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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,,*,第四章 根軌跡,已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，當(dāng)增益變化的時(shí)候，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)變化的軌跡。,4.1,閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,4.1.1,根軌跡的定義,,這一章考慮如下的反饋系統(tǒng)。,,,,,設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為（,zi,pj,可能復(fù)數(shù)）：,,,,,其中的,Kr,稱為根軌跡增益。,,注意：與開(kāi)環(huán)增益不同！,4.1,閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,,,,,根軌跡就是當(dāng),Kr,變化時(shí)（通常是零變到正無(wú)窮大），閉環(huán)極點(diǎn)的軌跡。設(shè)分子和分母的次數(shù)分別為,m,和,n,，通常,n,≥,m,，由于上述方程是,n,次
2、的，故根軌跡有,n,根分支。,,上式等價(jià)于：,4.1.2,幅值條件和相角條件,其中第一個(gè)式子稱為根軌跡的相角條件，第二個(gè)式子稱為根軌跡的幅值條件。,,注意到,s+z,就是,-z,到,s,的向量，因此點(diǎn),s,在根軌跡上的充要條件是：,,（所有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)到,s,的幅角之和）,-,（所有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)到,s,的幅角之和）,=,?,的奇數(shù)倍。,例：,作下圖的根軌跡,,,開(kāi)環(huán)只有極點(diǎn)，極點(diǎn)到,s,的幅角之和為,?奇數(shù)倍。,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn),,由于,,,,,,當(dāng),Kr=0,時(shí)，,,,根軌跡起源于開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)（正好,n,個(gè)）。當(dāng),Kr=,?,時(shí)，,根軌跡終止于開(kāi)環(huán)的零點(diǎn)。（多余的,
3、n-m,支奔向何方？）,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,實(shí)軸上的根軌跡,,復(fù)數(shù)零極點(diǎn)對(duì)實(shí)軸上的根軌跡沒(méi)有影響，所以實(shí)軸上的根軌跡由實(shí)數(shù)零極點(diǎn)確定。,,,一個(gè)實(shí)數(shù)在根軌跡上，如果它的右面有奇數(shù)個(gè)零極點(diǎn)。,,復(fù)平面上的根軌跡,,因?yàn)檫@是實(shí)數(shù)多項(xiàng)式，復(fù)根成對(duì)出現(xiàn)，所以復(fù)平面上的根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,無(wú)窮遠(yuǎn)的根軌跡,,有,n-m,支根軌跡趨向無(wú)窮大，它們與實(shí)軸的夾角分別為,,,,與實(shí)軸交點(diǎn)為,,,,,這是因?yàn)?4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,實(shí)軸上根軌跡的分離和匯合,,兩支實(shí)軸上的根軌跡必定要分離或者匯合，分離和匯合點(diǎn)是重根。可用求重根的辦法求出這類點(diǎn)。,,,,,
4、,或者,,,對(duì)應(yīng)正的,Kr,。,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,根軌跡與虛軸的交點(diǎn),,利用,Routh,表可以求出臨界穩(wěn)定的,Kr,，和對(duì)應(yīng)的虛軸上的極點(diǎn)。,,列出,Routh,陣列,,,使,s,行為零,,,得對(duì)應(yīng)虛極點(diǎn)。,,出射角和入射角,,出射角是根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的角度，入射角是進(jìn)入開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的角度。計(jì)算公式為：,,,入射角,,出射角,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,例：求,,,的根軌跡,1,。在復(fù)平面上作出起點(diǎn)與終點(diǎn),,起點(diǎn)：,0,，,-1,，,-2,±j2,,終點(diǎn)：,-4,,2,。實(shí)軸上的根軌跡,（,-,?,，,-4],，,[-1,，,0],,3,。實(shí)軸上的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn),,,,解方程得到,s=-5.12(,匯合點(diǎn),), s=-0.48,（分離點(diǎn)）,,,,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,例：求,,,的根軌跡,4,。無(wú)窮遠(yuǎn)性質(zhì)：,,漸近線夾角：,±60,，,180,。實(shí)軸交點(diǎn),（,-5+4,）,/3,,5,。與虛軸交點(diǎn)：,±j1.71,,Kr=6.64,,,,4,．,2,繪制根軌跡的基本規(guī)則,6.,分離點(diǎn)和匯合點(diǎn),,,s=-5.12, s=-0.48,7,。出射角：約為,-116.5,,,,,,-5.12,-0.48,練習(xí),A4-1, A4-5(1) (3)(5)(7)(9),,A4-6,,
第四章根軌跡
