米粉切割機(jī)的設(shè)計(jì)

米粉切割機(jī)的設(shè)計(jì),米粉切割機(jī)的設(shè)計(jì),米粉,切割機(jī),設(shè)計(jì) 造紙廠中的卷筒和平板紙切割 造紙廠中的卷筒和平板紙切割 摘要： 這篇文章描述了發(fā)生在葡萄牙造紙廠，在設(shè)計(jì)和最優(yōu)化的切割卷筒和平板紙的生產(chǎn)過(guò)程中所出現(xiàn)的一個(gè)現(xiàn)實(shí)性的工業(yè)難題。全球性的工業(yè)難題主要是寬度的設(shè)定，這些寬度的設(shè)定在生產(chǎn)的過(guò)程中一定要符合相應(yīng)的條款，主要的目標(biāo)就是要能夠使一系列已經(jīng)定好的卷筒和平板紙與主要的卷筒相分離。寬度結(jié)合的這個(gè)過(guò)程將決定即將被生產(chǎn)加工的主要卷筒的質(zhì)量和重量、切割的樣式以使損失達(dá)到最小，從而滿足生產(chǎn)的需要。 進(jìn)程中的技術(shù)進(jìn)程對(duì)這個(gè)擁有兩個(gè)加工階段的進(jìn)程起著決定性的作用。本文還介紹了模型的細(xì)節(jié)和解決的方法。還包括一些解說(shuō)性的計(jì)算方面的結(jié)果。 2003 Elsevier Ltd. 版權(quán)所有 關(guān)鍵詞：結(jié)合的最優(yōu)化；成品紙庫(kù)存；自發(fā)式 1、引言 在造紙廠設(shè)計(jì)紙張的生產(chǎn)過(guò)程中采用了許多具有實(shí)質(zhì)效果的特殊方式，其中的每個(gè)方式又有自己獨(dú)特的特點(diǎn)，同時(shí)這種方式還要求必須有8個(gè)精確無(wú)誤的數(shù)學(xué)公式和解決方法[1-3]。然而，把所耗費(fèi)的損失降到最小卻是由客觀性的物理作用而決定的。其余的部分則是由運(yùn)行整個(gè)過(guò)程的時(shí)間、數(shù)字和切割型號(hào)的特性等因素列表而組成的。另外還有一些是常見(jiàn)的強(qiáng)制力、相關(guān)客戶的說(shuō)明書(shū)、戰(zhàn)略決定和生產(chǎn)過(guò)程中的一些技術(shù)特性。 這篇文章主要闡述了應(yīng)葡萄牙造紙廠CPP的要求而設(shè)計(jì)的一套流程，主要用以產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和切割紙張的卷筒。這套系統(tǒng)被命名為[COOL]（[COOL]代表葡萄牙的單詞，意思是能使寬度的聯(lián)合達(dá)到最佳化），是復(fù)雜系統(tǒng)的一部分，用來(lái)支撐生產(chǎn)紙張和操縱托盤的工具。 在這篇論文里所解決的就是制定切割的型號(hào)以及生產(chǎn)依照型號(hào)和質(zhì)量而進(jìn)行分類的紙張來(lái)滿足預(yù)定規(guī)格的卷筒和平板紙。這個(gè)系統(tǒng)基本上就是處理在符合定單的前提下設(shè)計(jì)紙張，切割主要卷筒的過(guò)程中所出現(xiàn)的問(wèn)題。切割預(yù)計(jì)要與主軸相連，并且要考慮把損失降到最小化同時(shí)還要滿足定單的數(shù)量要求。一個(gè)多樣化的技術(shù)上、操作上出現(xiàn)的強(qiáng)制力包含在設(shè)計(jì)的進(jìn)程之中，并引發(fā)了一個(gè)奇怪的難關(guān)。 從這種觀點(diǎn)來(lái)看，這項(xiàng)難題存在于成品紙庫(kù)存這個(gè)問(wèn)題之中[4-6]。這個(gè)問(wèn)題忽視在卷筒末端將會(huì)出現(xiàn)損失而公式化的被采用，這樣1D進(jìn)程就被設(shè)計(jì)出來(lái)。在切割過(guò)程中的技術(shù)特性決定了擁有兩個(gè)工業(yè)階段的進(jìn)程的方法論的必要性。另一個(gè)1D的切割問(wèn)題可以在已經(jīng)出版的文學(xué)上得到證實(shí)。不僅是造紙業(yè)，這項(xiàng)進(jìn)程還可以應(yīng)用到其他工業(yè)，例如鋼鐵行業(yè)[7、8]和塑料行業(yè)[9]。 我們?cè)O(shè)想一個(gè)原始的解決方法來(lái)解決前面所出現(xiàn)的問(wèn)題，與僅用人工就能獲得解決方法相比，這種方法就正如造紙廠所證實(shí)的那樣用節(jié)省紙張來(lái)達(dá)到重視改良的效果。這種方法是基于兩個(gè)獨(dú)特的呈直線型的計(jì)劃模型，而這個(gè)模型則是由單一的阿拉伯算法計(jì)算而得的。那么，為了滿足以往被忽略的全部限制所得到的解決方法就必須類似于后選擇步驟。這個(gè)解決方法所獲得的有效性是通過(guò)工業(yè)難題的整合應(yīng)用模型的改革運(yùn)動(dòng)而獲得的，這種改革運(yùn)動(dòng)是用微軟CPLEX⒍0的商業(yè)最優(yōu)化來(lái)解決的。 這篇論文的整體結(jié)構(gòu)如下：第2段介紹了生產(chǎn)的難題和它的工業(yè)背景。特殊強(qiáng)調(diào)了工業(yè)環(huán)境的特殊作用以及相關(guān)的解決辦法。第3段和第4段將描述出現(xiàn)的問(wèn)題和解決問(wèn)題相應(yīng)的方法論。第4段列舉了一個(gè)小例子來(lái)說(shuō)明解決問(wèn)題的進(jìn)程。第5段現(xiàn)實(shí)性的討論了一些可能出現(xiàn)的結(jié)果。 2、工業(yè)環(huán)境 這一研究案例是在一家葡萄牙造紙廠中進(jìn)行的，因?yàn)槭菑募垵{開(kāi)始生產(chǎn)紙產(chǎn)品，所以此案例可視為一個(gè)垂直工業(yè)流程，產(chǎn)品包含卷筒紙和平板紙。工廠在兩類市場(chǎng)中運(yùn)做：一類是標(biāo)準(zhǔn)紙，另一類是按要求預(yù)定紙。整個(gè)生產(chǎn)周期一共六周，并且由于技術(shù)因素，紙生產(chǎn)中存在一個(gè)或加速或減速的提前預(yù)警產(chǎn)品的生產(chǎn)連續(xù)性問(wèn)題。 圖1 制造流程 圖1顯示了該廠通過(guò)生產(chǎn)線的成品紙從紙漿中生產(chǎn)出再按固定寬度繞在主卷筒機(jī)上,然后主卷筒機(jī)隨卷線機(jī)將卷筒紙切成小筒紙,這些卷筒紙或被直接提供給客戶或送入中間倉(cāng)庫(kù)。 在卷線機(jī)和切割機(jī)上都有少量的固定寬度的切割碎片留在紙上。這主要由采用的生產(chǎn)流程所決定。 圖2顯示了計(jì)劃和生產(chǎn)流程的相干方面。重點(diǎn)是主產(chǎn)品和副產(chǎn)品計(jì)劃和產(chǎn)量的不同。計(jì)劃是基于客戶同屬的產(chǎn)品定貨。同一紙種和等級(jí)的卷筒紙和輔助卷筒紙一起構(gòu)成了預(yù)訂產(chǎn)品的規(guī)格。這種助卷筒紙只包含卷筒紙和平板紙中的一種。因此兩種輔助卷筒紙是有區(qū)別的：一種是平板輔助卷筒紙，一種是卷筒輔助卷筒紙。輔助卷筒紙只按照有關(guān)的主卷筒紙構(gòu)成其切割方式的。 介紹了輔助切割，以便于對(duì)于產(chǎn)品生產(chǎn)過(guò)程和采取的解決方法有一個(gè)更好地了解。這與有關(guān)的技術(shù)過(guò)程密切相關(guān)。且當(dāng)應(yīng)用到切紙機(jī)時(shí)，就要求對(duì)于額外的紙寬進(jìn)行考慮。在主切割方式的副切割方式的定義由相應(yīng)的兩項(xiàng)解決方案決定。在副卷筒和切割方法的終結(jié)中必須進(jìn)行討論。這些限制決定了方法的可行性。 訂購(gòu)系統(tǒng)如圖3所示，可在國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)訂購(gòu)（因?yàn)榇斯疽苍谄咸蜒酪酝膺\(yùn)作）由市場(chǎng)營(yíng)銷部負(fù)責(zé)。如果認(rèn)為合適的話，與外部訂購(gòu)相同?？稍从谶@些定單產(chǎn)品要求或是切割定單或是預(yù)期定單。當(dāng)一位客戶的卷筒紙的定單可由現(xiàn)存（存在半成品倉(cāng)庫(kù)）的卷筒紙滿足其要求時(shí)就生成一份切割定單，當(dāng)客戶的平板紙定單可由現(xiàn)存（存于標(biāo)準(zhǔn)倉(cāng)庫(kù)）的平板紙滿足時(shí)，就生成一份預(yù)期定單。 圖2計(jì)劃和生產(chǎn)流程 圖3 訂購(gòu)系統(tǒng) 3問(wèn)題描述 為了使完成生產(chǎn)定單時(shí)的浪費(fèi)最少，造紙中存在的工作主要是切紙方法的整合過(guò)程。它決定了主卷筒紙的重量和質(zhì)量。生產(chǎn)系統(tǒng)的發(fā)展將支持產(chǎn)品定單的切割計(jì)劃。不會(huì)干擾相關(guān)定單的完成與每個(gè)生產(chǎn)循環(huán)的成品紙的生產(chǎn)。這些是市場(chǎng)營(yíng)銷部所做的決定，最終在使用cool系統(tǒng)的模擬中得到了支持。 在與主卷筒機(jī)有關(guān)的切割方法的定義中必須考慮到一些限制條件。這些限制條件可分為以下兩方面： 操作限制（包括管理和客戶要求） *只有每個(gè)寬度單位的等重的卷筒紙才可以結(jié)合在一起 *只有內(nèi)外直徑相同才可以結(jié)合 *客戶的內(nèi)外徑規(guī)格的要求必須得到滿足 *必須考慮到輔助卷筒機(jī)的任務(wù)，因?yàn)榍屑垯C(jī)有不同的特點(diǎn)。對(duì)于切割方法提出了最小寬度的要求，以便使可用的機(jī)器得以利用。 技術(shù)限制（主要?dú)w因于機(jī)器的特點(diǎn)） * 在輸入時(shí)主卷筒機(jī)的最大和最小寬度； * 旋切刀的限制數(shù)； * 切割機(jī)最大，最小板紙寬度； * 切割機(jī)的最大切割卷筒紙直徑； * 在切割機(jī)和卷線機(jī)中的邊料； 在造紙工業(yè)中還必須考慮一系列的歐洲耗材標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)在完成訂單的過(guò)程中（見(jiàn)表1）在這個(gè)范圍內(nèi)，客戶有義務(wù)接受訂貨數(shù)量的不足。當(dāng)產(chǎn)量大于最大定購(gòu)數(shù)量時(shí)，市場(chǎng)部會(huì)努力勸說(shuō)客戶接受這些額外數(shù)量的產(chǎn)品。由于產(chǎn)品固有的損耗，在計(jì)劃階段是決不會(huì)考慮負(fù)損耗的。 4.解決步驟 所采取的解決方法在生產(chǎn)中已經(jīng)清楚表明。主要可分三步。如圖4所示。第一部包括的內(nèi)容見(jiàn)表1?；谥骶硗驳墓潭▽挾群陀唵蔚墓潭▽挾葋?lái)選擇輔助卷筒和切割方法。之后一系列的切割方法要通過(guò)排除不完善的輔助卷筒機(jī)方法或切割方法來(lái)進(jìn)行篩選。所有剩下的切割方法都必須排除生產(chǎn)過(guò)程中存在的技術(shù)操作限制而具有可行性。 第二步，在第一步中被選擇和接受的切割方法在解決問(wèn)題的線性規(guī)劃模式的應(yīng)用。發(fā)展兩個(gè)真實(shí)問(wèn)題的可行方法。按照循環(huán)步驟的線性解決方案，要滿足在前面步驟中被忽略的各種相關(guān)變化的限制條件。 在隨后部分都會(huì)得到詳細(xì)的闡述。 介紹一個(gè)小的真實(shí)的工業(yè)例子來(lái)說(shuō)明解決步驟，它與主卷筒紙長(zhǎng)度不定情況下的生產(chǎn)要求。內(nèi)直徑或外直徑?jīng)]有被確定的含義是在平板紙購(gòu)貨或卷筒紙定購(gòu)中客戶并未指定直徑的具體數(shù)值。寬2520mm紙的等級(jí)為250g/mm,厚度為345mm。相關(guān)的產(chǎn)品要求見(jiàn)表2。 自發(fā)循環(huán) 循環(huán)過(guò)程來(lái)解決cp模式和在前面被忽略的整合屬性的采用。限制例如： (1)客戶確定的卷筒紙直徑必須得滿足,這就意味包括卷筒必須總是按要求的直徑采取多樣性，為了使這個(gè)過(guò)程的影響最小，定購(gòu)數(shù)量如表3。解決方案按照固定直徑卷筒的在建立zp模型前要選擇卷筒長(zhǎng)度最多樣的一個(gè)。 (2)板紙的結(jié)合重量最少,相當(dāng)于紙最小長(zhǎng)度,以便避免切紙機(jī)的無(wú)效率使用 (3)與以前的幾項(xiàng)相似切割方法限制的重量最小以便卷線機(jī)避免無(wú)效率使用,同時(shí)使用每種切割方法來(lái)切割最小量的紙. 循環(huán)模式用Lp模式的最終解決方案來(lái)開(kāi)始并努力調(diào)整這些方式長(zhǎng)度來(lái)滿足以上提到的限制.新的方法雖可能與Lp1保持相似,但必須滿足定購(gòu)數(shù)量,第一,循環(huán)過(guò)程中盡量排除那些沒(méi)有最低重量條件的方式(以上限制2和3).必須提前注明不要排除訂單的獨(dú)特形式.然后,剩下的形式要足足包括使用,以補(bǔ)償被破壞的方法的效果. 這個(gè)過(guò)程基本由連續(xù)的選擇在每個(gè)方法中不能被滿足的項(xiàng)目數(shù)量的切割方式.然后討論用第一種切割方法切割的數(shù)量,最后,使沒(méi)有被滿足的項(xiàng)目得以滿足.這個(gè)過(guò)程不斷重復(fù),直到在所有一切切割方式中沒(méi)有滿足的項(xiàng)目都得以滿足為止. 即使當(dāng)使用模式1時(shí),這個(gè)循環(huán)過(guò)程也能導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)耗材以上的過(guò)量生產(chǎn). 表3所示的解決方案中只有與板紙結(jié)合的最小重量相公的限制沒(méi)有被fp16的長(zhǎng)度所滿足。因?yàn)樗纱朔椒Q定的板紙結(jié)合的最小重量比限制條件小，為（2730：00mm）.因?yàn)樵诖朔N方法中只有PR1002而且在FP21（x14）中也存在。所以FP16方法可被排除。FP21的數(shù)量最終的解決方法見(jiàn)表4。 圖5顯示了表2中COOL系統(tǒng)產(chǎn)出的數(shù)據(jù)。 圖5大規(guī)模例證的計(jì)算結(jié)果 5計(jì)算結(jié)果 計(jì)算測(cè)試的主要目的在于確認(rèn)所采取的解決步驟的有效性和在發(fā)展出的兩個(gè)線形程序模式（模式1和模式2）中建立一個(gè)對(duì)比分析。在第一組計(jì)算中所甬道的數(shù)據(jù)是由市場(chǎng)部提供的，它與造紙長(zhǎng)中要解決的實(shí)際問(wèn)題一致。有關(guān)的定單數(shù)從3到16，定單的最大和最小寬度分別為1392mm和238mm,平均寬度為690mm。盡管這些只有相對(duì)較小的例子，但通過(guò)這些例子，公司希望使系統(tǒng)的應(yīng)用者能夠容易的對(duì)于COOL系統(tǒng)在使用的初始階段的表現(xiàn)給以評(píng)價(jià)。 計(jì)算所用的數(shù)據(jù)可在www.apdio/sicuo中找到。 計(jì)算法則由c語(yǔ)言完成。計(jì)算結(jié)果由450赫茲的奔騰3處理器完成。 為了對(duì)用以上的描述的線形模式和自發(fā)循環(huán)得到的解決方法的質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，使用了IP模式。這種IP模式能使生產(chǎn)的紙的數(shù)量最小同時(shí)又能嚴(yán)格滿足定單的數(shù)量。為了考慮上述提到的全部限制，包括幾個(gè)不同的變化：平板紙結(jié)合的最小重量（最小重量平板紙），應(yīng)用復(fù)合整合程序模式CPLEXV。6。0版軟件來(lái)解決IP模式。 見(jiàn)圖6。每個(gè)發(fā)展得到解決方法的表現(xiàn)（基于兩個(gè)LP模式。模式1，模式2）都得到了客觀的評(píng)價(jià)圖6（A），用IP模式得到的結(jié)果的速率和用線形步驟得到的IP模式在每個(gè)測(cè)試實(shí)驗(yàn)中得到表現(xiàn)：Y軸的數(shù)值為1。00與IP模式結(jié)果相同。從此章中可知基于過(guò)程的線形結(jié)果大部分是與用IP模式得到的數(shù)據(jù)一致的：模式1得到的數(shù)據(jù)的與測(cè)試的%70相同，而從模式二得到的數(shù)據(jù)中有50%與之相同。但有一個(gè)例外，IP結(jié)果決不超過(guò)22%。 本章中的圖6（B）用于證明所采用的線形方法的充分性。在循環(huán)過(guò)程前后的結(jié)果速率都以計(jì)算。在循環(huán)過(guò)程之前在Y軸上的數(shù)值1。00就與LP模式的結(jié)果相同。在絕大多數(shù)情況下，LP路徑的結(jié)果都與最終結(jié)果一致，這就意味著在循環(huán)過(guò)程中考慮的整個(gè)屬性限制都不會(huì)改變線形程序的結(jié)果。 這兩章都表明了用模式1（使生產(chǎn)的紙長(zhǎng)度最小而且不允許超出耗材標(biāo)準(zhǔn)過(guò)量生產(chǎn)）得到的結(jié)果都比模式2（不產(chǎn)生中間庫(kù)存）的結(jié)果好。而且，這些說(shuō)明了有必要改進(jìn)模式2的循環(huán)過(guò)程。 表5對(duì)比了由兩個(gè)線形程序得到的結(jié)果，包括3個(gè)組成部分：生產(chǎn)出的中間庫(kù)存的數(shù)量，在標(biāo)準(zhǔn)上超出生產(chǎn)的產(chǎn)品的數(shù)量以及不可再利用的紙的數(shù)量（廢品）。所有的數(shù)量都按照整體數(shù)量的百分?jǐn)?shù)來(lái)表示不考慮采取的每一個(gè)模式的客觀作用：模式2盡量不產(chǎn)生中間庫(kù)存而模式1盡量不超量生產(chǎn)產(chǎn)品。盡管如此有時(shí)這些超出部分是循環(huán)過(guò)程的必然結(jié)果。但與模式2比較它的數(shù)量就遠(yuǎn)小于模式2所產(chǎn)生的庫(kù)存量。 因?yàn)橹挥袕U品是不可再利用的部分所以圖6對(duì)基于此過(guò)程的兩種LP模式所得到的價(jià)值進(jìn)行了一個(gè)對(duì)比。最終結(jié)果是在產(chǎn)生的廢物最小化方面，用模式1得到的價(jià)值比用模式2得到的價(jià)值略微小一些。 按照這一系列的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，模式1在所有方面的表現(xiàn)均優(yōu)于模式2。但模式2仍可在COOL系統(tǒng)的最終版本中使用。因?yàn)槊糠N模式都有可能使得到的解決方案都更或甚至要求不同的工業(yè)條件：當(dāng)允許或建議產(chǎn)生中間庫(kù)存的模式1可被利用。當(dāng)要求生產(chǎn)足夠多的中間庫(kù)存以滿足市場(chǎng)的模式2就會(huì)被使用。就效率而言，LP 方法可以只使用采用IP方法生產(chǎn)時(shí)的時(shí)間的75%盡管對(duì)于測(cè)試的例子中的IP方法的平均解決時(shí)間為18小時(shí)，當(dāng)在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中需要時(shí)也會(huì)使用。進(jìn)行搜集和測(cè)試了更大規(guī)模的一系列例子以便評(píng)價(jià)當(dāng)面對(duì)大規(guī)模定貨時(shí)基于IP而發(fā)展的方法的效率的表現(xiàn)。 所有這些例子包括30個(gè)不同面的例子和在以上提到的真實(shí)定單中隨機(jī)抽取的例子。主要的目的是為了對(duì)于我們的方法在特殊條件下的效率進(jìn)行評(píng)估。 這些測(cè)試采用模式1。結(jié)果速率和LP+ROUND-UP/IP見(jiàn)圖5正如我們所看到的，我們用我們的方法和用基于CPLEX的IP方法在客觀作用上并無(wú)大的異同。采用兩種方法，用于解決10個(gè)例子所使用的時(shí)間見(jiàn)表6。 正如我們預(yù)測(cè)的，在整個(gè)程序的時(shí)間中選擇所使用的時(shí)間總是很長(zhǎng)。但這一缺點(diǎn)并未經(jīng)常限制整合程序的使用，例如在例子第5，7，10中便是如此。在這些例子中操作效率的不同也許更大一些。 COOL系統(tǒng)已在造紙廠中證明了其有效性并正在廣泛使用。在經(jīng)濟(jì)和環(huán)境上的巨大利益得到認(rèn)可。根據(jù)報(bào)道轉(zhuǎn)換消耗已經(jīng)降低了3%。這意味每年多余1000的節(jié)約。而且在能源上也得到了巨大的節(jié)約。況且，與紙不同，能源不可重復(fù)利用。 6 結(jié)論 這篇論文介紹了COOL系統(tǒng)，此系統(tǒng)是在葡萄牙造紙長(zhǎng)中解決特定的切割儲(chǔ)存問(wèn)題時(shí)發(fā)展出來(lái)的。使得在生產(chǎn)和切割主卷筒紙時(shí)的邊緣廢料最少是發(fā)展此解決過(guò)程的主要目的。由于技術(shù)原因，主卷筒紙分成兩個(gè)部分，同時(shí)滿足一系列的技術(shù)和操作限制。兩項(xiàng)切割的特點(diǎn)對(duì)于采取的解決過(guò)程是至關(guān)重要的。 由于此問(wèn)題的結(jié)合屬性，基于切割方法計(jì)算的解決過(guò)程得以發(fā)明。為了滿足大部分的限制條件，這些方法是要進(jìn)行選擇的。并且這些方法在決定每種紙的生產(chǎn)的重量和數(shù)量的問(wèn)題的線性程序計(jì)算中被用作選擇列。以往被忽略的整合屬性的限制通過(guò)線形程序解決方案在之后的選擇中也被包括進(jìn)去了。 基于模式的兩個(gè)線形程序得以發(fā)展和得到測(cè)試。盡管使用兩個(gè)模式得到的結(jié)果非常令人滿意，但是在它們中的對(duì)比分析和在每一個(gè)中的對(duì)比分析以及用整合程序模式的到的方法的分析表明循環(huán)程序仍有必要改進(jìn)。盡管如此，卻應(yīng)該摒棄發(fā)展自發(fā)解決問(wèn)題系統(tǒng)的想法。 自動(dòng)化切紙機(jī)在工業(yè)上有很大優(yōu)勢(shì)：可以減少產(chǎn)品循環(huán)和可以完成即時(shí)的定單，還可以提高客服質(zhì)量。由于巨大的經(jīng)濟(jì)和環(huán)境利益以及操作優(yōu)勢(shì)，COOL系統(tǒng)已經(jīng)在造紙廠中得以應(yīng)用，并得到了積極的反饋。 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Solving the two-stage cutting stock problem. OMEGA the International Journal of Management Science 1979; 7(2):145–51. [10] Oliveira JF, Ferreira JS. A faster variant of the Gilmore and gomory technique for cutting stock problems. JORBEL 1994; 34(1):23–38. References [1] Haessler RW. A heuristic programming solution to a nonlinear cutting stock problem. Management Science 1971;17(12):B793–802. [2] Johnson MP, Rennick C, Zak E. Skiving addition to the cutting stock problem in the paper industry. SIAM Review 1997;39(3):472–83. [3] Johnston RE. OR in the paper industry. OMEGA the International Journal of Management Science 1981;9(1):43–50. [4] Dowsland KA, Dowsland WB. Packing problems. European Journal of Operational Research 1992;56:2–14. [5] Golden BL. Approaches to the cutting stock problem. AIIE Transactions 1976;8(2):265–74. [6] Hinxman A. The trim loss and assortment problems: a survey. European Journal of Operational Research 1980;5:8–18. [7] Carvalho JVd, Rodrigues AG. 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