“牛頓—萊布尼茨公式及其證明”基于微視頻的教學(xué)設(shè)計(jì)

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1、“牛頓—萊布尼茨公式及其證明〞基于微視頻的教學(xué)設(shè)計(jì) 摘要】隨著教育技術(shù)及互聯(lián)網(wǎng)的迅猛開展,微課、幕課、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)模式越來越受到學(xué)生和老師的歡迎,這些新興的教學(xué)手段都充分利用了視頻教學(xué)資源,在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如何利用好視頻教學(xué)資料來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),到達(dá)更好的教學(xué)效果就是一個(gè)值得研究的問題.本文以高等數(shù)學(xué)中的“牛頓-萊布尼茨公式及其證明〞這一節(jié)來展示利用微視頻資料進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),從而更好地把抽象的證明通過圖形的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化表達(dá)出來,讓同學(xué)們更深入地理解高等數(shù)學(xué)的知識(shí)及背后的數(shù)學(xué)思想,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣,提高學(xué)習(xí)效率. 【關(guān)鍵詞】教學(xué)設(shè)計(jì);微視頻;高等數(shù)學(xué) 一、緒論 互聯(lián)網(wǎng)的快速開展特別

2、是移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的開展無時(shí)無刻不影響我們的生活方式、生活習(xí)慣、思維方式等方方面面.在教育方面,對(duì)教育理念、教學(xué)方法、教學(xué)模式等的影響巨大,由教育部教育管理信息中心、百度文庫和北京師范大學(xué)聯(lián)合發(fā)布的?2021中國互聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)白皮書?的結(jié)果顯示,互聯(lián)網(wǎng)教育產(chǎn)品用戶主要集中在19至24歲、25至34歲兩個(gè)年齡段.19至24歲階段多是大學(xué)生,從中可以看出我們的高等教育必須適應(yīng)互聯(lián)網(wǎng)的開展和學(xué)生的行為習(xí)慣,利用互聯(lián)網(wǎng)和科技帶來的效率優(yōu)勢,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率【1】. 高等數(shù)學(xué)是大學(xué)教育中的一門根底學(xué)科,是絕大多數(shù)大學(xué)生必須掌握的一門根底課,是學(xué)生綜合素質(zhì)的重要組成局部.高等數(shù)學(xué)有其固有的特點(diǎn):高度的抽象性

3、、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性.抽象性和計(jì)算性是數(shù)學(xué)最根本、最顯著的特點(diǎn),有了高度抽象和統(tǒng)一,我們才能深入地揭示其本質(zhì)規(guī)律,才能使之得到更廣泛的應(yīng)用.嚴(yán)密的邏輯性是指在數(shù)學(xué)理論的歸納和整理中,無論是概念的表述,還是判斷和推理,都要運(yùn)用邏輯的規(guī)那么,遵循思維的規(guī)律.所以說,數(shù)學(xué)也是一種思想方法,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是思維訓(xùn)練的過程【2】.因此,在教學(xué)中,如何讓學(xué)生在掌握知識(shí)和計(jì)算的過程中,更好地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法,從而提高他們的綜合能力,對(duì)于高等數(shù)學(xué)的教育是一個(gè)很值得思考的問題,這需要我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)上下功夫,利用科技,特別是信息技術(shù),把高度抽象的數(shù)學(xué)理論以比較“形象化〞的技術(shù)手段進(jìn)行展示,在此過程中把數(shù)

4、學(xué)思想和方法展示給學(xué)生.同時(shí),注意到當(dāng)代大學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn),他們思維活潑,但是有時(shí)思維方式比較形象化,對(duì)抽象的事物掌握規(guī)律比較困難;特別喜歡移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng),甚至一天不用 ,他們已經(jīng)不能忍受;他們對(duì)新鮮的事物抱有足夠的好奇. 綜合學(xué)情和已有的技術(shù)儲(chǔ)藏,利用微課和翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)理念和模式,我們可以在某種程度上利用信息技術(shù)合理設(shè)計(jì)教學(xué)視頻,把高等數(shù)學(xué)教學(xué)中抽象概念包含的數(shù)序思想更好地展示出來,從而提高學(xué)生們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣,激發(fā)他們學(xué)習(xí)的動(dòng)力. 我們以高等數(shù)學(xué)中“牛頓-萊布尼茨公式及其證明〞這一小節(jié)以微視頻來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),讓學(xué)生體會(huì)動(dòng)態(tài)的微積分的定義、變上限積分的定義、牛頓-萊布尼茨公式的證明.

5、從中體會(huì)“以直代曲〞的線性化方法、數(shù)形結(jié)合方法.進(jìn)而更好地理解不定積分和定積分之間的聯(lián)系. 二、基于微視頻的教學(xué)設(shè)計(jì) 微視頻通常值指的是時(shí)長不超過20分鐘的視頻短片,特別適合在移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)上播放和傳播.本小節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)要利用MATLAB計(jì)算軟件、幾何畫板軟件來制作微視頻.具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下: 牛頓-萊布尼茨公式及其證明教學(xué)設(shè)計(jì)方案 使用的教材為同濟(jì)的?高等數(shù)學(xué)?上冊(cè),第六版. 一、教材的地位與作用 牛頓-萊布尼茨公式不僅為定積分計(jì)算提供一個(gè)有效地方法,而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系起來,是微積分學(xué)中最重要的公式. 二、學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)分析 在牛頓-萊布尼茨公式學(xué)習(xí)以前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)

6、了導(dǎo)數(shù)、微分、原函數(shù)、不定積分、定積分的概念和性質(zhì)的相關(guān)知識(shí). 二、教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能:熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的能力,體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系. 方法:根據(jù)大學(xué)生的心理素質(zhì),利用啟發(fā)式教學(xué),始終從問題出發(fā),層層設(shè)疑,引導(dǎo)學(xué)生在不斷思考中獲取知識(shí). 3.情感與態(tài)度:提高觀察、分析、抽象、概括的能力,體會(huì)數(shù)學(xué)解決問題的方法和過程,進(jìn)一步滲透類比、轉(zhuǎn)化的思維方法,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣. 三、教學(xué)重點(diǎn) 掌握牛頓-萊布尼茨公式. 四、教學(xué)難點(diǎn) 理解牛頓-萊布尼茨公式的證明過程,體會(huì)其背后的數(shù)學(xué)思想和方法. 五、教學(xué)過程 1.復(fù)習(xí)舊知識(shí),以微積分的定義的動(dòng)態(tài)視

7、頻展示引入課題——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境. 首先,利用Matlab軟件設(shè)計(jì)一個(gè)程序完成對(duì)定積分定義的動(dòng)態(tài)展示,即定積分中的分割-近似求和-取極限的過程動(dòng)態(tài)地展示出來.以在區(qū)間[0,1]上的定積分為例,把每一次分割所對(duì)應(yīng)的所有的小矩形的圖形通過Matlab畫出來,然后拼接成動(dòng)畫,做成視頻【3】.實(shí)現(xiàn)上述過程,中間過程的一個(gè)靜態(tài)展示如下: 隨著分割的加細(xì),所有小矩形的圖形逐漸穩(wěn)定,即它們的面積和趨向穩(wěn)定,這個(gè)極限值就是在區(qū)間[0,1]上的定積分. 定積分定義的動(dòng)態(tài)視頻展示,可以讓學(xué)生更好地理解定積分的思想.同時(shí),體會(huì)到按照定義來求解定積分是不容易的,即使是非常簡單的函數(shù).從而引出牛頓-來不尼茨公式——高效

8、的計(jì)算定積分的方法,且使得定積分成為一種科學(xué)的方法. 猜測——驗(yàn)證猜測 我們要利用數(shù)學(xué)常用的解決問題的方法:猜測結(jié)論——驗(yàn)證結(jié)論,得到一般的規(guī)律【4】.利用這種方式給出牛頓萊布尼茨公式. 通過上述視頻的動(dòng)態(tài)演示,當(dāng)把[0,1]區(qū)間分割成500份,最終的圖形如下: 如何證明該猜測是一個(gè)難點(diǎn),我們采用數(shù)形結(jié)合,并利用幾何畫板把它用微視頻的方式展示出來,同時(shí)也把變上限積分的幾何意義展示出來.具體做法如下: 初始畫面如下,揭示定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積.從而只需證明陰影局部的面積和紅色線段長度相等. 如下圖. 如下圖. 比較圖像的位置關(guān)系,我們可以得到陰影局部的面積在區(qū)間上的增量

9、等于線段長度在區(qū)間上的增量.通過移動(dòng)曲線即可得到,移動(dòng)的過程的一個(gè)靜態(tài)展示如下圖. 3.得到定理——總結(jié)反思,提煉精華 完成定理證明后,加以練習(xí),并對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行總結(jié),讓同學(xué)們體會(huì): 〔1〕定積分的定義 分割-近似求和-取極限的思想,以及以直代曲思想. 〔2〕數(shù)學(xué)解決問題的一般途徑 合理的猜測后進(jìn)行嚴(yán)格的論證從而得到一般的規(guī)律是數(shù)學(xué)解決問題的常用方法.清晰的直覺和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐瑯又匾? 〔3〕數(shù)形結(jié)合的思想 定積分的幾何意義和變上限積分函數(shù)的圖形展示. 〔4〕不定積分和定積分之間的關(guān)系:牛頓-萊布尼茨公式給出了求函數(shù)定積分的一般方法,把求定積分的問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)原函數(shù)的

10、問題,這就使得作為積分和數(shù)列的極限的定積分與作為微分逆運(yùn)算的不定積分緊密地聯(lián)系在一起,正是這樣的聯(lián)系才使得微積分有非常廣泛的理論和應(yīng)用價(jià)值【4】. 六、教學(xué)方式 采用學(xué)生事先預(yù)習(xí),課堂上與學(xué)生共同討論的方式來進(jìn)行教學(xué),多媒體、板書等相結(jié)合. 三、總結(jié) 隨著互聯(lián)網(wǎng)開放教育的深入開展,年青一代學(xué)生對(duì)互聯(lián)網(wǎng)的依賴及他們的行為方式的改變,我們需要利用各種信息技術(shù)把數(shù)學(xué)中的概念形象地展示出來.專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件和課件制作軟件是我們必須靈活利用的,如Matlab、幾何畫板等.并制作成視頻,放在網(wǎng)上或者發(fā)給學(xué)生,充分利用微視頻的優(yōu)點(diǎn)和學(xué)生的行為習(xí)慣,幫助學(xué)生自學(xué)、預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí),提高他們的學(xué)習(xí)效率,讓他們感

11、覺到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是輕松的,且有成就感.從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力. 比較方法,有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合數(shù)學(xué)修養(yǎng). 【參考文獻(xiàn)】 【1】楊經(jīng)曉,互聯(lián)網(wǎng)數(shù)學(xué)開放教育開展近況[J].數(shù)學(xué)文化,2021,4〔1〕:61-68. 【2】 ://baike.baidu /linkurl=8X4aDMNjbXID3rZTQau2RhpS9U3cp2UN_wI8dquy4yuhKVa1Sa8zUm_c7baoyo2aKoIJcnCJ_u2yDFF7fqrZV0Oa4CrTrh0qhLbbdXpneta. 【3】王正林,龔純,何倩.精通MATLAB科學(xué)計(jì)算[M].北京:電子工業(yè)出版社,2021. 【4】孫炯.?數(shù)學(xué)分析選講?公開課. :// icourses /viewVCourse.action?courseCode=10126V001.

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