專題四測度與可測函數(shù)

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1、專 題 四 直 線 上 點 集 的 勒 貝 格 測度 與 可 測 函 數(shù)勒 貝 格 測 度 與 勒 貝 格 可 測 集可 測 函 數(shù)測 度 ： 歐 氏 空 間 中 長 度 、 面 積 和 體 積 概 念 的 推 廣可 測 函 數(shù) 列 的 極 限 問 題 一 、 點 集 的 勒 貝 格 測 度 與 可 測 集1.幾 個 特 殊 點 集 的 測 度(1)設(shè) E為 直 線 R上 的 有 限 區(qū) 間 a,b(或 (a,b)或 a,b)或 (a,b） 則 其 測 度 定 義 為 ： m(E)=m(a,b)=b-a.(2) 設(shè) E為 平 面 上 有 界 閉 區(qū) 域 D, 則 其 測 度 定 義 為 : m

2、(E)=SD(4) 若 E=， 則 定 義 m(E)=m()=0(3) 設(shè) E為 空 間 上 有 界 閉 區(qū) 域 , 則 其 測 度 定 義 為 :m(E)=V (6) 若 E為 一 隨 機 事 件 ， 則 定 義 m(E)=P(E) (古 典 概 率 ）(5) 若 E=x是 單 點 集 ， 則 定 義 m(E)=0 2.直 線 上 非 空 有 界 開 集 與 有 界 閉 集 的 測 度定 義 1 設(shè) G為 直 線 R上 的 有 界 開 集 (即 (a,b)G), (ai,bi)(iI)為 G的 構(gòu) 成 區(qū) 間 ， 則 定 義 m(G)=(biai) (0m(G)b-a)定 義 2 設(shè) F(a

3、,b)R為 有 界 閉 集 ， G=(a,b)-F, 則 定 義 ：m(F)=(b-a)-m(G)注 : m(F)0, 且 m(F)的 值 與 區(qū) 間 (a,b)的 選 取 無 關(guān) . 3.直 線 上 一 般 有 界 點 集 的 勒 貝 格 （ lebesgue)測 度定 義 3 設(shè) ER為 任 一 有 界 集 .(1) (有 界 集 的 外 測 度 )稱 一 切 包 含 E的 有 界 開 集 的 測 度的 下 確 界 為 E的 L外 測 度 ， 記 為 m*(E), 即m*(E)=infm(G)|G為 有 界 開 集 , EG(2) (有 界 集 的 內(nèi) 測 度 )稱 一 切 包 含 于 E

4、的 有 界 集 的 測 度的 上 確 界 為 E的 L內(nèi) 測 度 ， 記 為 m(E), 即m(E)=supm(F)|F為 有 界 閉 集 , FE(3) (有 界 集 的 測 度 ) 如 果 m(E)=m(E), 則 稱 E的 內(nèi) 測 度與 外 測 度 的 共 同 值 為 E的 L測 度 ， 記 為 m(E), 即這 時 ,也 稱 E是 勒 貝 格 可 測 集 (簡 稱 L可 測 集 ) m(E)=m *(E)=m(E) 注 :1)對 于 有 界 開 集 G, 有 m(G)=m*(G)2)對 于 有 界 閉 集 F, 有 m(F)=m(F)3)對 于 任 一 非 空 有 界 集 E, 有 m

5、(E)m*(E) (根 據(jù) 定 義 ) 定 理 1 設(shè) X=(a,b)是 基 本 集 (有 界 ), E, EiX(i=1,2,)均 為有 界 可 測 集 ,則 有 EC=X-E、 E1E2、 E1E2、 E1-E2、 Ei、Ei均 可 測 ， 且1) m(E)0, 且 E=時 , m(E)=0 (非 負 性 ) 3) m(E1E2)m(E1)+m(E2) (次 可 加 性 ) 2) 若 E1E2, 則 m(E1) m(E2) (單 調(diào) 性 ) m(E2E1)=m(E2)-m(E1) 4. 測 集 的 性 質(zhì)4) 若 E1E2=, 則 m(E1E2)=m(E1)+m(E2) (有 限 可 加

6、性 ) 5) 若 E i Ej= (ij, i,j=1,2,), 則 m(Ei)=m(Ei)(可 列 可 加 性 ) 1) 若 E1 E2 Ek, 則 E=Ek可 測 , m(E)=lim m(Ek)定 理 2 設(shè) X=(a,b)是 基 本 集 , Ek是 X上 的 可 測 集 列 。2) 若 E1 E2 Ek, 則 E=Ek可 測 , m(E)=lim m(Ek)定 理 3 設(shè) ER有 界 , 則 E可 測 存 在 開 集 G和 閉 集 F,使 FEG, 且 m (G-F)0, 開 集 G和 閉 集 F,使 FEG, 且 m (G-F)0, 開 集 G E 和 閉 集 FE,使 )()()(

7、 FmGmFGm )()()( FGmFmGmm (F)m (E)m (E) m (G) m (E)-m (E)m (G)-m (F)0, 開 集 GE, 使E0EG m (E0) m (G)0, 有 界 集(-x, x)E可 測 , 則 稱 E是 可 測 的 . 并 記 ),(lim)( ExxmEm x 注 :1)無 界 點 集 的 測 度 可 能 是 有 限 值 ,也 可 能 是 無 窮 大 . 例 如 , 有 理 數(shù) 集 Q是 無 界 的 零 測 集 , E=(0,+)是 測 度 為 +的 可 測 集 .2)對 于 無 界 集 ,上 述 定 理 1的 結(jié) 論 也 成 立 . 2） L可

8、 測 集 類 與 波 賴 爾 (Borel)集定 義 5 (1) R中 所 有 L可 測 集 構(gòu) 成 的 集 合 稱 為 L可 測 集 類 .(2) 對 R中 的 開 集 和 并 集 進 行 至 多 可 列 次 的 交 、并 、 差 運 算 所 得 到 的 集 合 稱 為 波 賴 爾 (Borel)集 . 所 有 波 賴 爾 (Borel)集 都 是 L可 測 集 .注 ： 大 多 數(shù) 集 合 都 是 L可 測 集 ， 但 L不 可 測 集 確 實 存 在 . 二 、 點 集 上 的 勒 貝 格 可 測 函 數(shù)1.可 測 函 數(shù) 的 定 義定 義 6 設(shè) ER為 任 一 可 測 集（ 有 界

9、或 無 界 ） , f(x)為 定 義在 E上 的 實 值 函 數(shù) .若 R, E的 子 集 E(f)=x|f(x), xE都 是 L有 限 可 測 集 , 則 稱 f(x)是 E上 的 L可 測 函 數(shù) E(f)=x 1,x2x3,bE(f)=x4,x5 xof(x)a bx1 x2 x3 x4x5 2.函 數(shù) 可 測 的 充 分 必 要 條 件定 理 4 f(x)在 可 測 集 E上 的 可 測 函 數(shù) ， 即 E(f)可 測, R, E(f)=x|f(x) , xE可 測 R, E(f=)=x|f(x)=, xE可 測R, E(f)=x|f(x)=x|f(x), xE可 測 證 : (1

10、) E(f)=E(f)-E(f)可 測 E(f)= E(f)(4) E(f)=f)=E(f+1/n), E(f)=E(f 1/n) 例 5 定 義 在 R上 連 續(xù) 函 數(shù) 都 是 L可 測 函 數(shù) . f(x)連 續(xù) x0E(f)R, f(x)f(x0) (xx0)O(x0,), 使 xO(x0,), 有 f(x)， 即 x E(f) (極 限 保 號 性 ）證 ： x0E(f)f(x0)(只 要 證 明 R, 集 E(f)是 開 集 , 則 它 一 定 是 可 測 集 )f(x)是 可 測 函 數(shù)O(x0, )E(f)x0 是 E(f)的 內(nèi) 點 ， E(f)是 開 集E(f)是 可 測

11、集 例 6 區(qū) 間 0,1上 的 狄 里 克 來 函 數(shù) D(x)是 L可 測 函 數(shù) .證 :D(x)= 1, x為 0,1中 的 有 理 數(shù)0, x為 0,1中 的 無 理 數(shù)當 1時 , E(D)=是 可 測 集 , 當 0時 , E(D)=0,1是 可 測 集 . 因 此 , D(x)是 L可測 函 數(shù)當 0)=x| x為 0,1中 的 有 理 數(shù) 是 可 測 集 , 例 7 定 義 在 零 測 集 E上 的 任 何 函 數(shù) f(x)都 是 L可 測 函 數(shù) .證 : R, E(f)=x|f(x), xEE f(x)是 可 測 函 數(shù)m(E(f)=0m(E(f)m(E)=0E(f)也

12、是 零 測 集 例 8 集 E的 特 征 函 數(shù) E(x)是 R上 的 可 測 函 數(shù) .證 : E(x)= 1, xE0, xE定 理 6 f(x)、 g(x)是 E上 的 可 測 函 數(shù) kf(x)、 f(x) g(x)、 f(x)g(x)、 f(x)/g(x)(g(x)0)、及 f(x)都 E上 的 可 測 函 數(shù)當 1時 , E(E)=是 可 測 集 , 當 0時 , E(E)=R是 可 測 集當 00, xE, N=N(), 當 nN時 , 有 fn(x)-f(x)0, xE, N=N(x, ),當 nN時 , 有 fn(x)-f(x)N時 , 曲線 列 fn(x)的 圖 形 都 在

13、 曲線 f(x)的 帶 形 鄰 域 內(nèi) . f(x)fn(x)o xy a b fn(x)=xno xy x1 1x2n=1n=2n=10 n=20 x(0,1)時 , fn(x)=xn0 (n)fn(x)=xn 0 (n) xNnxn lnln0 N既 與 有 關(guān) ,又 與 x有 關(guān) ,要 使 曲 線 fn(x)=xn上 的 對 應(yīng)點 落 到 極 限 函 數(shù) f(x)=0的 帶 形 鄰 域 內(nèi) ,在 x1處 ,只 要 n2即 可 ,而 在 x2處 ,則 要 n10才 行3) fn(x)一 致 收 斂 于 f(x)fn(x)一 處 處 斂 于 f(x), 反 之不 然 。 例 如 在 點 集

14、E上 , 函 數(shù) 列 fn(x)一 致 收 斂 于 f(x)例 證 明 函 數(shù) 列在 E=0.1上 一 致 收 斂 于 0. ,.2,1,1)( 22 nxnxxfn證 : 21 21210)(0 22Nn nnxxxnxxfn定 理 6 (柯 西 定 理 ) xE, fn(x)是 基 本 列 。0, xE, N=N(), 當 m, nN時 , 有 fm(x)-fn(x)0, lim m(Exfn(x)-f(x)=0fn(x)在 集 E上 依 測 度 收 斂 于 f(x)0, 0, N, 當 nN時 , 有 m(E(fn(x)-f(x)0, 可 測 子 集 E E, 使 m(E-E), 且 f

15、n(x)在 E 上 一 致 收 斂 于 f(x), 則 稱 fn(x)在 E上 近 一 致 收 斂 于 f(x) m記 作 fn(x)f(x) (n) 定 理 10 設(shè) fn(x)是 可 測 集 E上 的 幾 乎 處 處 有 限 的 可 測 函數(shù) 列 , f(x)是 定 義 在 E上 的 幾 乎 處 處 有 限 的 可 測 函 數(shù) , 且lim fn(x)=f(x) (a.e.), 則定 理 11 (Riesz定 理 ) 設(shè) m(E), 則fn(x)在 E上 依 測 度 收 斂 于 f(x)子 列 fnk(x)fn(x), 使 fnk(x)f(x) (a.e.) (k)(2) fn(x)在 E上 依 測 度 收 斂 于 f(x). (勒 貝 格 定 理 ) (1)fn(x)在 E上 近 一 致 收 斂 于 f(x). (葉 果 洛 夫 定 理 ) fn(x)幾 乎 處 處 收 斂 于 f(x)fn(x)近 一 致 收 斂 于 f(x) fn(x)依 測 度 收 斂 于 f(x)fn(x)中 存 在 幾 乎 處 處 收 斂 于 f(x)的 子 列 fnk(x)fn(x)處 處 收 斂 于 f(x)fn(x)一 致 收 斂 于 f(x)4 函 數(shù) 列 的 各 種 收 斂 之 間 的 關(guān) 系