的描述，還已知工作臺(tái)坐標(biāo)系 S相對(duì)基座 坐標(biāo)系 B的描述，并且已知螺栓坐標(biāo)系 G相對(duì)工作 臺(tái)坐標(biāo)系 S的描述。計(jì)算螺栓相對(duì)機(jī)械臂工具坐標(biāo) 系的位姿。 解：添加從工具坐標(biāo)系 T原點(diǎn)到螺栓坐標(biāo)系 G原點(diǎn) 的箭頭，可以得到如下變換方程 TTTT TGBTSGBS （ 2-37） 螺栓相對(duì)機(jī)械臂工
18、具坐標(biāo)系的位姿描述為 TTTT SGBSBTTG 1 （ 2-38） 20 x y zf f f f i j k 1.繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換 下面討論繞任意軸 f 旋轉(zhuǎn)矩陣，軸在坐標(biāo)系 A下表示為 以 f 為 Z 軸建立與 A固連的坐標(biāo)系 C用 n、 o和 f表示坐標(biāo)系 C三個(gè)坐標(biāo) 軸的單位矢量，在坐標(biāo)系 A下表示為 Z A Z C X A Y A Y C X C A p f q 圖 2-18繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換 x y z x y z x y z n n n o o o f f f n i j k o i j k f i j k x x x A C y y y z z z n o f R n o f
19、n o f 因?yàn)楣踢B的坐標(biāo)系 C與 A固連，所以繞 f旋轉(zhuǎn) 等價(jià)于繞 ZC旋轉(zhuǎn)。為此我們先將 Ap在坐標(biāo)系 C下 表示，再繞 ZC旋轉(zhuǎn) q 角，最后再把旋轉(zhuǎn)得到的矢量 用坐標(biāo)系 A表示。 C A T ACAACRRp p p 1 ( , ) ( , ) AT ACC CR o t z R o t z Rqqp p p Ap1 = Rot(f,q) Ap 2.5通用旋轉(zhuǎn)變換 21 再將 Cp1在坐標(biāo)系 A下表示 11 ( , )A A A T AAC C C CR R R o t z Rqp p p 0 ( , ) ( , ) 0 0 0 1 x y zx x x A A T C C y y y
20、 x y z z z z x y z x x y y z zx x x y y y x x y y z z z z z x y z n n nn o f cs Ro t R Ro t z R n o f s c o o o n o f f f f n c o s n c o s n c o sn o f n n o f n s o c n s o c n s o c n o f f f f qq q q q q q q q q q q q q q q q q f 1 1 1 2 2 2 3 3 3 oa n o a n o a 因此 1 2 3 x x x x x x x x x x x y
21、y x x y x y x y x z z x x z x z x z n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f q q q q q q q q q q q q 其中一個(gè)矢量 上式中的 n和 o各分量是未知的，需要用 f 的各分量表示 22 根據(jù)坐標(biāo)系的右手規(guī)則知 no = f，叉積可以按下式計(jì)算 ( ) ( ) ( )x y z y z z y z x x z x y y x x y z n n n n o n o n o n o n o n o o o
22、o i j k n o i j k ( ) , ( ) , ( )y z z y x x y x z y x y y x zn o n o f n o n o f n o n o f 再根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性可以得 1 , 0 x x x x x x x y x y x yn n o o f f n n o o f f ( , ) , 1 x x x y z x z y x y z y y y z x x z y y z x z z f f v c f f v f s f f v f s R o t f f v f s f f v c f f v f s v c f f v f s f f v
23、f s f f v c q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q f 1 2 3 x x x x x x x x x x x y y x x y x y x y x z z x x z x z x z n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f q q q q q q q q q q q q x x x A C y y y z z z n o f R n o f n o f 將上式對(duì)角線相加得 r11+ r22+ r3
24、3=1+2cq cq=( r11+ r22+ r33 -1)/2 23 2.等效轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)角 前面討論了給定轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角可以得到旋轉(zhuǎn)矩陣，那么是否任意給定的旋轉(zhuǎn) 矩陣都可以確定等效的轉(zhuǎn)軸 f和轉(zhuǎn)角 q哪？也就是兩個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)重合的坐標(biāo)系可以 通過(guò)繞固定軸轉(zhuǎn)一定的角度來(lái)實(shí)現(xiàn)從一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系。 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 x x x y z x z y A C x y z y y y z x x z y y z x z z f f v c f f v f s f f v f sr r r R r r r f f v f s f f v c f f
25、 v f s r r r f f v f s f f v f s f f v c q q q q q q q q q q q q q q q q q q 將關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱的兩個(gè)元素分別相減得 r32-r23=2fxsq, r13-r31=2fysq, r21-r12=2fzsq 將上式平方求和得 ： 4s2q=( r32-r23)2+( r13-r31)2+(r21-r12)2 假設(shè)限定繞矢量 f 正向旋轉(zhuǎn)，且 0q180o，則 2 2 23 2 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) / 2s r r r r r rq 可得 q的值 q=atan(sq/cq) 24 3 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2 ( ) / 2 ( ) / 2 ( ) / 2 x y z f r r s f r r s f r r s q q q 可得矢量 f 分量的值 在應(yīng)用中需要注意的是，當(dāng)轉(zhuǎn)角 q的值接近 0o或 180o時(shí)，方向矢量 f 各分量的值計(jì)算出現(xiàn)問(wèn)題，屬于奇異情況。
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