有限元非線性

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1、第 八 章 非 線 性 問 題 8.2 非 線 性 問 題 基 本 解 決 思 路 材 料 非 線 性 ： 方 程 形 式 不 變 ， 將 材 料 本 構(gòu) 關(guān) 系 線 性 化 ，分 段 求 解 ， 將 線 性 問 題 的 方 程 推 廣 用 于 非 線 性 問 題 。 幾 何 非 線 性 ： 通 常 采 用 增 量 分 析 法 ， 建 立 變 化 位 的 平 衡方 程 。 有 兩 種 表 達(dá) 格 式 ： （ 1） 在 整 個 分 析 過 程 中 參 考位 保 持 不 變 ， 始 終 取 初 始 位 ， 稱 為 完 全 Lagrange格 式 ；（ 2） 在 整 個 分 析 過 程 中 參 考

2、位 不 斷 被 更 新 ， 參 考 前 面每 一 步 荷 載 步 開 始 的 位 形 ， 稱 為 修 正 Lagrange格 式 。 求 解 方 法 ： 直 接 迭 代 法 (割 線 剛 度 法 )、 N-R法 或 mN-R法(切 線 剛 度 法 ) 、 初 應(yīng) 力 法 、 初 應(yīng) 變 法 和 增 量 法 （ 切 線 、初 應(yīng) 力 、 初 應(yīng) 變 增 量 ， 主 要 用 于 彈 塑 性 分 析 ） 。 8.3 非 線 性 方 程 求 解 方 法結(jié) 構(gòu) 整 體 平 衡 方 程 ： 0)( RK （ 1） 假 定 初 始 近 似 解 ： 00 可 令 ： 00)( KK RK 101 RKKK n

3、nnn 11)( （ 2） 由 本 構(gòu) 關(guān) 系 求 出 （ 3） 由 平 衡 方 程 求 得 下 一 步 近 似 解 ：（ 4） 重 復(fù) （ 2） 和 （ 3） ， 直 到 兩 次 結(jié) 果 非 常 接 近 。1、 直 接 迭 代 法 （ 割 線 剛 度 ） 初 始 線彈 性 解 dVBDBK DB T )( )( R P-凸 時 收 斂 ， 凹時 可 能 發(fā) 散 。 2、 N-R法 （ 切 線 剛 度 ） nnn dxdxx /)(1 0)()( nnn xxdxdx 任 何 具 有 一 階 導(dǎo) 數(shù) 的 連 續(xù) 函 數(shù) (x)， 在 xn點 的一 階 Taylor展 開 ： )()()( nn

4、n xxdxdxx 非 線 性 方 程 (x)=0在 xn附 近 的 近 似 方 程 是 線 性 方 程 11 nnn xxx Newton-Raphson迭 代 公 式 針 對 結(jié) 構(gòu) 平 衡 方 程 ： ()=K-R=F () -R= 0利 用 N-R公 式 ， 有 ： 11 1 1 )( )( nnn nnnT T nnnK Kddd d 每 次 迭 代 需 要 修 改 K。 迭 代 過 程 00 假 設(shè) 0100 TK 001 B 0 dDd T )( 0 TD dVBDBK TTVT )( 0 TK 修 正 N-R方 法 (等 剛 度 法 )， 每 次 迭 代 不 改 變 它 的 剛

5、 度 值 始 終 取 初 始 剛 度 ， 計 算量 小 ， 但 收 斂 慢 些 。 N-R法 的 另 一 種 改 進荷 載 增 量 法 ： 把 荷載 分 成 很 多 小 的 荷載 步 ， 在 每 一 個 荷載 步 上 使 用 一 次 或都 多 次 N-R方 法 。實 質(zhì) 上 是 分 段 線 性化 。 11 1 nnn nnnT RK 3、 初 應(yīng) 力 法 如 果 材 料 的 應(yīng) 力 -應(yīng) 變 關(guān) 系 可 以 表 示 成 )( f即 由 應(yīng) 變 確 定 應(yīng) 力 ， 設(shè) 想 用 具 有 初 應(yīng) 力 的 線 彈 性 物理 方 程 代 替 上 式 ： 0 D eDf )(0 調(diào) 整 初 應(yīng) 力 值 ，

6、 可 以 做 到 上 述 兩 式 得 到 的 應(yīng) 力 相 同 。 V T TVT dVBF dVBDBK 00 )( )(0 00FFK FdVBdVBDB FdVDBT V TV TV T 式 中 ： KT0為 結(jié) 構(gòu) 的 起 始 切 線 剛 度 矩 陣 ， F為 與 初 應(yīng) 力 等 價 的 節(jié) 點 荷 載 改 寫 平 衡 方 程 迭 代 過 程 101 FKT 1110 )( Df dVBF TV 101 1101 FK 11 B 112 彈 性 解 8.4 材 料 非 線 性 本 構(gòu) 關(guān) 系 8.4.1 材 料 彈 塑 性 行 為彈 塑 性 ： 卸 載 后 存在 不 可 恢 復(fù) 的 殘

7、余 變形 。 它 與 非 線 性 彈 性材 料 有 顯 著 區(qū) 別 ： 加載 同 ， 卸 載 不 同 。 硬 化 ： 屈 服 后 應(yīng) 力 隨 應(yīng) 變 繼 續(xù) 增 加 ； 卸 載 后 再 加 載屈 服 應(yīng) 力 提 高 ， 一 般 等 于 卸 載 時 的 應(yīng) 力 。 各 種 硬 化 塑 性 特 征各 項 同 性 硬 化 ： 反向 加 載 的 屈 服 應(yīng) 力與 正 向 卸 載 點 應(yīng) 力數(shù) 字 上 相 等 。隨 動 硬 化 ： 卸 載 點應(yīng) 力 與 反 向 加 載 的屈 服 應(yīng) 力 絕 對 值 之和 等 于 2倍 初 始 屈服 應(yīng) 力 ?；?合 硬 化 ： 介 于 上二 者 。 循 環(huán) 塑 性 特

8、征 循 環(huán) 硬 松 弛循 環(huán) 塑 性一 般 表 現(xiàn) 循 環(huán) 硬 化 循 環(huán) 蠕 變 8.4.2 塑 性 力 學(xué) 的 基 本 法 則 1、 米 賽 斯 （ Von Mises） 屈 服 準(zhǔn) 則 材 料 在 復(fù) 雜 應(yīng) 力 狀 態(tài) 下 的 等 效 應(yīng) 力 達(dá) 到 單 向 拉伸 的 屈 服 極 限 時 ， 材 料 開 始 屈 服 。 于 是 ， 米 賽 斯屈 服 條 件 可 寫 成 ： s 式 中 等 效 應(yīng) 力 為 21213232221 21 幾 何 上 以 1 =2=3為 軸 線 的 圓 柱 面 。 或 用 一 般 應(yīng) 力 表 示 21222 222 622 zxyzxy xzzyyx 等 效

9、 應(yīng) 力 還 可 用 應(yīng) 力 偏 量 表 示 為 21 22222 223 zxyzxyzyx 式 中 zxzxcpzz yzyzcpyy xyxycpxx 3 zyxcp 2、 應(yīng) 變 強 化假 定 材 料 進 入 屈 服 后 ， 總 應(yīng) 變 增 量 可 分 成 彈 性的 和 塑 性 兩 部 分 pe ddd 對 應(yīng) 于 等 效 應(yīng) 力 ， 定 義 等 效 應(yīng) 變 為 21222 222 )(2312 2 zxyzxy xzzyyx 2、 硬 化 法 則各 項 同 性 硬 化 運 動 硬 化 Prager， Zeigler修 正 對 應(yīng) 于 塑 性 應(yīng) 增 量 的 等 效 應(yīng) 變 稱 為 塑

10、 性 等 效 應(yīng) 增量 ， 因 為 塑 性 變 形 不 產(chǎn) 生 體 積 變 化 ， 泊 松比 為 0.5， 故 有pd 21222 2222332 zxpyzpxyp xpzpzpypypxpp ddd ddddddd 材 料 進 入 屈 服 以 后 ， 進 行 卸 載 或 部 分 卸 載 后 在加 載 ， 新 的 屈 服 應(yīng) 力 僅 與 卸 載 前 的 等 效 塑 性 應(yīng) 變 總量 有 關(guān) 。 新 的 屈 服 只 有 當(dāng) 等 效 應(yīng) 力 適 合 pp dHddH 或才 發(fā) 生 。 上 式 為 等 向 硬 化 材 料 的 米 賽 斯 準(zhǔn) 則 ， 反 映 等向 強 化 材 料 屈 服 和 強 化

11、 之 間 的 關(guān) 系 。 H為 強 化 階 段的 曲 線 斜 率 。 3、 普 朗 特 -路 斯 （ Prandtl-Reuss） 塑 性 流 動 理 論 如 果 將 等 向 強 化 米 賽 斯 準(zhǔn) 則 式 寫 成 0, pp dHF則 F可 以 看 成 n維 應(yīng) 力 空 間 的 一 個 曲 面 ， 稱 為 屈 服 面 。 對 于 金 屬 一 類 材 料 ， 塑 性 應(yīng) 變 增 量 和 屈 服 面 之 間存 在 如 下 關(guān) 系 Pp dFd 上 式 可 以 解 釋為 塑 性 應(yīng) 變 增 量“ 向 量 ” 垂 直 于 n維 應(yīng) 力 空 間 的 屈服 面 。 稱 為 普 朗特 -路 斯 流 動 法

12、 則 3、 應(yīng) 力 -應(yīng) 變 關(guān) 系 當(dāng) 應(yīng) 力 產(chǎn) 生 一 微 小 增 量 時 ， 總 應(yīng) 變 增 量 可 分 解成 彈 性 的 和 塑 性 的 兩 部 分 pe ddd pe ddDd 左 乘 上 式 兩 邊用 T peTT ddDd 根 據(jù) 強 化 材 料 米 賽 斯 準(zhǔn) 則 和 普 朗 特 -路 斯 流 動 法則 pT dHdd pp dd上 式 可 化 為 peTETp dDdDdH 等 效 塑 性 應(yīng) 變 增 量 和 總 應(yīng) 變 增 量 的 關(guān) 系 式 pe ddDd dDH Dd eT eTp dDH DDDd eT eTee pp dd DP 記 增 量 形 式 的 彈 性 應(yīng)

13、 力 -應(yīng) 變 關(guān) 系 Peep DDD eT eTep DH DDD dDd epDep 通 常 稱 為 彈 性 矩 陣 8.5 彈 塑 性 問 題 的 求 解 方 法 采 用 增 量 法 。 假 設(shè) 可 以 按 比 例 地 施 加 載 荷 ， 將 結(jié) 構(gòu)的 彈 性 極 限 載 荷 作 為 第 一 個 增 量 ， 其 余 的 載 荷 再 分成 若 干 等 分 ； 如 果 實 際 載 荷 不 是 按 比 例 施 加 的 ， 可根 據(jù) 實 際 情 況 確 定 載 荷 增 量 。 當(dāng) 材 料 進 入 塑 性 后 ，只 要 載 荷 增 量 適 當(dāng) 小 ， 應(yīng) 力 增 量 和 應(yīng) 變 增 量 的 關(guān)

14、系可 視 為 線 性 ， 近 似 地 表 示 成 epD常 用 的 方 法 有 增 量 切 線 剛 度 法 、 增 量 初 應(yīng) 力 法 等 。 1、 增 量 切 線 剛 度 法 彈 性 階 段 為 初 值 ， 迭 代 公 式 iii FK 11)( iii iii iii 111 2、 初 應(yīng) 力 法 )2,1,0( 10 jFFK jnnjn dVDBF j npTjn )(初 應(yīng) 力 轉(zhuǎn) 化 得 到 的 等 效 節(jié) 點 荷 載 ， 矯 正 荷 載 。第 n級 荷 載 增 量 步 的 迭 代 公 式 例 8-1 E， A， L， s 桿 I彈 塑 性 ， 桿 II彈 性 。 求 3 sA作 用 下 2點 位 移 。