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1、專題09 平面向量的線性表示
【自主熱身,歸納總結(jié)】
1、設(shè)a,b不共線,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)p=.?
【答案】-1
【解析】因?yàn)?2a+pb,=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以=λ,即2a+pb=λ(2a-b)=2λa-λb,所以解得所以實(shí)數(shù)p的值是-1.
2、設(shè)與是兩個(gè)不共線向量,,,,若A,B,D三點(diǎn)共線,則 .
【答案】:
【解析】,設(shè).則且,解得.
3、在中,若點(diǎn),,依次是邊上的四等分點(diǎn),設(shè),,用,表示,則 .
【解析】 在中,,,所以
.
4.
2、設(shè)點(diǎn),,是直線上不同的三點(diǎn),點(diǎn)是直線外一點(diǎn),若,則的值為 .
【答案】:1
【解析】 因?yàn)辄c(diǎn),,三點(diǎn)共線,所以,又因?yàn)?
,所以.
5、如圖,在中,,分別為邊,的中點(diǎn). 為邊上的點(diǎn),且,若,,則的值為 .
【答案】:
【解析】:因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,故,。
6、已知為的外心,若,則= .
【答案】:
誤點(diǎn)警示:若為銳角,則與分別是同弧所對(duì)的圓心角與圓周角,此時(shí)
=2;若為鈍角,由與的關(guān)系是,因此,必須對(duì)進(jìn)行分類討論.本題從條件判斷知,必為鈍角.
7、已知點(diǎn)C,D,E是線段的四等分點(diǎn),為直線外的任意一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù) 的值為
3、 .
【答案】:
【解析】 因?yàn)?所以.
8.如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量,,,其中與的夾角為,與的夾角為,且,若,則_______,___________.
【答案】:,.
【解析】 設(shè)與,同方向的單位向量分別為,,
依題意有,又,,
則,所以,.
9、如圖,一直線與平行四邊形的兩邊分別 交于兩點(diǎn),且交其對(duì)角線于,其中,,,,則的值為 .
【答案】:.
【解析】 因?yàn)辄c(diǎn)F,K,E共線,故可設(shè)
又,所以,解得.
【問題探究,變式訓(xùn)練】
例1、在△ABC中,AB=2,AC=3,角A的平分線與AB邊上的中線交于點(diǎn)O,若=x+y(x,y∈R)
4、,則x+y的值為________.
課本探源 本題的難點(diǎn)是=關(guān)系的建立,借助于正弦定理,可以證明=.實(shí)際上,必修5P54例5已經(jīng)證明了此結(jié)論,若能夠想到這一點(diǎn),理順本題的解題思路就容易多了:在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,用正弦定理證明:=.
【變式1】、如圖,在平行四邊形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,E為線段AO的中點(diǎn),若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ=________.
【答案】
【解析】:因?yàn)镺,E分別是AC,AO的中點(diǎn),所以=+=+=+(-)=+.又=λ+μ=λ+μ(+)=(λ+μ)+μ,故λ+μ=.
.
【變式2】、在中,,若,則的值為
5、 .
【答案】:
因?yàn)?而,所以,所以,則的值為.
【關(guān)聯(lián)1】、如圖,在△ABC中,BO為邊AC上的中線,,設(shè)∥,若,則的值為 .
【答案】
【解析】思路一:,
,因?yàn)椤?所以λ-1=,λ=.
思路二:不妨設(shè),則有
【關(guān)聯(lián)2】、如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量、,的模分別為1,1,,與的夾角為,且,與的夾角為,若, 則的值為____________.
【答案】:.
A
C
B
O
【解析】 由可得,,根據(jù)向量分解易得:
,即,解得
所以.
例2、在△ABC中,∠C=45°,O是△ABC的外心,若=m+n(m,n∈
6、R),則m+n的取值范圍是________.
【答案】 [-,1)
思路分析 本題中三點(diǎn)在圓O上是一個(gè)關(guān)鍵條件,可以建立坐標(biāo)系求出m,n的關(guān)系式,再利用三角換元求解,也可以對(duì)向量等式兩邊平方后得到m,n的關(guān)系式,再利用線性規(guī)劃求解.
因?yàn)镃=,O是△ABC外心,所以∠AOB=90°,=m+n,所以C在優(yōu)弧上.
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)半徑為1,則A(0,1),B(1,0).
設(shè)C(cosθ,sinθ),
代入=m+n,可得n=cosθ,m=sinθ,即m+n=cosθ+sinθ=sin.
又θ+∈,所以m+n∈[-,1).
解后反思 本題易錯(cuò)在沒有注意點(diǎn)C在
7、優(yōu)弧上,錯(cuò)誤的認(rèn)為點(diǎn)C在整個(gè)圓上.本題是典型的二元函數(shù)的值域問題,解題方法比較多,可以用基本不等式、線性規(guī)劃、三角換元,但由于點(diǎn)C在圓弧上,最好的方法建立坐標(biāo)系,利用三角函數(shù)求解,定義域的尋找也較為簡單.
【變式1】、 如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上,且滿足=m+n(m,n均為正實(shí)數(shù)),則+的最小值為________.
【答案】:.
解法1 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4).又kBC=-,故BC:y=-(x-4).又=m+n,=(4,0),=(0,4),所以=(
8、4m,4n),故P(4m,4n),又點(diǎn)P在直線BC上,即3n+4m=4,即4(+)=(3n+4m)·(+)=7++≥7+2=7+4,所以(+)min=,當(dāng)且僅當(dāng)即m=,n=時(shí)取等號(hào).
解法2 因?yàn)椋絤+n,所以=m+n(+)=m+n-=+n.又C,P,B三點(diǎn)共線,故m-+n=1,即m+=1,以下同解法1.
解后反思 向量的基本運(yùn)算分為線性運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算,本題建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算,其中三點(diǎn)共線可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上也可以用共線向量基本定理來轉(zhuǎn)化.基底法運(yùn)算量小于坐標(biāo)法、坐標(biāo)法的思維難度低于基底法.
【變式2】、 如圖,經(jīng)過的重心G的直線與OA,OB交于點(diǎn)P,Q
9、,設(shè),,,則的值為 .
【答案】:3
【解析】 連接并延長,交于點(diǎn),因?yàn)槭堑闹匦?即是的中線,所以,
①
因?yàn)?所以②,同理可得③,
將②③代入①可得,
即,
設(shè),
則有,
根據(jù)平面向量基本定理,有, 故的值為3.
【關(guān)聯(lián)1】、如圖,在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=1,A=120°,E,F分別是邊AB,AC上的點(diǎn),且=m,=n,其中m,n∈.若EF,BC的中點(diǎn)分別為M,N,且m+4n=1,則的最小值為________.
【答案】
思路分析:本題易求·=-,所以可以利用點(diǎn)M,N是EF,BC的中點(diǎn)將轉(zhuǎn)化用和表示,再求||的最小值;
10、另外也可以通過建立平面直角坐標(biāo)系將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)表示出來再求解.
【解析】1 由于M,N是EF,BC的中點(diǎn),=m,=n,m+4n=1,所以=+,=+=+=+,所以=-=2n+.而·=1×1×cos120°=-,所以||==,顯然當(dāng)n=時(shí),||min=.
【解析】2 如圖,以點(diǎn)N為坐標(biāo)原點(diǎn),直線BC為x軸,直線NA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,由AB=AC=1,A=120°得N(0,0),A0,,B-,0,C,0,所以=n=n,-n,=m==2n-,2n-(由于m+4n=1),從而點(diǎn)E,點(diǎn)Fn,-n+,線段EF的中點(diǎn)Mn-,n+,所以||==,顯然當(dāng)n=時(shí),||min=.
【關(guān)聯(lián)2】、
11、已知△ABC是邊長為3的等邊三角形,點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q滿足=+,則||的最小值是________.
【答案】: -
思路分析 求||的最小值,就是求線段BQ長的最小值,因?yàn)辄c(diǎn)B為定點(diǎn),而點(diǎn)Q是隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的,那么就要關(guān)注點(diǎn)Q是如何運(yùn)動(dòng)的,即要先求出點(diǎn)Q的軌跡方程,通過建系運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法即可求得點(diǎn)Q的軌跡方程,通過點(diǎn)Q的軌跡方程發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個(gè)圓,接下來問題就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值問題,那就簡單了.一般與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問題,往往運(yùn)用軌跡思想,首先探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡,在了解其軌跡的基礎(chǔ)上一般可將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的關(guān)系或直線與圓的關(guān)系或兩圓之間的關(guān)系.
解
12、法1 以A為原點(diǎn),AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則=(3,0),=,設(shè)Q(x,y),P(x′,y′),由=+,得=,
即所以兩式平方相加得2+2=(x′2+y′2),因?yàn)辄c(diǎn)P(x′,y′)在以A為圓心的單位圓上,所以x′2+y′2=1,從而有2+2=,所以點(diǎn)Q是以M為圓心,R=的圓上的動(dòng)點(diǎn),因此BQmin=BM-R=-=-.
解法2 =-=+-=.
令=-,則=(-),那么||=|-|,求||的最小值,就轉(zhuǎn)化為求|-|的最小值,根據(jù)不等式的知識(shí)有:
|-|≥=,而||2=2=2=2-·+2=×32-×3×3×+×32=,即||=,所以|-|≥=-1,從而||=|-|≥-,當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí),取等號(hào).
【關(guān)聯(lián)3】、在中,為邊上一點(diǎn),且,為上一點(diǎn),且滿足
,求的最小值.
【解析】 因?yàn)?所以,
又因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn),不妨設(shè),
所以,
,因?yàn)椴还簿€,
所以,則.
所以,
A
B
C
E
P
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.