醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章

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1、第四章 不定積分 Integration 第一節(jié)、不定積分的概念和性質(zhì) 第二節(jié)、換元積分法和分部積分法 第三節(jié)、有理式積分法 第一節(jié) 不定積分的概念和性質(zhì) 原函數(shù)和不定積分的概念 不定積分的幾何意義 不定積分的性質(zhì) 不定積分的基本公式及線性運(yùn)算法則 例 xx c o ssi n s in 是 xc o s 的原函數(shù) . )0(1ln xxx xln 是 x1 在區(qū)間 ),0( 內(nèi)的原函數(shù) . 如果在區(qū)間 I 內(nèi)，定義： 可導(dǎo)函數(shù) )( xF 的 即 Ix ，都有 )()( xfxF 或 dxxfxdF )()( ，那么函數(shù) )( xF 就稱為 )( xf 導(dǎo)函數(shù)為 )( xf ， 或 dxxf

2、 )( 在區(qū)間 I 內(nèi) 原函數(shù) . 一、原函數(shù)與不定積分的概念 原函數(shù)存在定理： 如果函數(shù) )( xf 在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù)， 簡(jiǎn)言之： 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù) . 問題： (1) 原函數(shù)是否唯一？ 例 xx c o ssi n xCx c o ssi n （ 為任意常數(shù)） C 那么在區(qū)間 I 內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù) )( xF ， 使 Ix ，都有 )()( xfxF . (2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？ 關(guān)于原函數(shù)的說明： （ 1）若 ，則對(duì)于任意常數(shù) ， )()( xfxF C CxF )( 都是 )( xf 的原函數(shù) . （ 2）若 和 都是 的原函數(shù)， )(xF )(xG )(xf 則 Cx

3、GxF )()( （ 為任意常數(shù)） C 證 )()()()( xGxFxGxF 0)()( xfxf CxGxF )()( （ 為任意常數(shù)） C 任 意 常 數(shù) 積 分 號(hào) 被 積 函 數(shù) 不定積分的定義： 在區(qū)間 I 內(nèi)， CxFdxxf )()( 被 積 表 達(dá) 式 積 分 變 量 函數(shù) )( xf 的帶有任意 常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù) 稱為 )( xf 在區(qū)間 I 內(nèi)的 不定積分 ，記為 dxxf )( . 例 1 求 .5dxx 解 ,6 5 6 xx .6 6 5 Cxdxx 解 例 2 求 .1 1 2 dxx ,1 1ar c t an 2xx .ar c t an1 1 2 Cxdxx

4、例 3 設(shè)曲線通過點(diǎn)（ 1， 2），且其上任一點(diǎn)處的 切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程 . 解 設(shè)曲線方程為 ),( xfy 根據(jù)題意知 ,2 xdxdy 即 )( xf 是 x2 的一個(gè)原函數(shù) . ,2 2 Cxxdx ,)( 2 Cxxf 由曲線通過點(diǎn)（ 1， 2） ,1 C 所求曲線方程為 .12 xy 幾何意義 ： 函數(shù) f(x)的不定積分 是一族積分曲線 (在每 一條積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn) x處作切線，切線 相互平行，其斜率都是 f(x) )dxf( x x x y o cxFy )( )(xFy 二、不定積分的幾何意義 由不定積分的定義，可知 ),()( xfdxxfd

5、xd ,)()( dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF .)()( CxFxdF 結(jié)論： 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是 互逆 的 . 實(shí)例 xx 1 1 .1 1 Cxdxx 啟示 能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？ 結(jié)論 既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的， 因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式 . )1( 三、基本積分表 基 本 積 分 表 kCkxkdx ()1( 是常數(shù) ); );1(1)2( 1 Cxdxx ;ln)3( Cxxdx 說明： ,0 x ,ln Cxxdx ) l n (,0 xx ,1)(1 xxx ,)ln ( Cxxdx ,|ln Cxxdx dxx 21 1)4(

6、 ;ar c t an Cx dxx 21 1)5( ;ar c s i n Cx xdxco s)6( ;s in Cx xdxs i n)7( ;c o s Cx xdx 2c o s)8( xdx2s ec ;t an Cx xdx 2s in)9( xdx2cs c ;c o t Cx xdxx t a ns ec)10( ;s e c Cx xdxx co tcsc)11( ;c s c Cx dxe x)12( ;Ce x dxa x)13( ;ln Caa x 例 4 求積分 .2 dxxx 解 dxxx 2 dxx 2 5 C x 1 2 5 1 2 5 .72 2 7 Cx

7、根據(jù)積分公式（ 2） C xdxx 1 1 例 5、求積分 dxe xx 3 例 6、求積分 dxx x a x s in 1 1 2 dxxgxf )()()1( ;)()( dxxgdxx 證 dxxgdxxf )()( dxxgdxxf )()( ).()( xgxf 等式成立 . （此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況） 三、 不定積分的性質(zhì) dxxkf )()2( .) dxxfk （ k 是常數(shù)， )0k 例 7 求積分 解 .) 1 2 1 3( 22 dxxx dxxx )1 21 3( 22 dxxdxx 22 1 121 13 xa r c t a n3 xa r c s

8、i n2 C 例 8 求積分 解 . )1( 1 2 2 dx xx xx dxxx xx )1(1 2 2 dxxx xx )1( )1( 2 2 dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 1 2 .lna r c t a n Cxx 例 9 求積分 解 . )1( 21 22 2 dx xx x dxxx x )1( 21 22 2 dxxx xx )1(1 22 22 dxxdxx 22 1 11 .ar c t an1 Cxx 例 10 求積分 解 .2c o s1 1 dxx dxx2c o s1 1 dxx 1c o s21 1 2 dxx2c o s121 .t an21 Cx

9、 說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行 恒等變形，才能使用基本積分表 . 例 1 1 已知一曲線 )( xfy 在點(diǎn) )(,( xfx 處的 切線斜率為 xx s i ns ec 2 ，且此曲線與 y 軸的交 點(diǎn)為 )5,0( ，求此曲線的方程 . 解 ,s i ns e c 2 xxdxdy dxxxy s i ns ec 2 ,c o st an Cxx ,5)0( y ,6 C 所求曲線方程為 .6c o st a n xxy 基本積分表 (1) 不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念： )()( xfxF 不定積分的概念： CxFdxxf )()( 求微分與求積分的互逆關(guān)系 四、 小結(jié) 思考題

10、 符號(hào)函數(shù) 0,1 0,0 0,1 s gn)( x x x xxf 在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？ ),( 思考題解答 不存在 . 假設(shè)有原函數(shù) )(xF 0, 0, 0, )( xCx xC xCx xF 但 )( xF 在 0 x 處不可微，故假設(shè)錯(cuò)誤 所以 在 內(nèi)不存在原函數(shù) . ),( )(xf 結(jié)論 每一個(gè)含有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都 沒有原函數(shù) . 第二節(jié) 換元積分法和分部積 分法 一、第一類換元法（ “ 湊 ” 微分法） 二、第二類換元法 三、分部積分法 問題 xdx2co s ,2s i n Cx 解決方法 利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量 . 過程 令 xt 2 ,21 dtdx x

11、dx2co s dtt c o s21 Ct s in21 .2s in21 Cx 一、第一類換元法 在一般情況下： 設(shè) ),()( ufuF 則 .)()( CuFduuf 如果 )( xu （可微） dxxxfxdF )()()( CxFdxxxf )()()( )()( xuduuf 由此可得換元法定理 設(shè) )( uf 具有原函數(shù)， dxxxf )()( )()( xuduuf 第一類換元公式 （ 湊微分法 ） 說明 使用此公式的關(guān)鍵在于將 dxxg )( 化為 .)()( dxxxf 觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同 . )( xu 可導(dǎo)， 則有換元公式 定理 1 例 1 求 .2si n

12、xdx 解 （一） xdx2s in )2(2s in21 xxd ;2c o s21 Cx 解 （二） xdx2s in xdxx co ss i n2 )( s i ns i n2 xxd ;s in 2 Cx 解 （三） xdx2s in xdxx co ss i n2 )( co sco s2 xxd .c o s 2 Cx 例 2 求 .23 1 dxx 解 ,)23(23 12123 1 xxx dxx 23 1 dxxx )23(23 121 duu 121 Cu ln21 .|23|ln2 1 Cx dxbaxf )( baxuduufa )(1一般地 例 3 求 .)ln21

13、( 1 dxxx 解 dxxx )ln21( 1 )( ln ln21 1 xd x )ln21(ln21 121 xdx xu ln21 duu121 Cu |ln 2 1 .|ln21|ln 2 1 Cx 例 4 求 .)1( 3 dxxx 解 dxxx 3)1( dxxx 3)1( 11 )1()1( 1)1( 1 32 xdxx 221 )1(2 1 1 1 C xCx .)1(2 11 1 2 Cxx 例 5 求 .1 22 dxxa 解 dxxa 22 1 dx a xa 2 2 2 1 11 a x d a xa 2 1 11 .ar c t an1 Caxa 例 6 求 .25

14、8 12 dxxx 解 dxxx 25812 dx x 9)4( 1 2 dx x 1 3 4 1 3 1 22 3 4 1 3 4 1 3 1 2 x d x .3 4ar c t an31 Cx 例 7 求 .1 1 dxe x 解 dxe x 1 1 dxe ee x xx 11 dxee x x 11 dxeedx x x 1 )1(1 1 xx ededx .)1l n ( Cex x 例 8 求 .)11( 1 2 dxex xx 解 , 111 2xxx dxex xx 1 2 ) 11( )1( 1 xxde xx .1 Ce xx 例 9 求 .1232 1 dxxx 原式

15、dxxxxx xx 12321232 1232 dxxdxx 12413241 )12(1281)32(3281 xdxxdx .1212132121 33 Cxx 例 10 求 解 .c o s1 1 dxx dxxc o s1 1 dxxx x c o s1c o s1 c o s1 dxxx2c o s1 c o s1 dxx x2s inc o s1 )( s ins in 1s in 1 22 xdxdxx .s in1c o t Cxx 例 11 求 解 .co ssi n 52 x d xx xdxx 52 co ss i n )( s i nco si n 42 xxdx )(

16、 s i n)s i n1(s i n 222 xdxx )( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx .s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx 說明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇 次項(xiàng)去湊微分 . 例 12 求 解 （一） dxxs in1 .csc xdx xdxcs c dx xx 2 c o s 2 s i n2 1 2 2 c o s 2 t an 1 2 x d xx 2 t an 2 t an 1 x d x Cx |2t a n|ln .|c o tc s c|ln Cxx （使用了三角函數(shù)恒等變形） 解 （二） dxx

17、s in1 xdxcs c dx x x 2s i n s i n )( c o sc o s1 1 2 xdxxu c o s duu 21 1 duuu 1 11 121 Cuu |11|ln21 .|c o s1 c o s1|ln21 Cxx 類似地可推出 .|t a ns e c|lns e c Cxxx d x 問題 ?1 25 dxxx 解決方法 改變中間變量的設(shè)置方法 . 過程 令 tx sin ,c o s tdtdx dxxx 25 1 td ttt c o ssi n1)( si n 25 td tt 25 c o ss i n （應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果） 二、第二類

18、換元法 其中 )( x 是 )( tx 的反函數(shù) . 設(shè) )( tx 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)， )( )()()( xt dtttfdxxf 則有換元公式 并且 0)( t ，又設(shè) )()( ttf 具有原函數(shù)， 定理 2 第二類積分換元公式 )( )()()( xt dtttfdxxf 例 16 求 解 ).0(1 22 adxax 令 tax t a n td tadx 2s ec dxax 22 1 tdtata 2s e cs e c1 tdts ec Ctt |t a ns e c|ln t a x22 ax Caxx C a ax a x 22 22 ln .|ln 2,2t 例 1

19、7 求 解 .4 23 dxxx 令 tx s in2 td tdx c o s2 2,2t dxxx 23 4 t d ttt c o s2si n44si n2 23 td tt 23 co ss i n32 tdttt 22 co s)co s1(s i n32 tdtt co s)co s( co s32 42 Ctt )c o s51c o s31(32 53 t 2 x 24 x .451434 5232 Cxx 例 18 求 解 ).0(1 22 adxax 令 tax s e c 2,0t td ttadx tans e c dxax 22 1 dtta tta t an t

20、ans e c tdts ec Ctt |t a ns e c|ln t a x 22 ax Caxx C a ax a x 22 22 ln .|ln 說明 (1) 以上幾例所使用的均為 三角代換 . 三角代換的 目的 是化掉根式 . 一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有 22)1( xa 可令 ;s in tax 22)2( xa 可令 ;t a n tax 22)3( ax 可令 .s e c tax 積分中為了化掉根式是否一定采用 三角代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的 情況來定 . 說明 (2) 例 19 求 dxx x 2 5 1 （三角代換很繁瑣） 21 xt 令 ,122 tx ,t

21、dtxdx dxxx 2 5 1 td t t t 22 1 dttt 12 24 Cttt 35 3251 .1)348(151 242 Cxxx 解 例 20 求 解 .1 1 dxe x xet 1令 ,12 te x ,122 dtt tdx dxe x 1 1 dt t 1 2 2 dttt 1 1 1 1 Ctt 11ln .11ln2 Cxe x ,1ln 2 tx 說明 (3) 當(dāng)分母的階較高時(shí) , 可采用倒代換 .1tx 例 21 求 dxxx )2( 1 7 令 tx 1 ,12 dttdx dxxx )2( 17 dt t t t 27 1 2 1 dtt t 7 6 2

22、1 Ct |21|ln141 7 .|ln21|2|ln141 7 Cxx 解 例 22 求 解 .11 24 dxxx dxxx 11 24 令 tx 1 ,12 dttdx dx t tt 2 24 1 1 11 1 （分母的階較高） dttt 2 3 1 2 2 2 12 1 dt t t 2tu duuu121 duuu1 1121 )1(11 121 uduu Cuu 1131 3 .11 3 1 2 32 C x x x x 說明 (4) 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的 根式 時(shí)，可采用令 （其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） lk xx , ntx n 例 23 求 .)1( 1 3

23、 dxxx 解 令 6tx ,6 5 dttdx dxxx )1( 1 3 dttt t )1( 6 23 5 dttt 2 2 1 6 dttt 2 2 1 116 dtt 21 116 Ctt a r c t a n6 .arc t an6 66 Cxx 基 本 積 分 表 ;c o slnt a n)16( Cxxdx ;si nlnc o t)17( Cxxdx ;)t a nl n ( secsec)18( Cxxx d x ;)c o tl n ( c scc sc)19( Cxxxdx ;ar c t an11)20( 22 Caxadxxa ;ln2 11)22( 22 Cxa

24、 xaadxxa ;ar c s in1)23( 22 Caxdxxa .)ln (1)24( 2222 Caxxdxax ;ln2 11)21( 22 Cax axadxax 問題 ?2 dxex x 解決思路 利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則 . 設(shè)函數(shù) )( xuu 和 )( xvv 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) , ,vuvuuv ,vuuvv ,dxvuuvdxvu .duvuvu d v 分部積分公式 三、分部積分法 例 24 求積分 .co s xdxx 解（一） 令 ,c o s xu dvdxxdx 221 xdxx co s xdxxxx s in2c o s2 22 顯然， 選擇不當(dāng)，積分更難

25、進(jìn)行 . vu , 解（二） 令 ,xu dvxdxdx s i nc o s xdxx co s xxd s i n xdxxx si nsi n .c o ss i n Cxxx 例 25 求積分 .2 dxex x 解 ,2xu ,dvdedxe xx dxex x2 dxxeex xx 22 .)(22 Cexeex xxx （再次使用分部積分法） ,xu dvdxe x 總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正 (余 )弦函數(shù) 或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積 , 就考慮設(shè)冪函 數(shù)為 , 使其降冪一次 (假定冪指數(shù)是正整數(shù) ) u 例 26 求積分 .a rc t a n x d xx 解 令 ,a r

26、c t a n xu dvxdxdx 2 2 xdxx a r c t a n )( ar c t an2ar c t an2 22 xdxxx dxxxxx 2 22 1 1 2ar c t an2 dxxxx )1 11(21ar c t an2 2 2 .)ar c t an(21ar c t an2 2 Cxxxx 例 27 求積分 .ln3 xdxx 解 ,ln xu ,4 4 3 dvxddxx xdxx ln3 dxxxx 34 41ln41 .161ln41 44 Cxxx 總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪 函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函 數(shù)或反三角函數(shù)為 . u

27、 例 28 求積分 .)s i n ( l n dxx 解 dxx )s i n ( l n ) s i n ( l n)s i n ( l n xxdxx dxxxxxx 1)c o s ( ln)s in ( ln ) co s ( l n)co s ( l n)s i n ( l n xxdxxxx dxxxxx )s i n ( l n)co s ( l n) s i n ( l n dxx )s i n ( l n .)c o s ( l n) s i n ( ln2 Cxxx 例 29 求積分 .s i n x d xe x 解 xdxe x s i n xx d es i n )

28、( s i ns i n xdexe xx xdxexe xx co ss i n xx x d exe co ss i n )co sco s(s i n xdexexe xxx x d xexxe xx s i n)co s( s i n x d xe x s i n .)c o s( s i n2 Cxxe x 注意循環(huán)形式 三、小結(jié) 兩類積分換元法： （一）“湊”微分 （二）換元法（三角代換、倒代換、根式代換） 基本積分表 合理選擇 ，正確使用分部積 分公式 vu , dxvuuvdxvu 分部積分法 思考題 求積分 .)1(l n)ln( dxxxx p 思考題解答 dxxxxd )

29、ln1()ln( dxxxx p )1( l n)ln( )ln()ln( xxdxx p 1,)lnln ( 1, 1 )ln( 1 pCxx pC p xx p 思考題 在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)， 應(yīng)注意什么？ 思考題解答 注意前后幾次所選的 應(yīng)為同類型函數(shù) . u 例 xdxe x co s 第一次時(shí)若選 xu co s1 xdxe x co s dxxexe xx s i nco s 第二次時(shí)仍應(yīng)選 xu s in2 第三節(jié) 幾類特殊函數(shù)的不定 積分 一、有理函數(shù)的積分 二、三角函數(shù)有理式的積分 有理函數(shù)的定義： 兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之 . mm mm nn nn bxbxb

30、xb axaxaxa xQ xP 1 1 10 1 1 10 )( )( 其中 m 、 n 都是非負(fù)整數(shù)； naaa , 10 及 mbbb , 10 都是實(shí)數(shù)，并且 00 a ， 00 b . 一、有理函數(shù)的積分 假定分子與分母之間沒有公因式 ,)1( mn 這有理函數(shù)是 真分式 ； ,)2( mn 這有理函數(shù)是 假分式 ； 利用多項(xiàng)式除法 , 假分式可以化成一個(gè) 多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和 . 例 1 12 3 x xx . 1 1 2 xx 難點(diǎn) 將有理函數(shù)化為部分分式之和 . （ 1）分母中若有因式 ，則分解后為 kax )( ,)()( 121 ax Aax Aax A kkk 有理函數(shù)

31、化為部分分式之和的一般規(guī)律： 其中 kAAA , 21 都是常數(shù) . 特殊地： ,1k 分解后為 ;axA （ 2）分母中若有因式 ，其中 kqpxx )( 2 則分解后為 042 qp qpxx NxM qpxx NxM qpxx NxM kk kk 212 22 2 11 )()( 其中 ii NM , 都是常數(shù) ),2,1( ki . 特殊地： ,1k 分解后為 ;2 qpxx NMx 真分式化為部分分式之和的 待定系數(shù)法 65 3 2 xx x )3)(2( 3 xx x , 32 x B x A ),2()3(3 xBxAx ),23()(3 BAxBAx ,3)23( ,1 BA

32、BA , 6 5 B A 65 3 2 xx x . 3 6 2 5 xx 例 1 2)1( 1 xx ,1)1( 2 x Cx BxA )1()1()1(1 2 xCxBxxA 代入特殊值來確定系數(shù) CBA , 取 ,0 x 1 A 取 ,1x 1 B 取 ,2x BA,并將 值代入 )1( 1 C .11)1( 11 2 xxx2)1( 1 xx 例 2 求積分 .)1( 1 2 dxxx dxxx 2)1( 1 dxxxx 1 1 )1( 11 2 dxxdxxdxx 11)1( 11 2 .)1ln (11ln Cxxx 解 例 3 . 1 5 1 5 2 21 5 4 2x x x

33、)1)(21( 1 2xx ),21)()1(1 2 xCBxxA ,)2()2(1 2 ACxCBxBA ,1 ,02 ,02 CA CB BA ,51,52,54 CBA ,121 2x CBxxA )1)(21( 1 2xx 整理得 求積分 解 .)1)(21( 1 2 dxxx dx x x dx x 2 1 5 1 5 2 21 5 4 dxxx )1)(21( 1 2 dxxdxxxx 22 1 1511 251)21ln (52 .ar c t an51)1l n (51)21l n (52 2 Cxxx 說明 將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出 現(xiàn)三類情況： )1( 多項(xiàng)式；

34、;)()2( nax A ;)()3( 2 nqpxx NMx 討論積分 ,)( 2 dx qpxx NMx n ,42 22 2 pqpxqpxx 令 tpx 2 ,4 2 2 pqa , 2 MpNb 則 dxqpxx NMx n)( 2 dtat Mt n)( 22 dtat b n)( 22 ,222 atqpxx ,bMtNMx 記 ,1)2( n dx qpxx NMx n)( 2 122 )(1(2 natn M . )( 1 22 dtatb n 這三類積分均可積出 , 且原函數(shù)都是初等函數(shù) . 結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù) . ,1)1( n dxqpxx NMx2 )

35、ln (2 2 qpxxM ;2ar c t an Ca px a b 三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算 構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為 )c o s,( si n xxR 2c o s2s i n2s i n xxx 2 s e c 2 tan2 2 x x , 2 t an1 2 t an2 2 x x ,2s i n2c o sc o s 22 xxx 二、三角函數(shù)有理式的積 分 2 s e c 2 t a n1 c o s 2 2 x x x , 2 t an1 2 t an 2 2 x x 令 2tan xu ,1 2s i n 2uux ,11co s 2 2 u u

36、x ux a r c t a n2 duudx 21 2 dxxxR )c o s,( si n .1 211,1 2 22 2 2 duuu u u uR （萬(wàn)能置換公式） 例 7 求積分 .c o ss in1 s in dxxx x 解 ,1 2s in 2uux 2 2 1 1c o s u ux , 1 2 2 duudx 由萬(wàn)能置換公式 dxxx x c o ss in1 s in duuu u )1)(1( 2 2 duuu uuu )1)(1( 112 2 22 duuu uu )1)(1( )1()1( 2 22 duuu 211 duu 1 1 ua r c t a n )

37、1ln (21 2u Cu |1|ln 2t an xu 2 x | 2s e c|ln x .| 2t an1|ln C x 例 8 求積分 .s in14 dxx 解（一） ,2t an xu ,1 2s in 2uux ,1 2 2 duudx dxx4s in1 duu uuu 4 642 8 331 Cuuuu 3333 181 3 3 . 2 t an 24 1 2 t an 8 3 2 t an8 3 2 t an24 1 3 3 C xx xx 解（二） 修改萬(wàn)能置換公式 , xu ta n令 ,1s in 2uux ,1 1 2 duudx dxx4s in1 du u u u 24 2 1 1 1 1 duu u 4 21 Cuu 13 1 3 .c o tc o t31 3 Cxx 結(jié)論 : 比較以上兩種解法 , 便知萬(wàn)能置換不一定 是最佳方法 , 故三角有理式的計(jì)算中先考 慮其它手段 , 不得已才用萬(wàn)能置換 . 有理式分解成部分分式之和的積分 . （注意：必須化成真分式） 三角有理式的積分 .（萬(wàn)能置換公式） （注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能） 四、小結(jié) 思考題 是否所有的初等函數(shù)都是可積的？ 思考題解答 有些初等函數(shù)的不定積分不能用初等 函數(shù)表示 . dx x xdxedx x x s i n ln 1 2 ，