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1、專題09 平面向量的線性表示
【自主熱身,歸納總結(jié)】
1、設(shè)a,b不共線,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三點共線,則實數(shù)p=.?
【答案】-1
【解析】因為=2a+pb,=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.因為A,B,D三點共線,所以=λ,即2a+pb=λ(2a-b)=2λa-λb,所以解得所以實數(shù)p的值是-1.
2、設(shè)與是兩個不共線向量,,,,若A,B,D三點共線,則 .
【答案】:
【解析】,設(shè).則且,解得.
3、在中,若點,,依次是邊上的四等分點,設(shè),,用,表示,則 .
【解析】 在中,,,所以
.
4.
2、設(shè)點,,是直線上不同的三點,點是直線外一點,若,則的值為 .
【答案】:1
【解析】 因為點,,三點共線,所以,又因為
,所以.
5、如圖,在中,,分別為邊,的中點. 為邊上的點,且,若,,則的值為 .
【答案】:
【解析】:因為為的中點,所以,故,。
6、已知為的外心,若,則= .
【答案】:
誤點警示:若為銳角,則與分別是同弧所對的圓心角與圓周角,此時
=2;若為鈍角,由與的關(guān)系是,因此,必須對進(jìn)行分類討論.本題從條件判斷知,必為鈍角.
7、已知點C,D,E是線段的四等分點,為直線外的任意一點,若,則實數(shù) 的值為
3、 .
【答案】:
【解析】 因為,所以.
8.如圖,平面內(nèi)有三個向量,,,其中與的夾角為,與的夾角為,且,若,則_______,___________.
【答案】:,.
【解析】 設(shè)與,同方向的單位向量分別為,,
依題意有,又,,
則,所以,.
9、如圖,一直線與平行四邊形的兩邊分別 交于兩點,且交其對角線于,其中,,,,則的值為 .
【答案】:.
【解析】 因為點F,K,E共線,故可設(shè)
又,所以,解得.
【問題探究,變式訓(xùn)練】
例1、在△ABC中,AB=2,AC=3,角A的平分線與AB邊上的中線交于點O,若=x+y(x,y∈R)
4、,則x+y的值為________.
課本探源 本題的難點是=關(guān)系的建立,借助于正弦定理,可以證明=.實際上,必修5P54例5已經(jīng)證明了此結(jié)論,若能夠想到這一點,理順本題的解題思路就容易多了:在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,用正弦定理證明:=.
【變式1】、如圖,在平行四邊形ABCD中,AC,BD相交于點O,E為線段AO的中點,若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ=________.
【答案】
【解析】:因為O,E分別是AC,AO的中點,所以=+=+=+(-)=+.又=λ+μ=λ+μ(+)=(λ+μ)+μ,故λ+μ=.
.
【變式2】、在中,,若,則的值為
5、 .
【答案】:
因為,而,所以,所以,則的值為.
【關(guān)聯(lián)1】、如圖,在△ABC中,BO為邊AC上的中線,,設(shè)∥,若,則的值為 .
【答案】
【解析】思路一:,
,因為∥,所以λ-1=,λ=.
思路二:不妨設(shè),則有
【關(guān)聯(lián)2】、如圖,在同一個平面內(nèi),向量、,的模分別為1,1,,與的夾角為,且,與的夾角為,若, 則的值為____________.
【答案】:.
A
C
B
O
【解析】 由可得,,根據(jù)向量分解易得:
,即,解得
所以.
例2、在△ABC中,∠C=45°,O是△ABC的外心,若=m+n(m,n∈
6、R),則m+n的取值范圍是________.
【答案】 [-,1)
思路分析 本題中三點在圓O上是一個關(guān)鍵條件,可以建立坐標(biāo)系求出m,n的關(guān)系式,再利用三角換元求解,也可以對向量等式兩邊平方后得到m,n的關(guān)系式,再利用線性規(guī)劃求解.
因為C=,O是△ABC外心,所以∠AOB=90°,=m+n,所以C在優(yōu)弧上.
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)半徑為1,則A(0,1),B(1,0).
設(shè)C(cosθ,sinθ),
代入=m+n,可得n=cosθ,m=sinθ,即m+n=cosθ+sinθ=sin.
又θ+∈,所以m+n∈[-,1).
解后反思 本題易錯在沒有注意點C在
7、優(yōu)弧上,錯誤的認(rèn)為點C在整個圓上.本題是典型的二元函數(shù)的值域問題,解題方法比較多,可以用基本不等式、線性規(guī)劃、三角換元,但由于點C在圓弧上,最好的方法建立坐標(biāo)系,利用三角函數(shù)求解,定義域的尋找也較為簡單.
【變式1】、 如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,動點P在邊BC上,且滿足=m+n(m,n均為正實數(shù)),則+的最小值為________.
【答案】:.
解法1 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4).又kBC=-,故BC:y=-(x-4).又=m+n,=(4,0),=(0,4),所以=(
8、4m,4n),故P(4m,4n),又點P在直線BC上,即3n+4m=4,即4(+)=(3n+4m)·(+)=7++≥7+2=7+4,所以(+)min=,當(dāng)且僅當(dāng)即m=,n=時取等號.
解法2 因為=m+n,所以=m+n(+)=m+n-=+n.又C,P,B三點共線,故m-+n=1,即m+=1,以下同解法1.
解后反思 向量的基本運算分為線性運算和坐標(biāo)運算,本題建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運算也可以轉(zhuǎn)化為基底運算,其中三點共線可以轉(zhuǎn)化為點在直線上也可以用共線向量基本定理來轉(zhuǎn)化.基底法運算量小于坐標(biāo)法、坐標(biāo)法的思維難度低于基底法.
【變式2】、 如圖,經(jīng)過的重心G的直線與OA,OB交于點P,Q
9、,設(shè),,,則的值為 .
【答案】:3
【解析】 連接并延長,交于點,因為是的重心,即是的中線,所以,
①
因為,所以②,同理可得③,
將②③代入①可得,
即,
設(shè),
則有,
根據(jù)平面向量基本定理,有, 故的值為3.
【關(guān)聯(lián)1】、如圖,在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=1,A=120°,E,F分別是邊AB,AC上的點,且=m,=n,其中m,n∈.若EF,BC的中點分別為M,N,且m+4n=1,則的最小值為________.
【答案】
思路分析:本題易求·=-,所以可以利用點M,N是EF,BC的中點將轉(zhuǎn)化用和表示,再求||的最小值;
10、另外也可以通過建立平面直角坐標(biāo)系將點M,N的坐標(biāo)表示出來再求解.
【解析】1 由于M,N是EF,BC的中點,=m,=n,m+4n=1,所以=+,=+=+=+,所以=-=2n+.而·=1×1×cos120°=-,所以||==,顯然當(dāng)n=時,||min=.
【解析】2 如圖,以點N為坐標(biāo)原點,直線BC為x軸,直線NA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,由AB=AC=1,A=120°得N(0,0),A0,,B-,0,C,0,所以=n=n,-n,=m==2n-,2n-(由于m+4n=1),從而點E,點Fn,-n+,線段EF的中點Mn-,n+,所以||==,顯然當(dāng)n=時,||min=.
【關(guān)聯(lián)2】、
11、已知△ABC是邊長為3的等邊三角形,點P是以A為圓心的單位圓上一動點,點Q滿足=+,則||的最小值是________.
【答案】: -
思路分析 求||的最小值,就是求線段BQ長的最小值,因為點B為定點,而點Q是隨著點P的運動而運動的,那么就要關(guān)注點Q是如何運動的,即要先求出點Q的軌跡方程,通過建系運用相關(guān)點法即可求得點Q的軌跡方程,通過點Q的軌跡方程發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個圓,接下來問題就轉(zhuǎn)化為定點與圓上的動點的距離的最小值問題,那就簡單了.一般與動點有關(guān)的最值問題,往往運用軌跡思想,首先探求動點的軌跡,在了解其軌跡的基礎(chǔ)上一般可將問題轉(zhuǎn)化為點與圓的關(guān)系或直線與圓的關(guān)系或兩圓之間的關(guān)系.
解
12、法1 以A為原點,AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則=(3,0),=,設(shè)Q(x,y),P(x′,y′),由=+,得=,
即所以兩式平方相加得2+2=(x′2+y′2),因為點P(x′,y′)在以A為圓心的單位圓上,所以x′2+y′2=1,從而有2+2=,所以點Q是以M為圓心,R=的圓上的動點,因此BQmin=BM-R=-=-.
解法2 =-=+-=.
令=-,則=(-),那么||=|-|,求||的最小值,就轉(zhuǎn)化為求|-|的最小值,根據(jù)不等式的知識有:
|-|≥=,而||2=2=2=2-·+2=×32-×3×3×+×32=,即||=,所以|-|≥=-1,從而||=|-|≥-,當(dāng)且僅當(dāng)與同向時,取等號.
【關(guān)聯(lián)3】、在中,為邊上一點,且,為上一點,且滿足
,求的最小值.
【解析】 因為,所以,
又因為為上一點,不妨設(shè),
所以,
,因為不共線,
所以,則.
所以,
A
B
C
E
P
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.