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1、
2014—2015學(xué)年漳州八校高三聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題
(考試時(shí)間:120分鐘 總分:150分)
命題人:程溪中學(xué) 許飄勇 審核人:王友祥
第Ⅰ卷(選擇題 共50分)
一、選擇題:(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的).
1.已知集合,為虛數(shù)單位,則下列選項(xiàng)正確的是( )
A. B. C. D.
2.某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是腰長為2的等腰三角形,俯視圖是半徑為1的半圓,則其側(cè)視圖的面積是( )
A. B. C.1
2、 D.
3.“mn>0”是“方程表示橢圓”的 ( )
A.必要且不充分條件 B.充分且不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.已知具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的一組數(shù)據(jù)如下:
0
1
2
3
4
2.2
4.3
4.5
4.8
6.7
且回歸方程是的預(yù)測(cè)值為( )
A.8.4 B.8.3 C.8.2 D.8.1
5. 若變量x,y滿足約束條件則的取值范圍是
A .(,7) B.[,5 ] C.[,7] D. [,7]
3、
6.某流程圖如圖所示,現(xiàn)輸入如下四個(gè)函數(shù),則可以輸出的函數(shù)是(?。?
A. B.
C. D.
7.已知等比數(shù)列{an}中,a2=1,則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為( )
A. B. C. D.
9.如圖,棱長為的正方體中,為線段上的 動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. B.平面平面
C.的最大值為 D.的最小值為
10.已知集合M=N={0,1,2,3},定義函數(shù)f:M→N
4、,且點(diǎn)A(0,f(0)), B(i,f(i)),C(i+1,f(i+1)),(其中i=1,2).若△ABC的內(nèi)切圓圓心為,且滿足,則滿足條件的有( ?。?
A.10個(gè) B.12個(gè) C.18個(gè) D. 24個(gè)
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題:(本大題共5小題,每小題4分,共20分. 把答案填在答題卷中的橫線上).
11.為了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況,隨機(jī)測(cè)量了其中100株樹木的底部周長(單位:cm).根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖(如右),那么在這100株樹木中,底部周長小于110cm的株數(shù)是
12.已知
5、
13.若等比數(shù)列{ }的首項(xiàng)為,且,則公比等于_____________;
14.已知F2、F1是雙曲線(a>0,b>0)的上、下焦點(diǎn),點(diǎn)F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在以F1為圓心,|OF1|為半徑的圓上,則雙曲線的離心率為_____________;
15. 在實(shí)數(shù)集R中,我們定義的大小關(guān)系“>”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”。類似的,我們?cè)谄矫嫦蛄考弦部梢远x一個(gè)稱“序”的關(guān)系,記為“”。定義如下:對(duì)于任意兩個(gè)向量當(dāng)且僅當(dāng)“”或“”。按上述定義的關(guān)系“”,給出如下四個(gè)命題:
①若;
②若,則;
③若,則對(duì)于任意;
④對(duì)于任意向量.
其中真命題的序號(hào)為___
6、_______
三、解答題:(本大題共6小題,共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟).
16.(本小題滿分13分)
PM2.5日均值(微克/立方米)
我國政府對(duì)PM2.5采用如下標(biāo)準(zhǔn):
PM2.5日均值m(微克/立方米)
2 8 2
3 8 2 1
4 4 5
6 3 8
7 7
空氣質(zhì)量等級(jí)
一級(jí)
二級(jí)
超標(biāo)
某市環(huán)保局從180天的市區(qū)PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取l0天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示(十位為莖,個(gè)位為葉).
(I)求這10天數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(II)從這l0天的數(shù)據(jù)中任取
7、3天的數(shù)據(jù),記表示空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù),求的分布列;
(III) 以這10天的PM2.5日均值來估計(jì)這180天的空氣質(zhì)量情況,其中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí).
17.(本小題滿分13分)
已知=(1,﹣),=(sin2x,cos2x),定義函數(shù)f(x)=.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知△ABC中,三邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,f()=0.
(i)若acosB+bcosA=csinC,求角B的大??;
(ii)記g(λ)=|+|,若||=||=3,試求g(λ)的最小值.
18.(本小題滿分13分)
如圖,是半圓的直徑,是
8、半圓上除、外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),垂直于半圓所在的平面, ∥,,,.
⑴證明:平面平面;
⑵當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),求二面角的余弦值.
19.(本小題滿分13分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0), 動(dòng)點(diǎn)C滿足條件:△ABC的周長為2+2.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)經(jīng)過點(diǎn)(0, 且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,求k的取值范圍;
(Ⅲ)已知點(diǎn)M(,0),N(0, 1),在(Ⅱ)的條件下,是否存在常數(shù)k,使得向量 與共線?如果存在,求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
20.(本小題滿分14分)
已知
9、函數(shù)
(Ⅰ)求處的切線方程;
(Ⅱ)若不等式恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)數(shù)列,數(shù)列滿足的前項(xiàng)和,求證:
21.(本小題滿分14分)本題設(shè)有(1)(2)(3)三個(gè)選考題,每題7分,請(qǐng)考生任選兩題作答,共14分.如果多做,則按所做的前兩題計(jì)分.
(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換
已知在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下,點(diǎn)A(1,0)變?yōu)锳′(1,0),點(diǎn)B(1,1)變?yōu)锽′(2,1).
(Ⅰ)求矩陣M;
(Ⅱ)求,,并猜測(cè)(只寫結(jié)果,不必證明).
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)
10、系,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).
(Ⅰ)寫出直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求直線與曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo).
(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講
已知,且,的最小值為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)解關(guān)于的不等式
.
2014—2015學(xué)年漳州八校高三聯(lián)考理科數(shù)學(xué)答題卷
(考試時(shí)間:120分鐘 總分:150分)
題號(hào)
一
二
16
17
18
19
20
21
總分
得分
一、 選擇題(每小題5分,共50分)
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
11、7
8
9
10
答案
二、填空題(每小題4分,共20分)
11、 ; 12、 ;
13、 ; 14、 。
15、 ;
三解答題:(本題共6個(gè)小題,共74分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
16.(本小題滿分13分)
17.(本小題滿分13分)
12、18.(本小題滿分13分)
20.(本小題滿分14分)
19.(本小題滿分13分)
21.(本小題滿分14)
2014—2015學(xué)年漳州八校高三聯(lián)考理科數(shù)學(xué)答案
一、選擇題:(每小題5分,滿分50分).
1-5. CBABD 6-10. ADBCC
二、填空題:(每小題4分,滿分20分).
(11). 70 (12). (13). 3 (14) 2 (15). ①②③
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
13、
16.(本小題滿分13分)
解:(I)10天的中位數(shù)為(38+44)/2=41(微克/立方米) -----------2分
(II)由 ,的可能值為0,1,2,3
利用 即得分布列:
0
1
2
3
-----------10分
(III)一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為,由~ , 得到(天) ,一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為72天------13分.
14、17.(本小題滿分13分)
18.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)證明:因?yàn)槭侵睆?,所?
因?yàn)槠矫?,所? ,
因?yàn)?,所以平?
因?yàn)椋?,所以是平行四邊形,
,所以平面
因?yàn)槠矫?,所以平面平面………………?分
(Ⅱ)依題意, ,
由(Ⅰ)知
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 …………8分
如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,
,
則,,
,
設(shè)面的法向量為,,
即,
設(shè)面的法向量為, ,
即,
可以判斷與
15、二面角的平面角互補(bǔ)
二面角的余弦值為.…………………13分
19.(本小題滿分13分)
1解(Ⅰ) 設(shè)C(x, y),
∵ , ,
∴ ,
∴ 由定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn),長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).
∴ . ∴ .
∴ W: . …………………………………………… 5分
(Ⅱ) 設(shè)直線l的方程為,代入橢圓方程,得.
整理,得. ①………………………… 7分
因?yàn)橹本€l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于
,解得或.
∴ 滿足條件的k的取值范圍為 ………… 10分
(Ⅲ)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則=(x
16、1+x2,y1+y2),
由①得. ②
又 ③
因?yàn)?,?所以.……………………… 12分
所以與共線等價(jià)于.
將②③代入上式,解得.
所以不存在常數(shù)k,使得向量與共線. ……………………13分
20.(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ) ,,切點(diǎn)是,
所以切線方程為,即. -------------3分
(Ⅱ)(法一),
當(dāng)時(shí), ,,單調(diào)遞增,
顯然當(dāng)時(shí),,不恒成立. -------------------4分
當(dāng)時(shí), ,,單調(diào)遞增,
,,單調(diào)遞減, ----------------
17、--------6分
,,
所以不等式恒成立時(shí),的取值范圍 -----------------8分
(法二)所以不等式恒成立,等價(jià)于,
令,則,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增. ----------------------6分
,.
所以不等式恒成立時(shí),的取值范圍. ---------------8分
(Ⅲ) ,,
,
, ---------------------10分
由(2)知,當(dāng)時(shí),恒成立,即,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).
,,
……
, ---------------------12分
,
18、 令,
則,
,. ---------------------14分
21. (本小題滿分14分)(1)選修4-2:矩陣與變換
解:(Ⅰ)設(shè),則,, -------------1分
∴, 解得 . -------------2分
∴. ------------------3分
(Ⅱ), -------------------4分
,
19、 -----------------6分
猜測(cè). ----------------7分
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解:(Ⅰ)∵,∴ ----------------1分
∴即所求直線的直角坐標(biāo)方程為. ----------3分
(Ⅱ)曲線的直角坐標(biāo)方程為: , ---------------4分
∴,解得或(舍去). -------------------6分
所以,直線與曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為. -----------------7分
20、(3)選修4-5:不等式選講
解:(Ⅰ)根據(jù)柯西不等式,有:,------1分
∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. ----------------2分
即. -----------------3分
(Ⅱ)可化為
或或, -----------5分
解得,或或, ----------------------6分
所以,綜上所述,原不等式的解集為. -----------------------7分
- 19 -