“牛頓—萊布尼茨公式及其證明”基于微視頻的教學(xué)設(shè)計(jì)

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1、“牛頓—萊布尼茨公式及其證明〞基于微視頻的教學(xué)設(shè)計(jì) 摘要】隨著教育技術(shù)及互聯(lián)網(wǎng)的迅猛開展，微課、幕課、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)模式越來越受到學(xué)生和老師的歡迎，這些新興的教學(xué)手段都充分利用了視頻教學(xué)資源，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如何利用好視頻教學(xué)資料來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，到達(dá)更好的教學(xué)效果就是一個(gè)值得研究的問題.本文以高等數(shù)學(xué)中的“牛頓-萊布尼茨公式及其證明〞這一節(jié)來展示利用微視頻資料進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，從而更好地把抽象的證明通過圖形的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化表達(dá)出來，讓同學(xué)們更深入地理解高等數(shù)學(xué)的知識(shí)及背后的數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)效率. 【關(guān)鍵詞】教學(xué)設(shè)計(jì)；微視頻；高等數(shù)學(xué) 一、緒論 互聯(lián)網(wǎng)的快速開展特別

2、是移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的開展無(wú)時(shí)無(wú)刻不影響我們的生活方式、生活習(xí)慣、思維方式等方方面面.在教育方面，對(duì)教育理念、教學(xué)方法、教學(xué)模式等的影響巨大，由教育部教育管理信息中心、百度文庫(kù)和北京師范大學(xué)聯(lián)合發(fā)布的?2021中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)白皮書?的結(jié)果顯示，互聯(lián)網(wǎng)教育產(chǎn)品用戶主要集中在19至24歲、25至34歲兩個(gè)年齡段.19至24歲階段多是大學(xué)生，從中可以看出我們的高等教育必須適應(yīng)互聯(lián)網(wǎng)的開展和學(xué)生的行為習(xí)慣，利用互聯(lián)網(wǎng)和科技帶來的效率優(yōu)勢(shì)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率【1】. 高等數(shù)學(xué)是大學(xué)教育中的一門根底學(xué)科，是絕大多數(shù)大學(xué)生必須掌握的一門根底課，是學(xué)生綜合素質(zhì)的重要組成局部.高等數(shù)學(xué)有其固有的特點(diǎn)：高度的抽象性

3、、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性.抽象性和計(jì)算性是數(shù)學(xué)最根本、最顯著的特點(diǎn)，有了高度抽象和統(tǒng)一，我們才能深入地揭示其本質(zhì)規(guī)律，才能使之得到更廣泛的應(yīng)用.嚴(yán)密的邏輯性是指在數(shù)學(xué)理論的歸納和整理中，無(wú)論是概念的表述，還是判斷和推理，都要運(yùn)用邏輯的規(guī)那么，遵循思維的規(guī)律.所以說，數(shù)學(xué)也是一種思想方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是思維訓(xùn)練的過程【2】.因此，在教學(xué)中，如何讓學(xué)生在掌握知識(shí)和計(jì)算的過程中，更好地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，從而提高他們的綜合能力，對(duì)于高等數(shù)學(xué)的教育是一個(gè)很值得思考的問題，這需要我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)上下功夫，利用科技，特別是信息技術(shù)，把高度抽象的數(shù)學(xué)理論以比較“形象化〞的技術(shù)手段進(jìn)行展示，在此過程中把數(shù)

4、學(xué)思想和方法展示給學(xué)生.同時(shí)，注意到當(dāng)代大學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn)，他們思維活潑，但是有時(shí)思維方式比較形象化，對(duì)抽象的事物掌握規(guī)律比較困難；特別喜歡移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)，甚至一天不用 ，他們已經(jīng)不能忍受；他們對(duì)新鮮的事物抱有足夠的好奇. 綜合學(xué)情和已有的技術(shù)儲(chǔ)藏，利用微課和翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)理念和模式，我們可以在某種程度上利用信息技術(shù)合理設(shè)計(jì)教學(xué)視頻，把高等數(shù)學(xué)教學(xué)中抽象概念包含的數(shù)序思想更好地展示出來，從而提高學(xué)生們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的動(dòng)力. 我們以高等數(shù)學(xué)中“牛頓-萊布尼茨公式及其證明〞這一小節(jié)以微視頻來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)動(dòng)態(tài)的微積分的定義、變上限積分的定義、牛頓-萊布尼茨公式的證明.

5、從中體會(huì)“以直代曲〞的線性化方法、數(shù)形結(jié)合方法.進(jìn)而更好地理解不定積分和定積分之間的聯(lián)系. 二、基于微視頻的教學(xué)設(shè)計(jì) 微視頻通常值指的是時(shí)長(zhǎng)不超過20分鐘的視頻短片，特別適合在移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)上播放和傳播.本小節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)要利用MATLAB計(jì)算軟件、幾何畫板軟件來制作微視頻.具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下： 牛頓-萊布尼茨公式及其證明教學(xué)設(shè)計(jì)方案 使用的教材為同濟(jì)的?高等數(shù)學(xué)?上冊(cè)，第六版. 一、教材的地位與作用 牛頓-萊布尼茨公式不僅為定積分計(jì)算提供一個(gè)有效地方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系起來，是微積分學(xué)中最重要的公式. 二、學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)分析 在牛頓-萊布尼茨公式學(xué)習(xí)以前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)

6、了導(dǎo)數(shù)、微分、原函數(shù)、不定積分、定積分的概念和性質(zhì)的相關(guān)知識(shí). 二、教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能：熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的能力，體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系. 方法：根據(jù)大學(xué)生的心理素質(zhì)，利用啟發(fā)式教學(xué)，始終從問題出發(fā)，層層設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生在不斷思考中獲取知識(shí). 3.情感與態(tài)度：提高觀察、分析、抽象、概括的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)解決問題的方法和過程，進(jìn)一步滲透類比、轉(zhuǎn)化的思維方法，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣. 三、教學(xué)重點(diǎn) 掌握牛頓-萊布尼茨公式. 四、教學(xué)難點(diǎn) 理解牛頓-萊布尼茨公式的證明過程，體會(huì)其背后的數(shù)學(xué)思想和方法. 五、教學(xué)過程 1.復(fù)習(xí)舊知識(shí)，以微積分的定義的動(dòng)態(tài)視

7、頻展示引入課題——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境. 首先，利用Matlab軟件設(shè)計(jì)一個(gè)程序完成對(duì)定積分定義的動(dòng)態(tài)展示，即定積分中的分割-近似求和-取極限的過程動(dòng)態(tài)地展示出來.以在區(qū)間[0，1]上的定積分為例，把每一次分割所對(duì)應(yīng)的所有的小矩形的圖形通過Matlab畫出來，然后拼接成動(dòng)畫，做成視頻【3】.實(shí)現(xiàn)上述過程，中間過程的一個(gè)靜態(tài)展示如下： 隨著分割的加細(xì)，所有小矩形的圖形逐漸穩(wěn)定，即它們的面積和趨向穩(wěn)定，這個(gè)極限值就是在區(qū)間[0，1]上的定積分. 定積分定義的動(dòng)態(tài)視頻展示，可以讓學(xué)生更好地理解定積分的思想.同時(shí)，體會(huì)到按照定義來求解定積分是不容易的，即使是非常簡(jiǎn)單的函數(shù).從而引出牛頓-來不尼茨公式——高效

8、的計(jì)算定積分的方法，且使得定積分成為一種科學(xué)的方法. 猜測(cè)——驗(yàn)證猜測(cè) 我們要利用數(shù)學(xué)常用的解決問題的方法：猜測(cè)結(jié)論——驗(yàn)證結(jié)論，得到一般的規(guī)律【4】.利用這種方式給出牛頓萊布尼茨公式. 通過上述視頻的動(dòng)態(tài)演示，當(dāng)把[0，1]區(qū)間分割成500份，最終的圖形如下： 如何證明該猜測(cè)是一個(gè)難點(diǎn)，我們采用數(shù)形結(jié)合，并利用幾何畫板把它用微視頻的方式展示出來，同時(shí)也把變上限積分的幾何意義展示出來.具體做法如下： 初始畫面如下，揭示定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積.從而只需證明陰影局部的面積和紅色線段長(zhǎng)度相等. 如下圖. 如下圖. 比較圖像的位置關(guān)系，我們可以得到陰影局部的面積在區(qū)間上的增量

9、等于線段長(zhǎng)度在區(qū)間上的增量.通過移動(dòng)曲線即可得到，移動(dòng)的過程的一個(gè)靜態(tài)展示如下圖. 3.得到定理——總結(jié)反思，提煉精華 完成定理證明后，加以練習(xí)，并對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行總結(jié)，讓同學(xué)們體會(huì)： 〔1〕定積分的定義 分割-近似求和-取極限的思想，以及以直代曲思想. 〔2〕數(shù)學(xué)解決問題的一般途徑 合理的猜測(cè)后進(jìn)行嚴(yán)格的論證從而得到一般的規(guī)律是數(shù)學(xué)解決問題的常用方法.清晰的直覺和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐瑯又匾? 〔3〕數(shù)形結(jié)合的思想 定積分的幾何意義和變上限積分函數(shù)的圖形展示. 〔4〕不定積分和定積分之間的關(guān)系：牛頓-萊布尼茨公式給出了求函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)原函數(shù)的

10、問題，這就使得作為積分和數(shù)列的極限的定積分與作為微分逆運(yùn)算的不定積分緊密地聯(lián)系在一起，正是這樣的聯(lián)系才使得微積分有非常廣泛的理論和應(yīng)用價(jià)值【4】. 六、教學(xué)方式 采用學(xué)生事先預(yù)習(xí)，課堂上與學(xué)生共同討論的方式來進(jìn)行教學(xué)，多媒體、板書等相結(jié)合. 三、總結(jié) 隨著互聯(lián)網(wǎng)開放教育的深入開展，年青一代學(xué)生對(duì)互聯(lián)網(wǎng)的依賴及他們的行為方式的改變，我們需要利用各種信息技術(shù)把數(shù)學(xué)中的概念形象地展示出來.專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件和課件制作軟件是我們必須靈活利用的，如Matlab、幾何畫板等.并制作成視頻，放在網(wǎng)上或者發(fā)給學(xué)生，充分利用微視頻的優(yōu)點(diǎn)和學(xué)生的行為習(xí)慣，幫助學(xué)生自學(xué)、預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)，提高他們的學(xué)習(xí)效率，讓他們感

11、覺到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是輕松的，且有成就感.從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力. 比較方法，有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合數(shù)學(xué)修養(yǎng). 【參考文獻(xiàn)】 【1】楊經(jīng)曉，互聯(lián)網(wǎng)數(shù)學(xué)開放教育開展近況[J].數(shù)學(xué)文化，2021，4〔1〕：61-68. 【2】 ：//baike.baidu /linkurl=8X4aDMNjbXID3rZTQau2RhpS9U3cp2UN_wI8dquy4yuhKVa1Sa8zUm_c7baoyo2aKoIJcnCJ_u2yDFF7fqrZV0Oa4CrTrh0qhLbbdXpneta. 【3】王正林，龔純，何倩.精通MATLAB科學(xué)計(jì)算[M].北京：電子工業(yè)出版社，2021. 【4】孫炯.?數(shù)學(xué)分析選講?公開課. ：// icourses /viewVCourse.action？courseCode=10126V001.