（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八篇《第49講　空間向量及其坐標運算》理（含解析） 蘇教版

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1、 A級　基礎(chǔ)達標演練 (時間：45分鐘　滿分：80分) 一、填空題(每小題5分，共35分) 1．已知向量a＝，b＝(x,1,2)，其中x＞0.若a∥b，則實數(shù)x等于________．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解析　a∥b且x＞0?存在λ＞0使a＝λb?＝(λx，λ，2λ)?? 答案　x＝4 2．以下四個命題中正確的是________(填序號)． ①空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示 ②若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間向量的另一組基底 ③△ABC為直角三角形的充要條件是·＝0 ④任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量

2、的一組基底 解析　若a＋b、b＋c、c＋a為共面向量，則a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c， λ，μ不可能同時為1，設(shè)μ≠1，則a＝b＋c，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量基底矛盾． 答案?、? 3．給出下列四個命題： ①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面； ②若p與a，b共面，則p＝xa＋yb. ③若＝x＋y，則P，M，A、B共面； ④若P，M，A，B共面，則＝x＋y. 其中真命題的序號是________． 解析　其中①③為正確命題． 答案?、佗? 4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7

3、,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)λ等于________． 解析　由題意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)， ∴∴t＝，μ＝，λ＝. 答案　 5．如圖，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為________． 解析　設(shè)＝a，＝b，＝c 由已知條件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|， ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0. 答案　0 6．如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M、N分別為OA、

4、 BC的中點，點G在線段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，則x，y，z的值分別為________________． 解析　∵＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋－ ＝＋×(＋)－× ＝＋＋ ∴x，y，z的值分別為，，. 答案　，， 7．在空間四邊形ABCD中，·＋·＋·＝________. 解析　如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c， ·＋·＋· ＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0 答案　0 二、解答題(每小題15分，共45分) 8．證明三個向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面．

5、 證明　設(shè)a＝xb＋yc 由已知條件 解得x＝－，y＝ 即a＝－b＋c 故a，b，c三個向量共面． 9．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，G為△BC1D的重心， (1)試證A1、G、C三點共線； (2)試證A1C⊥平面BC1D； (3)求點C到平面BC1D的距離． (1)證明　因為G是△BC1D的重心，所以 C＝(C＋C＋)， 所以＝C＋B＋＝C＋C＋＝3， ∴∥，即A1、G、C三點共線． (2)證明　設(shè)＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝a， 且a·b＝b·c＝c·a＝0， ∵＝a＋b＋

6、c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)· (c－a)＝c2－a2＝0， ∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可證：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D. (3)解　∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，即||＝a， 因此||＝a.即C到平面BC1D的距離為a. 10．如圖，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點． (1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的長． 解　(1)設(shè)A＝p，A＝q，A＝r. 由題意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為

7、60°. M＝A－A＝(A＋A)－A ＝(q＋r－p)， ∴M·A＝(q＋r－p)·p ＝(q·p＋r·p－p2) ＝(a2·cos 60°＋a2·cos 60°－a2)＝0. ∴MN⊥AB，同理可證MN⊥CD. (2)由(1)可知，MN＝(q＋r－p)． ∴|M2|＝＝(q＋r－p)2 ＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)] ＝ ＝×2a2＝. ∴|M|＝a， ∴MN的長為a. B級　綜合創(chuàng)新備選 (時間：30分鐘　滿分：60分) 一、填空題(每小題5分，共30分) 1．正四面體ABCD的棱長為1，G是△ABC的中心，M在線段DG上，且∠A

8、MB＝90°，則GM的長為________． 解析　設(shè)＝a，＝b，＝c. ＝＋λ ＝－a＋(a＋b＋c) ＝a＋b＋c， ＝＋＝(a－b)＋a＋b＋c ＝a＋b＋c 由·＝0可解得λ＝，||＝||＝. 答案　 2．給出下列命題： ①若a∥b，b∥c，則a∥c； ②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要條件是a與b不共線； ③若非零向量c垂直于不共線的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，則c⊥d. 正確命題的序號是________． 解析　只有命題③是正確命題． 答案?、? 3．在下列條

9、件中，使M與A、B、C一定共面的是________． ①＝2－－；②＝＋＋； ③＋＋＝0；④＋＋＋＝0； 解析　∵＋＋＝0，∴＝－－，則、、為共面向量，即M、A、B、C四點共面． 答案?、? 4．在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則OA與BC所成角的余弦值等于________． 解析　設(shè)O＝a，O＝b，O＝c. 設(shè)OA與BC所成的角為θ，則O·B＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋A)－a·(a＋A)＝a2＋a·A－a2－a·A＝24－1

10、6. ∴cos θ＝＝＝. 答案　 5．已知在一個60°的二面角的棱上，如圖有兩個點A，B，AC，BD分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，則CD的長為________． 解析　設(shè)＝a，＝b，＝c 由已知條件|a|＝8，|b|＝4，|c|＝6 〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝60° ||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2 ＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c ＝68，則||＝2. 答案　2 cm 6．已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，給出下列四個命題： ①(＋＋)2＝3A

11、1B12；②·(－)＝0；③向量與向量的夾角是60°；④正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|A··A|.其中正確命題的序號是________． 解析　設(shè)正方體的棱長為1，①中(＋＋)2＝32＝3，故①正確；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正確；③中A1B與AD1兩異面直線所成角為60°，但與的夾角為120°，故③不正確；④中|A··A|＝0.故④也不正確． 答案　①② 二、解答題(每小題15分，共30分) 7．如圖，在空間四邊形SABC中，AC、BS為其對角線，O為△ABC的重心，試證： (1)＋＋＝0； (2)＝(＋＋)． 證明　(1)＝－(＋)， ① ＝－(

12、＋)， ② ＝－(＋)， ③ ①＋②＋③得＋＋＝0. (2)＝＋， ④ ＝＋， ⑤ ＝＋， ⑥ 由(1)得：＋＋＝0. ④＋⑤＋⑥得3＝＋＋ 即＝(＋＋)． 8．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB、AD、CD的中點，計算： (1)·；　(2)·； (3)EG的長； (4)異面直線AG與CE所成角的余弦值． 解　設(shè)＝a，＝b，＝c. 則|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ＝＝c－a， ＝－a，＝b－c， (1)·＝·(－a) ＝a2－a·c＝， (2)·＝(c－a)·(b－c) ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－； (3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a ＝，則||＝. (4)＝b＋c， ＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－， 由于異面直線所成角的范圍是， 所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.