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1、絕密★啟用前
2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（理科乙卷）
數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)，則（ ）
A． B． C．
2、 D．
2．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知命題，；命題，，則下列命題中為真命題的是（ ）
A． B． C． D．
4．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
5．在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C．
3、 D．
6．將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
7．把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（ ）
A． B． C． D．
8．在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ）
A．
4、B． C． D．
9．魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”，則海島的高（ ）
A． B．
C． D．
10．設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
11．設(shè)是橢
5、圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
12．設(shè)，，．則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_(kāi)________．
14．已知向量，若，則__________．
15．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，，，則________．
16．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選
6、側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)__________（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）．
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（12分）
某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：
舊設(shè)備
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新設(shè)備
10.1
10.4
7、10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．
（1）求﹔
（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．
18．（12分）
如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，M為的中點(diǎn)，且．
（1）求，
（2）求二面角的正弦值．
19．（12分）
記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）求的通項(xiàng)公式．
20．（12
8、分）
設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
21．（12分）
已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且F與圓上點(diǎn)的距離的最小值為4．
（1）求p；
（2）若點(diǎn)P在M上，是C的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1．
（1）寫(xiě)出的一個(gè)參數(shù)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作的兩條切線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程．
23．[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范圍．
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