自由度系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)

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1、,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第

2、四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第二章 單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng),2.1.1

3、,振動(dòng)微分方程,2.1.2,受迫振動(dòng)的振幅,B,、相位差的討論,2.1.3,受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系,2.1.4,受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系,2.1.5,等效粘性阻尼,2.1.6,簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段,受迫振動(dòng),激勵(lì)形式,系統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)。,外界激勵(lì)一般為時(shí)間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。,簡諧激勵(lì)是最簡單的激勵(lì)。一般的周期性激勵(lì)可以通過傅里葉級數(shù)展開成簡諧激勵(lì)的疊加。,有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程,微分方程全解：齊次方程的解加非齊次方程的特解,齊次,解,:,x,1,(,t,),特解,:,x,2,(,t,),有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全

4、解,2.1.1,振動(dòng)微分方程,2.1.1,振動(dòng)微分方程,簡諧激振力,以平衡位置,O,為坐標(biāo)原點(diǎn)，,x,軸鉛直向下為正，物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為,具有粘性阻尼的單自由度受迫振動(dòng)微分方程,，是二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。,有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解,x,2,(,t,)-,有阻尼系統(tǒng)簡諧激勵(lì)響應(yīng)中的特解是指不隨時(shí)間衰減的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：,2.1.1,振動(dòng)微分方程,它與激勵(lì)同頻，但有一個(gè)相位差,簡諧激勵(lì)下的全解、瞬態(tài)振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng),可見，對于工程實(shí)際來說，更關(guān)心的是,穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，因?yàn)樗矐B(tài)振動(dòng)只在振動(dòng)開始后的一段時(shí)間內(nèi)才有意義,。,By substituting the particular so

5、lution to be determined into the differential equation of motion We arrive at Using the trigonometric relations,Equating the coefficients of and on,both sides of the resulting equation,we obtain,Solution of the above equation gives the,amplitude and phase angle of the steady,state response of the da

6、mped mass-spring,system under harmonic excitation:,穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅與滯后相位差均與初始條件無關(guān)，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵(lì)的特性。,2.1.1,振動(dòng)微分方程,2.1.2,受迫振動(dòng)的振幅,B,、相位差 的討論,在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng),1,的區(qū)域,(,高頻區(qū)或慣性控制區(qū),),，,，,，響應(yīng)與激勵(lì)反相；阻尼影響也不大。,3,、,1,的附近區(qū)域,(,共振區(qū),),，,急劇增大并在,1,略為,偏左處有峰值。通常將,1,，即,p,n,稱為共振頻率。,阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭，峰值越大。,4,、,在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小，,1,時(shí)，總有，

7、,/2 ,這也是共振的重要現(xiàn)象。,2.1.2,受迫振動(dòng)的振幅,B,、相位差 的討論,5,品質(zhì)因子與半功率帶寬,共振,(,仍按 考慮,),時(shí)的放大因子稱為品質(zhì),因子。由前面的公式得,品質(zhì)因子與半功率帶寬,在,1,兩側(cè)，,幅頻特性曲線可以近似地看成是對,稱的。放大因子為 的兩個(gè)點(diǎn)稱為半功率點(diǎn)。,對應(yīng)于這兩個(gè)點(diǎn)的激勵(lì)頻率分別為 和 ，它們,的差 稱為半功率帶寬。利用放大因子,的表達(dá)式，可以求得兩個(gè)半功率點(diǎn)對應(yīng)的頻率,比，即外激勵(lì)頻率，注意到 可得,品質(zhì)因子反映了系統(tǒng)阻尼的強(qiáng)弱和共振峰的陡峭程度。利用上式，可以根據(jù)試驗(yàn)估算品質(zhì)因子或阻尼比。,例題,.,質(zhì)量為,M,的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡

8、，產(chǎn)生偏心，偏心距為,e,，偏心質(zhì)量為,m,。轉(zhuǎn)子以勻角速,w,轉(zhuǎn)動(dòng)如圖示，試求電機(jī)的運(yùn)動(dòng)。彈性基礎(chǔ)的作用相當(dāng)于彈簧常量為,k,的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為,c,。,解：,取電機(jī)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),O,，,x,軸鉛直向下為正。作用在電機(jī)上的力有重力,Mg,、彈性力,F,、阻尼力,F,R,、虛加的慣性力,F,Ie,、,F,Ir,，受力圖如圖所示,。,轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng),根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有,=,h,轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng),電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為,當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率,p,n,時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。,阻尼

9、比,z,較小時(shí)，在,l,=1,附近，,b,值急劇增大，發(fā)生共振。,由于激振力的幅值,me,2,與,2,成正比。,當(dāng),0,時(shí)，,0,，,B,0,；當(dāng),1,時(shí)，,1,，,B,b,，即電機(jī)的角速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅趨近于 。,幅頻特性曲線和相頻特性曲線,轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng),簡諧力和轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)的比較,The form of this equation is identical to that of Eq.,where,z,replaces,x,and replaces .,the differential equation of motion is,Ma

10、king the substitution,Eq.becomes,where,y=Y,has been assumed for the motion of the base.,Thus the solution can be immediately written as,Response of a damped system under the harmonic motion of the base,If the absolute motion,x,of the mass is desired,we can solve for,x=z+y,.Using the exponential form

11、 of harmonic motion gives,Substituting into Eq.,we obtain,and,Response of a damped system under the harmonic motion of the base,The steady-state amplitude and phase from this equation are,and,Response of a damped system under the harmonic motion of the base,Response of a damped S.D.O.F.system under

12、the harmonic motion of the base,Stop here after 100 minutes,幅頻特性曲線和相頻特性曲線,也可以不按相對運(yùn)動(dòng)求解（見鄭兆昌,機(jī)械振動(dòng),），而直接求解質(zhì)量塊的絕對運(yùn)動(dòng)。此時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程為,即相當(dāng)于質(zhì)量塊受到了兩個(gè)簡諧激勵(lì)的作用。不,論是利用三角函數(shù)關(guān)系還是利用復(fù)指數(shù)函數(shù)，所,得結(jié)果與上述結(jié)果相同。,受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系,已知簡諧激振力,穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的響應(yīng)為,現(xiàn)將各力分別用,B,、,的旋轉(zhuǎn)矢量表示。,應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，將,彈簧質(zhì)量系統(tǒng),寫成,式不僅反映了各力間的相位關(guān)系，而且表示著一個(gè)力多邊形。,慣性力,阻尼力,彈性力,激振力,（,a

13、,）力多邊形,(b),z,1,(c),z,=1,(d),z,1,受迫振動(dòng)系統(tǒng)力矢量的關(guān)系,受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系,從能量的觀點(diǎn)分析，振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的實(shí)現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結(jié)果。現(xiàn)將討論簡諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系。,受迫振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,周期,1.,激振力,在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差 ，激振力在一周期內(nèi)做功為 ，做功最多。,對于無阻尼系統(tǒng),(,除共振情況外,),相位差 。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。,或,2.,粘性阻尼力 做的功,上式表明，在一個(gè)周期內(nèi)，阻尼做負(fù)功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負(fù)功和振幅,B,的平方成正比

14、。由于受迫振動(dòng)在共振區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動(dòng)的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實(shí)現(xiàn)的。,受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系,3.,彈性力 做的功,能量曲線,表明彈性力在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)做功之和為零。,在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量,受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系,簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段,系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵(lì)響應(yīng)是瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加。,先考慮在給定初始條件下無阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵(lì)的響應(yīng),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件寫在一起為,通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和,即,根據(jù)初始條件確定,C,1,、,C,2,。于是得到全解為,其特點(diǎn)是振動(dòng)

15、頻率為系統(tǒng)的固有頻率,但振幅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)及激勵(lì)因素都有關(guān)。,無激勵(lì)時(shí)的自由振動(dòng),系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng),對于存在阻尼的實(shí)際系統(tǒng),自由振動(dòng)和自由伴隨振動(dòng)的振幅都將隨時(shí)間逐漸衰減,因此它們都是瞬態(tài)響應(yīng)。,穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng),伴隨激勵(lì)而產(chǎn)生自由振動(dòng),稱為,自由伴隨振動(dòng),簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段,共振時(shí)的情況,假設(shè)初始條件為,由共振的定義,時(shí)上式是 型,利用洛必達(dá)法則算出共振時(shí)的響應(yīng)為,簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段,可見,當(dāng)時(shí),無阻尼系統(tǒng)的振幅隨時(shí)間無限增大,.,經(jīng)過短暫時(shí)間后,共振響應(yīng)可以表示為,此即共振時(shí)的受迫振動(dòng),.,反映出共振時(shí)的位移在相位上比激振力滯后,且振幅與時(shí)間成正比地增大,簡諧

16、激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段,圖 共振時(shí)的受迫振動(dòng),有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵(lì)的響應(yīng),.,在給定初始條件下的運(yùn)動(dòng)微分方程為,全解為,式中,簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段,如果初始位移與初始速度都為零，則成為,可見過渡階段的響應(yīng)仍含有自由伴隨振動(dòng)。,簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段,過渡階段的響應(yīng),在簡諧激勵(lì)的作用下，有阻尼系統(tǒng)的,總響應(yīng)由三部分組成,無激勵(lì)時(shí)自由振動(dòng)的初始條件響應(yīng)，其振幅與激勵(lì)無關(guān)。,伴隨激勵(lì)而產(chǎn)生的自由振動(dòng)自由伴隨振動(dòng)，其振幅不僅與系統(tǒng)特性有關(guān)，而且與激勵(lì)有關(guān)。,以激勵(lì)頻率作簡諧振動(dòng)，其振幅不隨時(shí)間衰減穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。,第一部分和第二部分振動(dòng)的頻率都是自由振動(dòng)頻率,p,d,；,由于阻尼的作用，這兩部分的振幅都時(shí)間而衰減。,簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段,若系統(tǒng)無阻尼，即使在零初始條件下，也存在自,由伴隨振動(dòng)項(xiàng)，并且由于無阻尼，因而振動(dòng)不會隨,時(shí)間衰減。,因此，無阻尼系統(tǒng)受簡諧激勵(lì)產(chǎn)生的受迫振動(dòng)，,一般總是,p,n,和 兩個(gè)不同頻率簡諧振動(dòng)的疊加。,簡諧激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)的過渡階段,2.1.6,阻尼理論,在工程實(shí)際中，系統(tǒng)的阻尼大多是非粘性阻尼。為了便,于振動(dòng)分析