2.3 二次函數(shù)的性質(zhì)

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1、 函 數(shù) 開 口 方 向 對 稱 軸 頂 點 坐 標y ax2(a0)y=ax2+k (a0)y ax2 (a0)y=ax2+k (a0)y=a(x+h)2 +t(a0)y a（ x+h） 2(a0)y=a(x+h)2 +t(a0) 直 線 x=-h直 線 x=-h 對 于 二 次 函 數(shù) y=ax2 +bx + c (a 0)圖 象 :一 條 拋 物 線拋 物 線 的 形 狀 ,大 小 ,開 口 方 向 完 全 由 _來 決 定 . 當 a的 絕 對 值 相 等 時 ,其 形 狀 完全 相 同 ,當 a的 絕 對 值 越 大 ,則 開 口越 小 ,反 之 成 立 .0 y=0.5x2y= -

2、 x 2 y= - 0.5x2 a 根 據(jù) 函 數(shù) 圖 象 填 空 ：拋 物 線 y= -2x2的 頂 點 坐 標 是 ,對 稱 軸 是 ， 在 側(cè) ，即 x_0時 , y隨 著 x的 增 大 而 增 大 ；在 側(cè) ， 即 x_0時 ,y隨 著 x的 增 大 而 減 小 .當 x= 時 ，函 數(shù) y最 大 值 是 _.當 x_0時 ,y0 (0,0)直 線 x=0y軸 右 y軸 左0 0 0y= -2x2y x (0,0)直 線 x=0Y軸 右 Y軸 左0 0 0 y= 2x2y x 根 據(jù) 函 數(shù) 圖 象 填 空 ：拋 物 線 y= -2x2的 頂 點 坐 標 是 ,對 稱 軸 是 ， 在

3、側(cè) ，即 x_0時 , y隨 著 x的 增 大 而 增 大 ；在 側(cè) ， 即 x_0時 ,y隨 著 x的 增 大 而 減 小 .當 x= 時 ，函 數(shù) y最 大 值 是 _.當 x_0時 ,y0 函 數(shù) y=ax2+bx+c 基 本 性 質(zhì) 回 顧二次函數(shù)y=ax2+bx+c（ a0）的圖像是一條拋物線 y=x +2x2合 作 學(xué) 習(1)當 自 變 量 增 大 時 ,函 數(shù) 的 值 將 怎 樣 變 化 ?頂 點 在 圖象 的 位 置 有 什 么 特 點 ?(2)判 別 這 個 函 數(shù) 有 沒 有 最 小 值 或 最 大 值 .你 能 發(fā) 現(xiàn) 這是 由 解 析 式 中 的 哪 一 系 數(shù) 決

4、定 的 嗎 ?(3)這 個 函 數(shù) 值 的 增 減 性 是 怎 樣 變 化 的 ? xy0 2-2-2 2-4y x0246-2 2-4 4y=2x2 4x 6y=0.75x2+3x y= 0.5x2 2x 1.5觀察下列二次函數(shù)圖像：頂點在圖像的位置有什么特點？頂 點 是 拋 物 線 上 的 最 高 點 （ 或 最 低 點 ） 條 件 圖 像 增 減 性 最 大 （ 小 ） 值 xyo x 2x1 x yox1 x2二 次 函 數(shù) y=ax2+bx+c(a 0)的 性 質(zhì) ：a 0a 0 w(1).每 個 圖 象 與 x軸 有 幾 個 交 點 ？w(2).一 元 二 次 方 程 x2+2x=

5、0,x2-2x+1=0有 幾 個 根 ?驗 證 一 下 一 元 二 次 方 程 x2-2x+2=0有 根 嗎 ?w(3).二 次 函 數(shù) y=ax2+bx+c的 圖 象 和 x軸 交 點 的 坐標 與 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0的 根 有 什 么 關(guān) 系 ?觀 察 二 次 函 數(shù) y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的 圖 象y=x2+2x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2 求 二 次 函 數(shù) 圖 象 y=x2-3x+2與 x軸 的 交 點 A、 B的 坐 標 。解 ： A、 B在 x軸 上 ， 它 們 的 縱 坐 標 為 0， 令 y=0， 則 x2

6、-3x+2=0 解 得 ： x1=1， x2=2； A（ 1， 0） ， B（ 2， 0）你 發(fā) 現(xiàn) 方 程 的 解 x1、 x2與 A、 B的 坐標 有 什 么 聯(lián) 系 ？x2-3x+2=0舉 例 :結(jié) 論 ： 方 程 x2-3x+2=0的 解 就 是 拋 物 線 y=x2-3x+2與x軸 的 兩 個 交 點 的 橫 坐 標 。 因 此 ， 拋 物 線 與 一 元 二次 方 程 是 有 密 切 聯(lián) 系 的 。 如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的圖像與x軸的兩個交點的 坐標為 （ x1， 0 ）和（ x2 ， 0）方程ax2+bx+c 0 (a0)的解與二次函數(shù)y=ax2+bx+c

7、(a0)的圖像與x軸交點的坐標有什么關(guān)系？那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c 0 (a0)的兩個根方 程 ax2+bx+c 0 (a 0)的 解 就 是 函 數(shù) y=ax2+bx+c (a 0)的 圖 像 與 x軸 交 點 的 坐 標 。橫可以發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的圖像與x軸交點的 存在性與 方程ax 2+bx+c 0(a0)的解是否存在有關(guān)。 合 作 探 究 那么，進一步推想方程ax2+bx+c 0 (a 0)解的存在性又與什么有關(guān)呢？b2 4ac的正負性有關(guān)。故 而 ： 當 b2 4ac 時 ， 拋 物 線 與 x軸 交 點 ； 當 b2 4ac 時 ，

8、拋 物 線 與 x軸 只 有 交 點 ； 當 b 2 4ac 時 ， 拋 物 線 與 x軸 交 點 。 0 兩 個 0 一 個 0 沒 有 例 1、 已 知 函 數(shù) y= 0.5x2 7x 7.5(1)求 函 數(shù) 的 頂 點 坐 標 、 對 稱 軸 ， 以 及 圖 像 與 坐 標軸 的 交 點 坐 標 ， 并 畫 出 函 數(shù) 的 大 致 圖 像 ；解 ： （ 1） a= 0.5,b= 7,c=7.5; 所 以 函 數(shù) y= 0.5x2 7x 7.5的 大 致 圖 像 如 圖 ：x = 720 xy 10O10 10 30 5 10 20 15 5( 7，32) (0， 7.5)( 15， 0)

9、 (1， 0) 自 變 量 x在 什 么 范 圍 內(nèi) 時 ， y隨 x 的 增 大 而 增 大 ？ 何 時 y 隨 x的 增 大而 減 小 ？ 并 求 出 函 數(shù) 的 最 大 值 或最 小 值 。解 ： 由 右 圖 可 知 ， 當 x 7 時 ， y隨 x 的 增 大 而 增 大 ；當 x 7 時 ， y 隨 x的 增 大而 減 小 ；當 x 7時 ， 函 數(shù) 有 最 大 值 32。 (-15,0) (1,0)(0,7.5)(-7,32)(-14,7.5). 0 xy(3） 根 據(jù) 第 （ ） 題 的 圖 象 草 圖 ， 說 出 x 取 哪 些值 時 ， y=0; y0.x=-15或 x=1

10、x1 -15x1A BCS ABC=0.5 AB OC=0.5 16 7.5=60(4)求 圖 象 與 坐 標 軸 交 點 構(gòu) 成 的 三 角 形 的 面 積 ： xoyx1 x2(0,c) )44,2( 2abacab ),( cab 函 數(shù) 圖 像 的 頂 點 、 圖 像 與 坐 標 軸 的 交 點 ， 以 及 圖 像 與y軸 的 交 點 關(guān) 于 圖 象 對 稱 軸 的 對 稱 點 。xo y x2x1(0,c) ),( caby=ax2+bx+c)44,2( 2abacab X=-b/2a 練一練1、 求 下 列 函 數(shù) 的 最 大 值 （ 或 最 小 值 ） 和 對 應(yīng) 的 自 變 量

11、 的 值 ： y=2x2 8x 1； y= 3x2 5x 1解 ： y=2x2 8x 1 2(x 2)2 7 當 x=2時 ,y有 最 小 值 ,為 7 a= 3 0且 b= 5,c=1;故 :當 x= 時 ， y有 最 值 ， 為大配方法公式法 2、已知函數(shù)y=x2 3x 4.求函數(shù)圖像的頂點坐標、與坐標軸交點的坐標和對稱軸，并畫出函數(shù)的大致圖像；解 ： y=x2 3x 4 (x 1.5)2 6.25, 圖 象 頂 點 坐 標 為 (1.5, 6.25);又 當 y=0時 ，得 x2 3x 4 0的 解 為 ： x 1 1， x2 4。則 與 x軸 的 交 點 為 ( 1,0)和 (4,0)

12、 與 y軸 的 交 點 為 (0, 4) ( 1,0) (1.5, 6.25)(0, 4) (4,0)x=1.5Oy x ( 1,0) (1.5, 6.25)(0, 4) (4,0)x=1.5Oy x 記 當 x1=1.5, x2= , x3= 時 對 應(yīng) 的 函 數(shù)值 分 別 為 y1,y2,y3,試 比 較 y1,y2,y3的 大 小 ?( ,y2) ( ,y3) (3.5,y1)x=x= x=3.5(2)在 二 次 函 數(shù) y=x2-3x-4中 ,自 變 量 x_時 ,y隨 x 的 增 大 而 增 大 ,x_時 ,y隨 x的 增 大 而減 小 . 1.5 1.5 1.5 - 2 2即 x

13、2x3x1 y1y3y2 例 2、 二 次 函 數(shù) y=ax2+bx+c(a 0)的 圖 象 如 圖 所示 ， 則 a、 b、 c的 符 號 分 別 怎 樣 ？ y xo 1、 已 知 二 次 函 數(shù) 的 圖 像 如 圖 所 示 ， 下 列 結(jié) 論 ： a+b+c 0 a-b+c 0 abc 0 b=2a其 中 正 確 的 結(jié) 論 的 個 數(shù) 是 （ ） A、 1個 B、 2個 C、 3個 D、 4個2、 下 列 函 數(shù) 何 時 有 最 大 值 或 最 小 值 ， 并 求 出 最 大 值 或 最 小 值 y=2x 2-8x-3 y=-5x x- 43、 二 次 函 數(shù) y=x2 bx+8的 圖

14、 像 頂 點 在 x軸 的 負 半 軸 上 ，那 么 b等 于 多 少 ？ D -1 10 xy 做 一 做 例 3、 如 圖 ， 在 ABC中 ， AB=8cm， BC=6cm， B 90 ，點 P從 點 A開 始 沿 AB邊 向 點 B以 2厘 米 秒 的 速 度 移 動 ， 點 Q從 點 B開 始 沿 BC邊 向 點 C以 1厘 米 秒 的 速 度 移 動 ， 如 果P,Q分 別 從 A,B同 時 出 發(fā) ， 幾 秒 后 PBQ的 面 積 最 大 ？ 最 大 面 積 是 多 少 ？ AB C PQ 解 ： 根 據(jù) 題 意 ， 設(shè) 經(jīng) 過 x秒 后 PBQ的 面 積 y最 大 ,則 ： A

15、P=2x cm PB=（ 8-2x ） cm QB=x cm則 ： y=1/2 x（ 8-2x）=-x2 +4x=-（ x2 -4x +4 -4）= -（ x - 2） 2 + 4所 以 ， 當 P、 Q同 時 運 動 2秒 后 PBQ的 面 積 y最 大最 大 面 積 是 4 cm 2（ 0 xx20,試 比 較 y1與 y2的 大 小 . 2、 如 圖 直 線 l經(jīng) 過 點 A(4,0)和 B(0,4)兩 點 ,它 與 二 次函 數(shù) y=ax2的 圖 像 在 第 一 象 限 內(nèi) 相 交 于 P點 ,若 AOP的面 積 為 4.5,求 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 . AB PO xy3、

16、 將 拋 物 線 y=x2向 下 平 移 后 ,使 它 的 頂 點 C與 它 在 x軸 上的 兩 個 交 點 A,B組 成 等 邊 三 角 形 ABC,求 此 拋 物 線 的 解 析式 。 談?wù)勀愕氖斋@、感受？！ 1、 如 圖 ， 等 腰 Rt ABC的 直 角 邊 AB ， 點 P、 Q分 別 從 A、 C兩 點同 時 出 發(fā) ， 以 相 等 的 速 度 作 直 線 運 動 ， 已 知 點 P沿 射 線 AB運動 ， 點 Q沿 邊 BC的 延 長 線 運 動 ， PQ與 直 線 相 交 于 點 D。(1)設(shè) AP的 長 為 x， PCQ的 面 積 為 S， 求 出 S關(guān) 于 x的 函 數(shù) 關(guān)

17、 系 式(2)當 AP的 長 為 何 值 時 ， S PCQ= S ABC 解 ： ） P、 Q分 別 從 A、 C兩 點 同 時 出 發(fā) ， 速 度 相 等 AP=CQ=x 當 P在 線 段 AB上 時 21S PCQ CQPB 21= APPB即 S (0 x2） D A C B P Q (2)當 S PCQ S ABC時 ， 有 xx 221此 方 程 無 實 數(shù) 根 xx 221 042 2 xx x1=1+ , x2=1 (舍 去 ) 5 5 當 AP長 為 1+ 時 ， S PCQ S ABC 5 3.05米4米?2.25米 o xy 球 運 動 路 線 的 函 數(shù) 解 析 式 和

18、 自 變 量 的 取 值 范 圍 球 在 運 動 中 離 地 面 的 最 大 高 度 。解 : 設(shè) 函 數(shù) 解 析 式 為 :y=a(x 2.5)2+k,根 據(jù) 題 意 ， 得 ：2.52a+k=2.25(4 2.5)2a+k=3.05則 ： a= 0.2,k=3.5 解 析 式 為 :y= 0.2x 2+x+2.25,自 變 量 x的 取 值 范 圍 為 ： 0 x 4. 球 在 運 動 中 離 地 面 的 最 大 高 度 為 3.5米 。 2、 籃 球 運 動 員 投 籃 時 ， 球 運 動 的 路 線 為 拋 物 線 的 一部 分 （ 如 圖 ） ， 拋 物 線 的 對 稱 軸 為 x=2.5。 求 ：