第三章-工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)-3逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

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1、,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,*,第三章 工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué),-3,主要內(nèi)容,數(shù)學(xué)基礎(chǔ),齊次坐標(biāo)變換,機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立（正運(yùn)動(dòng)學(xué)）,機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析（逆運(yùn)動(dòng)學(xué)）,三、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,（,Inverse Kinematic Equations,）,3.1,引言,3.2,逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,3.3,斯坦福機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解,3.4,歐拉變換的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解,3.5 RPY,變換的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解,3.6

2、,球坐標(biāo)變換的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解,3.7,本章小結(jié),3.1,引言,(Introduction),所謂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解，就是已知機(jī)械手直角坐標(biāo)空間的位姿（,pose）T,6,，,求出各節(jié)變量,n,or,d,n,。,T,6,=A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,（,3.1,）,逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程解的步驟如下,：,（,1,）根據(jù)機(jī)械手關(guān)節(jié)坐標(biāo)設(shè)置確定,A,n,A,n,為關(guān)節(jié)坐標(biāo)的齊次坐標(biāo)變換，由關(guān)節(jié)變量和參數(shù)確定。關(guān)節(jié)變量和參數(shù)有：,a,n,連桿長(zhǎng)度;,n,連桿扭轉(zhuǎn)角;,d,n,相鄰兩連桿的距離;,n,相鄰兩連桿的夾角。,對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié),n,為關(guān)節(jié)變量，而對(duì)于滑動(dòng)關(guān)節(jié),d,n,為關(guān)節(jié)變量。其余為連桿參數(shù)

3、，由機(jī)械手的幾何尺寸和組合形態(tài)決定。,（2）,根據(jù)任務(wù)確定機(jī)械手的位姿,T,6,T,6,為機(jī)械手末端在直角坐標(biāo)系（參考坐標(biāo)或基坐標(biāo)）中的位姿，由任務(wù)確定，即式,（2.37）,給出的表達(dá)式,T,6,=Z,-1,X E,-1,確定。它是由三個(gè)平移分量構(gòu)成的平移矢量,P（,確定空間位置）和三個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量,n，o，a（,確定姿態(tài)）組成的齊次變換矩陣描述。,（3）由,T,6,和,A,n,（n1，2，6）,和式（,4.1,）求出相應(yīng)的關(guān)節(jié)變量,n,或,d,n,。,3.2,逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解（,Solving inverse kinematic equations,）,根據(jù)式,（3.1）,T,6,=A,1,A,

4、2,A,3,A,4,A,5,A,6,分別用,A,n,（n1，2，5）,的逆左乘式（,3.1,）有,A,1,-1,T,6,=,1,T,6,(,1,T,6,=,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,),（,3.2,）,A,2,-1,A,1,-1,T,6,=,2,T,6,(,2,T,6,=A,3,A,4,A,5,A,6,),（,3.3,）,A,3,-1,A,2,-1,A,1,-1,T,6,=,3,T,6,(,3,T,6,=A,4,A,5,A,6,),（,3.4,）,A,4,-1,A,3,-1,A,2,-1,A,1,-1,T,6,=,4,T,6,(,4,T,6,=A,5,A,6,),（,3.5,）,

5、A,5,-1,A,4,-1,A,3,-1,A,2,-1,A,1,-1,T,6,=,5,T,6,(,5,T,6,=A,6,),（,3.6,）,根據(jù)上述五個(gè)矩陣方程對(duì)應(yīng)元素相等，可得到若干個(gè)可解的代數(shù)方程，便可求出關(guān)節(jié)變量,n,或,d,n,。,3.3,斯坦福機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解,（,Inverse solution of Stanford manipulator,）,在第三章我們推導(dǎo)出,Stanford Manipulator,的運(yùn)動(dòng)方程和各關(guān)節(jié)齊次變換式,。,下面應(yīng)用式（,3.2,）（,3.6,）進(jìn)行求解：,這里,f,11,=,C,1,x,S,1,y,(,3.10,),f,12,=,-,z,(,3

6、.11,),f,13,=,-,S,1,x,C,1,y,(,3.12,),其中,x,=,n,x,o,x,a,x,p,x,T,，,y,=,n,y,o,y,a,y,p,y,T,，,z,=,n,z,o,z,a,z,p,z,T,由前節(jié)得到的斯坦福機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式（,2.48,）為,C,2,(,C,4,C,5,C,6,-,S,4,S,6,)-,S,2,S,5,C,6,-,C,2,(,C,4,C,5,S,6,+S,4,C,6,),+S,2,S,5,S,6,S,2,(,C,4,C,5,C,6,-,S,4,S,6,),+C,2,S,5,C,6,-,S,2,(,C,4,C,5,S,6,+S,4,C,6,)-,C

7、,2,S,5,S,6,1,T,6,=S,4,C,5,C,6,+C,4,C,6,-,S,4,C,5,S,6,+C,4,C,6,0 0,C,2,C,4,S,5,+S,2,C,5,S,2,d,3,S,2,C,4,S,5,-,C,2,C,5,-,C,2,d,3,S,4,S,5,d,2,（3.13）,0 1,比較式（,3.9,）和式（,3.13,）矩陣中的第三行第四列元素相等得到,f,13,（,p,）,=,d,2,（,3.14,）,或,-,S,1,p,x,C,1,p,y,=d,2,（,3.15,）,令,p,x,=,r cos,（,3.16,）,p,y,=,r sin,（,3.17,）,其中,（,3.18

8、,）,（,3.19,）,將式（,3.16,）和式（,3.17,）代入式（,3.15,）有,sin,con,1,con,sin,1,d,2,/r,（,0,d,2,/r,1,）（,3.20,）,由式（,3.20,）可得,sin,(,1,),d,2,/r,（,0,1,）（,3.21,）,con,(,1,),（,3.22,）,這里,號(hào)表示機(jī)械手是右肩結(jié)構(gòu)（）還是左肩結(jié)構(gòu)（）。,由式（,3.21,）、（,3.22,）和（,3.18,）可得到第一個(gè)關(guān)節(jié)變量,1,的值,（,3.23,）,根據(jù)同樣的方法，利用式（,3.9,）和式（,3.13,）矩陣元素相等建立的相關(guān)的方程,組，可得到其它各關(guān)節(jié)變量如下：,（,

9、3.24,）,（,3.25,）,（,3.26,）,（,3.27,）,（,3.28,）,注意：,在求解關(guān)節(jié)變量過(guò)程中如出現(xiàn)反正切函數(shù)的分子和分母太小，則計(jì)算結(jié)果誤差會(huì)很大，此時(shí)應(yīng)重新選擇矩陣元素建立新的方程組再進(jìn)行計(jì)算，直到獲得滿意的結(jié)果為止。同樣，如果計(jì)算結(jié)果超出了機(jī)械手關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍，也要重新計(jì)算，直到符合機(jī)械手關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍。,由于機(jī)械手各關(guān)節(jié)變量的相互耦合，后面計(jì)算的關(guān)節(jié)變量與前面的關(guān)節(jié)變量有關(guān)，因此當(dāng)前面關(guān)節(jié)變量的計(jì)算結(jié)果發(fā)生變化時(shí)，后面關(guān)節(jié)變量計(jì)算的結(jié)果也會(huì)發(fā)生變化，所以逆運(yùn)動(dòng)方程的解不是唯一的，我們應(yīng)該根據(jù)機(jī)械手的組合形態(tài)和各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍，經(jīng)過(guò)多次反覆計(jì)算，從中選擇一組合理解。由

10、此可見(jiàn)，求解機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)十分復(fù)雜的過(guò)程。,3.4,歐拉變換的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解 （,Inverse solution of,Euler Angles,）,由前節(jié)知?dú)W拉變換為,Euler(,),Rot(,z,)Rot(,y,)Rot(,z,),（,3.29,）,我們用,T,來(lái)表示歐拉變換的結(jié)果，即,T,Euler(,),（,3.30,）,或,T,Rot(,z,)Rot(,y,)Rot(,z,),（,3.31,）,其中,（,3.32,）,（,3.33,）,比較式（,3.32,）和式（,3.33,）有,（,3.34,）,（,3.35,）,（,3.36,）,（,3.37,）,（,3.38,）,（,

11、3.39,）,（,3.40,）,（,3.41,）,（,3.42,）,由式（,3.42,）可解出,角,（,3.43,）,由式（,3.40,）和式（,3.43,）可解出,角,（,3.44,）,由式（,3.36,）和式（,3.43,）可解出,角,（,3.45,）,這里需要指出的是，在我們采用式（,3.43,）,式（,3.45,）來(lái)計(jì)算,、,、,時(shí)都是采用反余弦函數(shù)，而且式（,3.43,）和式（,3.45,）的分母為,sin,，這會(huì)帶來(lái)如下問(wèn)題：,1,）由于絕對(duì)值相同的正負(fù)角度的余弦相等，如,cos,cos,（,-,），因此不能確定反余弦的結(jié)果是在那個(gè)象限；,2,）當(dāng),sin,接近于,0,時(shí)，由式（,

12、3.43,）和式（,3.45,）所求出的角度,和,是不精確的；,3,）當(dāng),0,或,180,時(shí)，式（,3.43,）和式（,3.45,）無(wú)數(shù)值解。,為此，我們必須尋求更為合理的求解方法。,由三角函數(shù)的知識(shí)我們知道，反正切函數(shù),tan,1,（,x/y,）所在的象限空間可由自變量的分子和分母的符號(hào)確定（如圖,3.1,所示），因此如果我們得到歐拉角的正切表達(dá)式，就不難確定歐拉角所在的象限。,為此，我們采用前節(jié)的方法，用,Rot(,z,),1,左乘式（,3.31,）有,Rot,1,(,z,)T,Rot(,y,)Rot(,z,),（,3.46,）,y,x,y,y,x,y,x,x,y,x,圖,3.1,正切函數(shù)

13、所在象限,即,（,3.47,）,將上式寫(xiě)成如下形式,（,3.48,）,式中,（,3.49,）,（,3.50,）,（,3.51,）,同樣，上面三個(gè)式子中的,x,、,y,、,z,分別表示,n,、,o,、,a,、,p,矢量的各個(gè)分量，如,（,3.52,）,比較式（,3.48,）等號(hào)兩邊矩陣的第,2,行第,3,列元素可知,（,3.63,）,即,（,3.54,）,由此可得到,（,3.55,）,或,（,3.56,）,結(jié)果得到,（,3.57,）,或,（,3.58,）,上述結(jié)果相差,180,，可根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的組合形態(tài)從中選擇一個(gè)合理解。如果,a,y,和,a,x,都為,0,，則式（,3.57,）和式（,3.58

14、,）無(wú)定義，這是一種退化現(xiàn)象，此時(shí),值可任意設(shè)置，如,0,。,由于角,已求出，比較式（,3.48,）等號(hào)兩邊矩陣第,1,行第,3,列和第,3,行第,3,列元素相等有,（,3.59,）,（,3.60,）,或,（,3.61,）,（,3.62,）,由此可得,（,3.63,）,同樣比較式（,3.48,）等號(hào)兩邊矩陣的第,2,行第,1,列和第,2,行第,2,列元素可知,（,3.64,）,（,3.65,）,或,（,3.66,）,（,3.67,）,由此可得,（,3.68,）,至此，我們求出了歐拉變換的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。,3.5 RPY,變換的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解,（,Inverse solution of,RPY,）,第三

15、章介紹的搖擺、俯仰和偏轉(zhuǎn),(RPY),變換的表達(dá)式如下,T=RPY(,),Rot(,z,)Rot(,y,)Rot(,x,),（,3.69,）,用,Rot,1,(,z,),左乘上式得到,Rot,1,(,z,)T,Rot(,y,)Rot(,x,),（,3.70,）,將上式寫(xiě)成式（,3.48,）的形式,（,3.71,）,式中,（,3.72,）,（,3.73,）,（,3.74,）,由式（,3.71,）等號(hào)兩邊矩陣的第,2,行第,1,列元素相等有,（,3.75,）,由此得到,（,3.76,）,或,（,3.77,）,角,已求出，根據(jù)式（,3.71,）等號(hào)兩邊矩陣的第,3,行第,1,列和第,1,行第,1,列

16、元素相等有,（,3.78,）,（,3.79,）,由此可得,（,3.80,）,進(jìn)一步比較式（,3.71,）等號(hào)兩邊矩陣元素，由第,2,行第,3,列和第,2,行第,2,列元素相等有,（,3.81,）,（,3.82,）,由此可得,（,3.83,）,至此，我們求出了,RPY,的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。,3.6,球坐標(biāo)變換的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解,（,Inverse solution of,Spherical Coordinates,）,前節(jié)介紹的球坐標(biāo)變換的表達(dá)式如下,T=Sph(,)=Rot(,z,)Rot(,y,)Trans(0,0,),（,3.84,）,用,Rot,1,(,z,),左乘上式得到,Rot,1,(,z,)T=Rot(,y,)Trans(0,0,),（,3.85,）,將上列矩陣方程的第,4,列元素寫(xiě)出有,（,3.86,）,由上式第,2,行元素相等有,（,3.87,）,由式（,3.87,）可得到,（,3.88,）,或,（,3.89,）,由式（,3.86,）第,1,行和第,3,行元素相等有,（,3.90,）,（,3.91,）,由此可得,（,3.92,）,為了獲得平移量,，我們用,Rot,1,(,y,),左