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1、
《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式》教學(xué)設(shè)計(jì)
主講：牛曉偉
這節(jié)課主要是根據(jù)由特殊到一般,再由一般得以證明，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式與 ,并初步進(jìn)行這些公式的三類基本應(yīng)用.
教學(xué)重點(diǎn)
公式與 的推導(dǎo)及以下三類基本應(yīng)用:
(1)已知某角的正弦、余弦、正切中的一個(gè),求其余兩個(gè)三角函數(shù).
(2)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.
(3) 證明簡(jiǎn)單的三角恒等式.
教學(xué)難點(diǎn)
(1)已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值,求它的其余各三角函數(shù)值時(shí),正負(fù)號(hào)的選擇,正確運(yùn)用平方根及象限角的概念是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵;
(2)證明恒等式是這節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn).課堂上教師應(yīng)放手讓學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題,優(yōu)化自己的解
2、題過(guò)程.
教學(xué)目標(biāo)
1. 讓學(xué)生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、探索、研究能力.
2. 理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,并能初步運(yùn)用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,邏輯推理能力.
3. 通過(guò)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的學(xué)習(xí),揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀.
任務(wù)分析
這節(jié)課的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式: 及 ,并進(jìn)行初步的應(yīng)用.無(wú)論是關(guān)系式的探索還是例、習(xí)題的解決都可以放手讓學(xué)生獨(dú)立完成,即由學(xué)生自己把要學(xué)的知識(shí)探索出來(lái),并用以解決新
3、的問(wèn)題.教師可以在以下幾點(diǎn)上加以強(qiáng)調(diào):(1)"同角"二字的含義.(2)關(guān)系式的適用條件.(3)怎樣優(yōu)化解題過(guò)程.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、問(wèn)題情境
教師出示問(wèn)題:上一節(jié)內(nèi)容,我們學(xué)習(xí)了任意角α的三個(gè)三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線,大家知道它們之間有什么聯(lián)系嗎?你能得出它們之間的直接關(guān)系嗎?
二、建立模型
1. 引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出任意角α的三個(gè)三角函數(shù),并探索它們之間的關(guān)系
在角α的終邊上任取不同于原點(diǎn)的一點(diǎn)P(x,y),它與原點(diǎn)的距離是r(r>0),則角α的三個(gè)三角函數(shù)值分別為
2. 推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系式
(1)學(xué)生活動(dòng)：
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(2)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析和討論, 由特殊到一般,再由一般得以證明，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式：
平方關(guān)系:
商數(shù)關(guān)系:
注:當(dāng)放手讓學(xué)生推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí),部分學(xué)生可能會(huì)利用三角函數(shù)線,借助勾股定理及相似三角形的知識(shí)來(lái)得出結(jié)論.對(duì)于這種推導(dǎo)方法,教師也應(yīng)給以充分肯定.(轉(zhuǎn)化與化歸)
教師啟發(fā):①對(duì)"同角"二字,大家是怎樣理解的?
②這兩個(gè)基本關(guān)系式中的角α有沒(méi)有范圍限制?
③自然界的萬(wàn)物都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,大家只要養(yǎng)成善于觀察的習(xí)慣,也許每天都會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,那么這些關(guān)系式能用于解決哪些問(wèn)題呢?
3.證明：
5、
(1).(采用定義)
(2).采用三角函數(shù)線與定義相結(jié)合的方法
三、應(yīng)用
[例 題]
1. 已知sinα= ,且α是第二象限角,求角α的余弦值和正切值.
變式1 在例1中若去掉"且α是第二象限角",該題的解答過(guò)程又將如何?
說(shuō)明:這兩個(gè)題是關(guān)系式的基本應(yīng)用.(分類討論思想)
分析：仿照例1的變題，我們需要根據(jù)已知角的三角函數(shù)值分象限進(jìn)行討論；另外，要注意方程思想的運(yùn)用。
小結(jié):由平方關(guān)系求值時(shí),要涉及開(kāi)方運(yùn)算,自然存在符號(hào)的選取問(wèn)題.由于本題沒(méi)有具體指明α是第幾象限角,因此,應(yīng)針對(duì)α可能所
6、處的象限,分類討論.(分類討論、方程思想)
課堂練習(xí)：
針對(duì)兩種情況下的結(jié)果居然一致的情況,教師及時(shí)點(diǎn)撥:
觀察所求式子的特點(diǎn),看能不能不通過(guò)求sinα,cosα的值而直接得出該分式的值.
總結(jié)：對(duì)公式需靈活運(yùn)用，本題若由條件通過(guò)解方程組得出正弦與余弦的值，然后再代入求解，顯然計(jì)算量很大。但是我們?nèi)绻麚Q一個(gè)角度，由所要求的向條件靠攏，將會(huì)簡(jiǎn)單易行多了。
[練 習(xí)]
(1)
教師引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié):(1)由于開(kāi)方運(yùn)算一般存在符號(hào)選取問(wèn)題,因此,在求值過(guò)程中,若能避免開(kāi)方的應(yīng)盡量避免.
(2)當(dāng)式子為分式且分子、分母都為三角函數(shù)的n(n∈N且n≥1)次冪的齊次式時(shí),采用上述方法可優(yōu)化解題過(guò)程.
四.課堂小結(jié)
v 這堂課我們通過(guò)三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式并得出其變形形式。通過(guò)例題體會(huì)了這些關(guān)系式在三個(gè)方面的應(yīng)用:
v ①由一個(gè)三角函數(shù)值求出其它的三角函數(shù)值。
思想方法：
1、特殊-----一般-----證明
2、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、整體處理思想。
五.作業(yè):習(xí)題1.2A組 10.11
六.預(yù)習(xí)提示：
通過(guò)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式體會(huì)在其他兩個(gè)方面的應(yīng)用：
v 化簡(jiǎn)三角函數(shù)值。
v 證明有關(guān)三角恒等式。
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