高中數(shù)學(xué) 第一章4 空間圖形的基本關(guān)系與公理第2課時(shí)目標(biāo)導(dǎo)學(xué) 北師大版必修2

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1、 第2課時(shí) 公理4(平行公理)與異面直線所成的角 問題導(dǎo)學(xué) 1.公理4的應(yīng)用 活動(dòng)與探究1 在空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別為AB,BC,CD,AD上的點(diǎn)且,請(qǐng)回答并證明當(dāng)空間四邊形ABCD的四條邊及點(diǎn)G,H滿足什么條件時(shí),四邊形EFGH, (1)為平行四邊形? (2)為菱形? 遷移與應(yīng)用 如圖,已知E,F(xiàn),G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn). (1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形; (2)若四邊形EFGH是矩形,求證:AC⊥BD. 空間中證明兩直線平行的方法: (1)借助平面幾何知識(shí),如三角形的中位線性質(zhì)、平行四邊

2、形的性質(zhì),成比例線段平行. (2)利用公理4,即證明兩條直線都與第三條直線平行. 2.等角定理的應(yīng)用 活動(dòng)與探究2 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn). (1)求證:四邊形BB1M1M為平行四邊形; (2)求證:∠BMC=∠B1M1C1. 遷移與應(yīng)用 如圖,空間圖形A-BCD的四個(gè)面分別為△ABC,△ACD,△ADB和△BCD,E,F(xiàn),G分別是線段AB,AC,AD上的點(diǎn),且滿足AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD.求證:△EFG∽△BCD. 1.要明確等角定理的兩個(gè)條件,即兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,并且方向相同,這兩個(gè)

3、條件缺一不可. 2.空間中證明兩個(gè)角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,還可以利用平行四邊形的對(duì)角相等.在利用等角定理時(shí),關(guān)鍵是弄清楚兩個(gè)角對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系. 3.異面直線及其所成的角 活動(dòng)與探究3 如圖,已知正方體ABCD-A′B′C′D′. (1)哪些棱所在的直線與直線BC′是異面直線? (2)求異面直線AD′與B′C、A′C與AB所成角的正切值. 遷移與應(yīng)用 已知正方體ABCD-A′B′C′D′,求: (1)BC′與CD′所成的角; (2)AD與BC′所成的角. 由異面直線所成角的定義求異面直線所成角的一般步驟是:平移→構(gòu)造三角形→解三角形

4、→作答.在幾何體中進(jìn)行平移構(gòu)造異面直線所成角時(shí),一般選擇兩異面直線中一條上的一點(diǎn),或幾何體頂點(diǎn)、棱的中點(diǎn)等特殊點(diǎn). 當(dāng)堂檢測(cè) 1.空間兩個(gè)角α,β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,且α=50,則β等于(  ). A.50 B.130 C.40 D.50或130 2.空間四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等,順次連接四條邊的中點(diǎn)得到的四邊形是(  ). A.梯形 B.平行四邊形 C.菱形 D.矩形 3.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱BC,CC1的中點(diǎn),則異面直線EF與B1D1所成的角為________. (第3題圖) 4.

5、如圖所示,在三棱錐P-ABC的六條棱所在的直線中,異面直線共有________對(duì). (第4題圖) 提示:用最精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進(jìn)行識(shí)記. 答案: 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1.平行 a∥c 預(yù)習(xí)交流1 提示:(1)本質(zhì):表明了空間中線線平行的傳遞性. (2)作用:公理4給出了空間兩條直線平行的一種證明方法.它是論證平行問題的主要依據(jù)之一,也是研究空間兩直線的位置關(guān)系、直線與平面位置關(guān)系的基礎(chǔ). (3)關(guān)鍵:尋找第三條直線分別與前兩條直線平行是應(yīng)用公理4證明線線平行的關(guān)鍵. 2.相等或互補(bǔ) 預(yù)習(xí)交流2

6、 提示:相等;互補(bǔ). 3.不在 預(yù)習(xí)交流3 提示:一定不相交.若對(duì)角線相交,則四個(gè)頂點(diǎn)共面,這與定義中四個(gè)頂點(diǎn)不共面相矛盾. 4.銳角 直角 互相垂直 預(yù)習(xí)交流4 提示:兩條異面直線所成角的范圍是(0,90]. 課堂合作探究 問題導(dǎo)學(xué) 活動(dòng)與探究1 思路分析:由==,可想到證明EF∥AC;為使四邊形EFGH為平行四邊形,需證明GH=EF,且GH∥AC;為使四邊形EFGH為菱形,在(1)成立的情況下,還需證明EH=EF,進(jìn)一步可得AC,BD的關(guān)系. 解:(1)當(dāng)==時(shí), 四邊形EFGH為平行四邊形. 理由:∵==, ∴EF∥AC且EF=AC. 若==, 則HG∥AC且H

7、G=AC. ∴EF∥HG,EF=HG, ∴四邊形EFGH為平行四邊形. (2)當(dāng)==且AC=BD時(shí),四邊形EFGH為菱形. 理由:由(1)知,若==, 則四邊形EFGH為平行四邊形,且EF=AC,EH=BD.若AC=BD,則EF=AC=BD=EH. ∴平行四邊形EFGH為菱形. 遷移與應(yīng)用 證明:(1)如題圖,在△ABD中, ∵EH是△ABD的中位線, ∴EH∥BD,EH=BD. 又FG是△CBD的中位線, ∴FG∥BD,F(xiàn)G=BD, ∴FG∥EH,∴E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面.又FG=EH, ∴四邊形EFGH是平行四邊形. (2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.

8、 ∵四邊形EFGH是矩形, ∴EH⊥GH.∴AC⊥BD. 活動(dòng)與探究2 思路分析:(1)欲證四邊形BB1M1M是平行四邊形,可證其一組對(duì)邊平行且相等;(2)可結(jié)合(1)利用定理證明或利用三角形全等證明. 證明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分別為AD,A1D1的中點(diǎn), ∴MM1=AA1,MM1∥AA1. 又∵AA1=BB1,AA1∥BB1, ∴MM1∥BB1,且MM1=BB1, ∴四邊形BB1M1M為平行四邊形. (2)方法一:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形, ∴B1M1∥BM. 同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形, ∴C1M1∥CM. 由平面幾

9、何知識(shí)可知,∠BMC和∠B1M1C1都是銳角, ∴∠BMC=∠B1M1C1. 方法二:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形, ∴B1M1=BM. 同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形. ∴C1M1=CM. 又∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1. ∴∠BMC=∠B1M1C1. 遷移與應(yīng)用 證明:在△ABD中, ∵AE∶AB=AG∶AD, ∴EG∥BD.同理,GF∥DC,EF∥BC. 又∠GEF與∠DBC兩組對(duì)邊方向分別相同,∴∠GEF=∠DBC. 同理,∠EGF=∠BDC. ∴△EFG∽△BCD. 活動(dòng)與探究3 思路分析:(1)按照異面直線的定義進(jìn)行判

10、斷;(2)根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解. 解:(1)所在直線與BC′是異面直線的棱有:AA′,DD′,A′B′,DC,AD,A′D′. (2)因?yàn)锳D′∥BC′,所以AD′與B′C所成的角就是BC′與B′C所成的角,而BC′⊥B′C,所以AD′與B′C所成的角等于90,其正切值不存在. 因?yàn)锳B∥CD,所以∠A′CD就是異面直線A′C與AB所成的角. 在△A′CD中,若設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則CD=a,A′D=a,A′C=a, 因此△A′CD是直角三角形, 于是tan∠A′CD==. 遷移與應(yīng)用 解:(1)連接BA′,則BA′∥CD′, 則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角. 連接A′C′,由△A′BC′為正三角形,知∠A′BC′=60. 即BC′與CD′所成的角為60. (2)由AD∥BC,知AD與BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC=45. 當(dāng)堂檢測(cè) 1.D 2.C 3.60 4.3 5

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