《二次函數的圖象》典型例題1

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1、 《二次函數y=ax^2+bx+c的圖象》典型例題 例1 已知二次函數，當x＝4時有最小值-3，且它的圖象與x軸交點的橫坐標為1，求此二次函數解析式。 例2 如果以y軸為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖13-25所示，那么代數式b+c-a與零的關系是（ ） A．b+c-a=0； B．b+c-a＞0； C．b+c-a＜0； D．不能確定。 例3 二次函數y=ax2+bx+c與一次函數y=ax+c在同一坐標系中的圖象大致是（ ） 例4 如果拋物線y=-x2+2(m-1)x+m+1與x軸交于A、B兩點，且A點

2、在x軸的正半軸上，B點在x軸的負半軸上，OA的長是a，OB的長是b。 (1)求m的取值范圍； (2)若a∶b=3∶1，求m的值，并寫出此時拋物線的解析式； (3)設(2)中的拋物線與y軸交于點C，拋物線的頂點是M，問：拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積等于△BCM面積的8倍？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由。 例5 已知二次函數的圖像與x軸相交于點，頂點B的縱坐標是－3. （1）求此二次函數的解析式； （2）若一次函數的圖像與x的軸相交于，且經過此二次函數的圖像的頂點B，當時， （?。┣蟮娜≈捣秶?； （ⅱ）求（O為坐標原點）面積的最小值與最大值. 例6

3、 求函數解析式的題目 (1) 已知二次函數的圖像經過點（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求這個二次函數的解析式. (2) 已知拋物線的頂點為，與軸交點為，求此拋物線的解析式. (3) 已知拋物線與軸交于，，并經過點，求拋物線的解析式. 參考答案 例1 分析：因為二次函數當x=4時有最小值-3，所以頂點坐標為(4，-3)，對稱軸為x=4，拋物線開口向上．圖象與x軸交點的橫坐標為1，即拋物線過(1，0)點．又根據對稱性，圖象與x軸另一個交點的坐標為(7，0)有下面的草圖： 解：此題可用以下四種方法求出解析式。 　　方法一：因為拋物線的對稱軸是x＝4，拋物線與ｘ軸的一個

4、交點為（1，0），由對稱性可知另一點為（7，0），同例1，拋物線y=ax2＋bx＋c通過(4，-3)、(1，0)、(7，0)三點，由此列出一個含a、b、c的三元一次方程組，可解出a、b、c來。 　　方法二：由于二次函數當x=4時有最小值-3，又拋物線通過(1，0)點，所以 　　 　　由上面的方程組解出a、b、c。 　　方法三：由于拋物線的頂點坐標已知，可以設二次函數式為y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一個待定系數a，再利用拋物線通過(1，0)或通過（7，0）求出a來. 即得出. 所求二次函數解析式為 　　方法四：由于拋物線與x軸的兩個

5、交點的橫坐標分別為x1=1，x2=7．可以采用雙根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系數a，再把頂點(4,-3)代入上式得:所求二次函數解析式為. 例2 解： 從圖13-25上看出拋物線開口向下，所以a＜0．當x=0時，y的值為正，所以c＞0．又因為拋物線以y軸為對稱軸，所以b=0。 綜上分析知b+c-a＞0，應選B。 注意：這個題考察了二次函數中三個系數a、b、c的含義，二次項系數a決定拋物線開口方向，c為拋物線在y軸上的截距即拋物線與y軸交點的縱坐標，拋物線的對稱軸方程為，要根據圖象具體分析才能得出正確結論。 例3

6、 解：圖象大致是D。 分析： 這一類題是考察數學邏輯推理能力．題目中a，b，c均是變量，字母多不知從何下手考慮．考慮問題應該是有層次的，首先抓住兩個函數共性的東西，如兩個圖象的交點中有一個是(0，c)，也就是說兩個圖象的交點中有一個應在y軸上，從而否定了A．和B．，且c＞0．其次考慮完字母c后，再考慮a的取值．若a＞0，則直線y=ax+c與x軸交點應在原點左邊，這樣否定了C．；再檢驗D．，從二次函數圖象知a＜0，且c＞0，直線y=ax+c與x軸交點應在原點右邊，所以D．是正確的．考慮變量的取值范圍要先考慮第一個再考慮第二個、第三個有次序地進行，切忌無頭緒地亂猜，思維混亂。 例4 解：(1

7、)設A、B兩點的坐標分別為(x1，0)，(x2，0)．因為A、B兩點在原點的兩側，所以x1x2＜0，即-(m+1)＜0。 當m＞-1時，Δ＞0，所以m的取值范圍是m＞-1。 (2)因為a∶b=3∶1，設a=3k，b=k(k＞0)，則x1=3k，x2=-k，所以 所以m=2。 所以拋物線的解析式是y=-x2+2x+3。 (3)易求拋物線y=-x2+2x+3與x軸的兩個交點坐標是A(3，0)，B(-1，0)；拋物線與y軸交點坐標是C(0，3)；頂點坐標是M(1，4)．設直線BM的解析式為 y=px+q， 所以直線BM的解析式是y=2x+2．設直線BM與y軸交于N，

8、則N點坐標是(0，2)．所以 設P點坐標是(x，y)，因為S△ABP=8S△BCM．所以 所以｜y｜=4，由此得y=4。 當y=4時，P點與M點重合，即P(1，4)； 所以滿足條件的P點存在。 注意：這一類題是探索性的，需要獨立思考，前兩問是為第三問作鋪墊的，都是常規(guī)的思路不太難．第三問是假設條件成立可導出什么結果，在求△BCM的面積時要用分割法，因為△BCM是任意三角形，它的面積不好求，而△BCN和△CMN的面積都好求，底都為CN=1，高都是1．S△BCM=S△BCN+S△CMN這樣就化難為易了．方程-x2+2x+3=4有解則P點存在，如果方程無解則P點不存在，探索

9、性題的思路都是這樣的。 例5 分析：（1）由已知條件可知，拋物線的頂點坐標是（3，－3），所以可設出拋物線的頂點式，再把已知點的坐標代入解析式，即可求得。（2）因為當取最小值時，也取最小值；當取最大值時，也取最大值。所以把的最大值和最小值代入直線的解析式，即可求出的取值范圍。 解：（1）∵二次函數的圖像經過原點O（0，0）與點A（6，0），∴它的對稱軸是. ∴它的頂點B的坐標是（3，－3）. 設此二次函數為，把（6，0）代入解析式得，∴，故所求二次函數的解析式為 . （2）（ⅰ）令得直線的解析式為，把（3，－3）代入得，故直線的解析式為. 令，得. 令得直線的解析式為，把

10、（3，－3）代入得，故直線的解析式為，令，則得. 故的取值范圍是. （ⅱ）∵的OD邊上的高（即B點的縱坐標的絕對值）為定值3，故OD最小，則面積最小，OD最大，則面積最大. ∵OD最小為1，最大為2， 故的面積最小是，最大為3. 例6 （1）解：設二次函數的解析式為………① 將（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）分別代入①，得 解得 所以二次函數的解析式為 （2）解：因為拋物線的頂點為， 設其解析式為……① 將代入①得，， 所求拋物線的解析式為 即 （3）解：因為點，是拋物線與軸的交點， 所以設拋物線的解析式為………① 將代入①，得， 所求拋物線解析式為 即 說明：此三題考查用待定系數法求拋物線的解析式，關鍵是根據已知條件選擇正確解析式的三種形式，將給我們做題帶來很大的方便.(1)中給出拋物線上任意三點，所以選擇一般式；(2)中給出頂點，所以選擇頂點式；(3) 中給出與軸的兩個交點，所以選擇兩根式. 7 / 7