《曲邊梯形的面積》PPT課件

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1、曲邊梯形的面積 一 ,學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) :1、 掌 握 曲 邊 梯 形 面 積 的 求 法 .2、 深 刻 理 解 化 曲 為 直 的 思 想 .3、 初 步 認(rèn) 識(shí) 定 積 分 的 概 念 .二 ,重 點(diǎn) :1、 曲 邊 梯 形 的 面 積2、 化 曲 為 直 的 思 想3、 定 積 分 的 概 念三 ,難 點(diǎn) :化 曲 為 直 的 思 想 及 定 積 分 概 念 這些圖形的面積該怎樣計(jì)算？引 入 ： 1.曲 邊 梯 形 ： 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 由 連續(xù) 曲 線 y=f(x)， 直 線 x=a、 x=b及 x軸 所 圍 成 的圖 形 叫 做 曲 邊 梯 形 。O x y a b y

2、=f (x)一 . 求 曲 邊 梯 形 的 面 積x=a x=b y = f(x) ba x yO A1A A 1.用 一 個(gè) 矩 形 的 面 積 A1近 似 代 替 曲 邊 梯 形 的 面 積 A，得 思 考 ： A A1+ A2用 兩 個(gè) 矩 形 的 面 積 近 似 代 替 曲 邊 梯 形 的 面 積 A， 得 y = f(x) ba x yO A1 A2 A A1+ A2+ A3+ A4用 四 個(gè) 矩 形 的 面 積 近 似 代 替 曲 邊 梯 形 的 面 積 A， 得 y = f(x) ba x yO A1 A2 A3 A4 y = f(x) ba x yO A A 1+ A2 + +

3、 An 將 曲 邊 梯 形 分 成 n個(gè) 小 曲 邊 梯 形 ， 并 用 小 矩 形 的 面 積 代 替小 曲 邊 梯 形 的 面 積 ， 于 是 曲 邊 梯 形 的 面 積 A近 似 為A1 Ai An 以 直 代 曲 ,無 限 逼 近 例 1 求 曲 線 y=x2與 直 線 x=1， y=0所 圍成 的 區(qū) 域 的 面 積 。 解 ： 將 區(qū) 間 0， 1等 分 成 n個(gè) 小 區(qū) 間 ， 1 1 2 1 10, , , , , , , , , i i n nn n n n n n n 每 個(gè) 小 區(qū) 間 的 長(zhǎng) 度 為 1 1i ix n n n (i=1、 2、 3n) 解 ： 將 區(qū)

4、間 0， 1等 分 成 n個(gè) 小 區(qū) 間 ， 1 1 2 1 10, , , , , , , , , i i n nn n n n n n n 每 個(gè) 小 區(qū) 間 的 長(zhǎng) 度 為 1 1i ix n n n 過 各 分 點(diǎn) 作 x軸 的 垂 線 ，把 曲 邊 梯 形 分 成 n個(gè) 小 曲邊 梯 形 ， 再 分 別 用 小 區(qū) 間左 端 點(diǎn) 的 縱 坐 標(biāo) 為高 ， x= 為 底 作 小 矩形 ， 21( )i n1n 于 是 圖 中 曲 線 之 下 小 矩 形 面 積 依 次 為2 2 2 21 1 1 2 1 1 10 , ( ) , ( ) , ,( ) , nn n n n n n n

5、所 有 這 些 小 矩 形 的 面 積 的 和 為 2 2 2 21 1 1 2 1 1 10 ( ) ( ) ( )n nS n n n n n n n 2 2 2 23 31 1 ( 1)(2 1)0 1 2 ( 1) 6n n nnn n 1 1 1(1 )(2 )6 n n 由 此 得 到 S= 0 01 1 1 1lim lim (1 )(2 )6 3nx xS n n 從 圖 形 上 看 ， 當(dāng) n越 來 越 大 時(shí) ， 劃 分 的越 來 越 細(xì) ， 陰 影 部 分 面 積 與 曲 邊 梯 形 的面 積 相 差 越 來 越 小 ， 當(dāng) n+時(shí) ， 陰 影 部分 趨 近 于 曲 邊

6、三 角 形 ， 因 此 可 以 將 極 限值 視 為 此 曲 邊 三 角 形 的 面 積 。31 思 考 ：v如 果 取 小 矩 形 的 高 為 小 區(qū) 間 右 端 點(diǎn)v的 縱 坐 標(biāo) ， 所 有 這 些 小 矩 形 的 面 積v和 是 否 趨 向 于 曲 邊 三 角 形 的 面 積v呢 ？ n1 n2 nk nn x y 2xy O n1 n2 nk nn xO y 2xy 例 2 彈 簧 在 拉 伸 的 過 程 中 ， 力 與 伸 長(zhǎng) 量 成正 比 ， 即 力 F(x)=kx（ k是 常 數(shù) ， x是 伸 長(zhǎng)量 ） ， 求 彈 簧 從 平 衡 位 置 拉 長(zhǎng) b所 作 的 功 。解 ： 將

7、 物 體 用 常 力 F沿 力 的 方 向 移 動(dòng) 距 離 x,則 所 做 的 功 W=Fx， 本 題 F是 克 服 彈 簧 拉 力的 變 力 ， 是 移 動(dòng) 距 離 x的 函 數(shù) ， F(x)=kx，將 0， b n等 分 ， 記 x= ， bn分 點(diǎn) 依 次 為 x0=0， x1= ， x2= , ，x n 1= ， xn=b， bn 2bn( 1)n bn 當(dāng) n很 大 時(shí) ， 在 分 段 xi， xi+1所 用 的 力 約為 kxi， 所 做 的 功 Wkxi x= i bkx n則 從 0到 b所 做 的 總 功 W近 似 地 等 于21 1 20 0 0 1 2 ( 1)n nii

8、 i ib b kbW k nn n n 2 22 ( 1) 1(1 )2 2kb n n kbn n 當(dāng) n+時(shí) ， 上 式 右 端 趨 近 于 22kb 于 是 得 到 彈 簧 從 平 衡 位 置 拉 長(zhǎng) b所 做 的 功為 210lim 2n in i kbW W 以 上 兩 個(gè) 實(shí) 際 問 題 ， 一 個(gè) 是 求 曲 邊 梯 形 的 面 積 ， 一個(gè) 是 求 變 力 所 做 的 功 ， 雖 然 實(shí) 際 意 義 不 同 ， 但 解 決 問題 的 方 法 和 步 驟 是 完 全 相 同 的 ， 都 歸 結(jié) 為 求 一 個(gè) 函 數(shù)在 某 一 閉 區(qū) 間 上 的 和 式 的 極 限 問 題 .

9、思 考 、 如 果 在 分 段 1 , i ix x 取 所 用 的 力 為 xi+1所 做 的 功 是 多 少 ？ 1. 曲 邊 三 角 形 或 梯 形 的 面 積 S= 10lim ( )n in i f x x 2.克 服 彈 簧 拉 力 的 變 力 所 做 的 功 W= 1 0lim ( )n in i f x x 類 似 地 問 題 還 很 多 ， 它 們 都 可 以 歸 結(jié) 為求 這 種 和 式 的 極 限 ， 牛 頓 等 數(shù) 學(xué) 家 經(jīng) 過 苦心 研 究 ， 得 到 了 解 決 這 類 問 題 的 一 般 方 法 。求 函 數(shù) 的 定 積 分 。 一 般 函 數(shù) 定 積 分 的

10、定 義 設(shè) 函 數(shù) f(x)是 定 義 在 區(qū) 間 a， b上 的 一 個(gè)函 數(shù) ， 在 閉 區(qū) 間 a， b上 任 取 n 1個(gè) 分 點(diǎn)0 1 1i i na x x x x x b 把 a， b分 成 n個(gè) 小 閉 區(qū) 間 ， 其 長(zhǎng) 度 依 次為 x=xi+1 xi， i=0， 1， 2， ， n 1， 記為 這 些 小 區(qū) 間 長(zhǎng) 度 的 最 大 者 ， 當(dāng) 趨 近 于 0時(shí) ， 所 有 小 區(qū) 間 的 長(zhǎng) 度 都 趨 近 于 0， 在 每 個(gè)小 區(qū) 間 內(nèi) 各 取 一 點(diǎn) ， , 1 iii xx 作 和 式 In= 10 ( )n i ii f x 當(dāng) 0時(shí) ， 如 果 和 式 的

11、 極 限 存 在 ， 我 們把 和 式 In的 極 限 叫 做 函 數(shù) f(x)在 區(qū) 間 a， b上 的 定 積 分 ， 記 作 ( )b a f x dx 其 中 f(x)稱 為 被 積 函 數(shù) ， x稱 為 積 分 變 量 ，a， b稱 為 積 分 區(qū) 間 ， a, b分 別 稱 為 積 分的 上 限 和 下 限 ， f(x)dx叫 做 被 積 式 ， 此 時(shí)稱 f(x)在 區(qū) 間 a， b上 可 積 。 ba Idxxf )( iini xf )(lim 10 . 被 積 函 數(shù)積 分 上 限積 分 下 限 被 積 式 利 用 積 分 的 定 義 ， 前 面 提 到 曲 邊 梯 形面

12、積 可 簡(jiǎn) 潔 的 表 示 為 ( )ba f x dx于 是 例 1的 結(jié) 果 可 以 寫 作 1 20 13S x dx 例 2中 克 服 彈 簧 拉 力 的 變 力 所 做 的 功2 0 2b kbW kxdx 如 果 函 數(shù) y=f(x)在 區(qū) 間 a， b上 是 一 條連 續(xù) 的 曲 線 ， 它 與 直 線 y=0， x=a， x=b所圍 成 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 客 觀 存 在 ， 則 f(x)在 a， b一 定 是 可 積 的 。 求 區(qū) 間 函 數(shù) f(x)的 定 積 分 的 步 驟 : ,a b1、 分 割 ： 將 區(qū) 間 ,a b 分 成 n個(gè) 閉 區(qū) 間2、 近

13、 似 替 代 :（ 取 點(diǎn) ） 在 每 個(gè) 閉 區(qū) 間 1,i ix x 上 任 取 點(diǎn) ， +1, ( ) ( ) ( )34i i i if f f 用 代 替 這 一 區(qū) 間 上 的 所 有 函 數(shù) 值 ， 為 簡(jiǎn) 便常 取 左 端 點(diǎn) 或 右 端 點(diǎn)、 作 和、 求 極 限 例 題 分 析 ：v例 1： 利 用 定 義 計(jì) 算 定 積 分 1 20 x dx鞏 固 練 習(xí) 、 求 30a x dx v例 2、 利 用 定 積 分 的 幾 何 意 義 求21 xdx鞏 固 練 習(xí) 、利 用 定 積 分 的 幾 何 意 義 求 下 列 定 積 分 ： 11(1) 1dx 11(2) xdx

14、 11(3) x dx v例 3、 利 用 定 積 分 的 定 義 證 明 ： 如 果 f(x)、 g(x)同 在 區(qū) 間 , ( )( ) ( ) ( )b b b a a aa b g xg x dx f x dx g x dx 內(nèi) 可 積 分 ， 則 f(x) 也 在 此 區(qū) 間 內(nèi)可 積 分 ， 且 f(x) 思 考 ： 如 何 理 解 101 0 ( )(1) ( ) ( 1)( )(2) ( ) limlim nba n inba n ib a i b af x dx f an nb a i b af x dx f an n 小 結(jié) ： 1、 曲 邊 梯 形 的 面 積 2、 化 曲 為 直 的 數(shù) 學(xué) 思 想 3、 定 積 分 的 定 義 課 后 鞏 固 練 習(xí) ：v課 本 39頁 A組 、 B組 ： 1作 業(yè) ： 練 習(xí) B： 2、 3 謝 謝每 天 前 進(jìn) 一 小 步 ， 最 后 就 是 一 大 步 ！