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1、單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,第四章 根軌跡,已知開環(huán)系統(tǒng)的極點和零點，當增益變化的時候，閉環(huán)系統(tǒng)的極點變化的軌跡。,4.1,閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,4.1.1,根軌跡的定義,,這一章考慮如下的反饋系統(tǒng)。,,,,,設開環(huán)傳遞函數為（,zi,pj,可能復數）：,,,,,其中的,Kr,稱為根軌跡增益。,,注意：與開環(huán)增益不同！,4.1,閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,,,,,根軌跡就是當,Kr,變化時（通常是零變到正無窮大），閉環(huán)極點的軌跡。設分子和分母的次數分別為,m,和,n,，通常,n,≥,m,，由于上述方程是,n,次
2、的，故根軌跡有,n,根分支。,,上式等價于：,4.1.2,幅值條件和相角條件,其中第一個式子稱為根軌跡的相角條件，第二個式子稱為根軌跡的幅值條件。,,注意到,s+z,就是,-z,到,s,的向量，因此點,s,在根軌跡上的充要條件是：,,（所有開環(huán)零點到,s,的幅角之和）,-,（所有開環(huán)零點到,s,的幅角之和）,=,?,的奇數倍。,例：,作下圖的根軌跡,,,開環(huán)只有極點，極點到,s,的幅角之和為,?奇數倍。,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,根軌跡的起點和終點,,由于,,,,,,當,Kr=0,時，,,,根軌跡起源于開環(huán)的極點（正好,n,個）。當,Kr=,?,時，,根軌跡終止于開環(huán)的零點。（多余的,
3、n-m,支奔向何方？）,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,實軸上的根軌跡,,復數零極點對實軸上的根軌跡沒有影響，所以實軸上的根軌跡由實數零極點確定。,,,一個實數在根軌跡上，如果它的右面有奇數個零極點。,,復平面上的根軌跡,,因為這是實數多項式，復根成對出現(xiàn)，所以復平面上的根軌跡關于實軸對稱。,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,無窮遠的根軌跡,,有,n-m,支根軌跡趨向無窮大，它們與實軸的夾角分別為,,,,與實軸交點為,,,,,這是因為,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,實軸上根軌跡的分離和匯合,,兩支實軸上的根軌跡必定要分離或者匯合，分離和匯合點是重根。可用求重根的辦法求出這類點。,,,,,
4、,或者,,,對應正的,Kr,。,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,根軌跡與虛軸的交點,,利用,Routh,表可以求出臨界穩(wěn)定的,Kr,，和對應的虛軸上的極點。,,列出,Routh,陣列,,,使,s,行為零,,,得對應虛極點。,,出射角和入射角,,出射角是根軌跡離開開環(huán)極點的角度，入射角是進入開環(huán)零點的角度。計算公式為：,,,入射角,,出射角,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,例：求,,,的根軌跡,1,。在復平面上作出起點與終點,,起點：,0,，,-1,，,-2,±j2,,終點：,-4,,2,。實軸上的根軌跡,（,-,?,，,-4],，,[-1,，,0],,3,。實軸上的分離點和匯合點,,,,解方程得到,s=-5.12(,匯合點,), s=-0.48,（分離點）,,,,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,例：求,,,的根軌跡,4,。無窮遠性質：,,漸近線夾角：,±60,，,180,。實軸交點,（,-5+4,）,/3,,5,。與虛軸交點：,±j1.71,,Kr=6.64,,,,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,6.,分離點和匯合點,,,s=-5.12, s=-0.48,7,。出射角：約為,-116.5,,,,,,-5.12,-0.48,練習,A4-1, A4-5(1) (3)(5)(7)(9),,A4-6,,
第四章根軌跡
