2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題-【含答案】

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1、內(nèi)裝訂線學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_外裝訂線2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題題號(hào)一二三總分得分注意事項(xiàng)：1答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）評(píng)卷人得分一、單選題1設(shè)，則（ ）ABCD2已知集合，則（ ）ABCD3已知命題命題，則下列命題中為真命題的是（ ）ABCD4設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）ABCD5在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ）ABCD6將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）A60種B1

2、20種C240種D480種7把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（ ）ABCD8在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ）ABCD9魏晉時(shí)劉徽撰寫的海島算經(jīng)是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高如圖，點(diǎn)，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（ ）A表高B表高C表距D表距10設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ）ABCD11設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）ABCD12設(shè)，則（ ）A

3、BCD第II卷（非選擇題）評(píng)卷人得分二、填空題13已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_14已知向量，若，則_15記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，則_16以圖為正視圖，在圖中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_（寫出符合要求的一組答案即可）評(píng)卷人得分三、解答題17某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.0

4、10.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和（1）求，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）18如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點(diǎn)，且（1）求；（2）求二面角的正弦值19記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式20設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)證明:21已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切

5、線，是切點(diǎn)，求面積的最大值22在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1（1）寫出的一個(gè)參數(shù)方程;（2）過點(diǎn)作的兩條切線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程23已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍試卷第5頁(yè)，共5頁(yè)參考答案1C【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，解得，因此，.故選：C.2C【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，故，因此，.故選：C.3A【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定命題的真假性

6、，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數(shù)，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、為假命題.故選：A4B【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得，對(duì)于A，不是奇函數(shù)；對(duì)于B，是奇函數(shù)；對(duì)于C，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，是一道容易題.5D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫妫?，又，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，所以.

7、故選：D6C【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.7B【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利

8、用換元思想求得的解析表達(dá)式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達(dá)式.【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.8B【分析】設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?，設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，分別求出對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的

9、的概率公式即可解出【詳解】如圖所示：設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)椋涿娣e為設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋磮D中的陰影部分，其面積為，所以故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，即可順利解出9A【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出【詳解】如圖所示：由平面相似可知，而 ，所以，而 ，即 故選：A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出視頻10D【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否編號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類討論，畫出圖象

10、，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時(shí)，由，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.綜上所述，成立.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.視頻11C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出 ，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)，即 時(shí)，即 ，符合題意，由可得，即 ；當(dāng)，即時(shí)，

11、，即，化簡(jiǎn)得， ，顯然該不等式不成立故選：C【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值視頻12B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】,所以;下面比較與的大小關(guān)系.記,則,，由于所以當(dāng)0x0時(shí),所以,即函數(shù)在0,+)上單調(diào)遞減，所以,即,即bc;綜上，,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)

12、鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.視頻134【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中對(duì)應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解，再由關(guān)系式求得，即可求解.【詳解】由漸近線方程化簡(jiǎn)得，即，同時(shí)平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），故焦距.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計(jì)算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵.14【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出【詳解】因?yàn)?，所以由可得，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐

13、標(biāo)表示，設(shè)，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分15【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.16（答案不唯一）【分析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側(cè)視圖為，俯視圖為，如圖所示，長(zhǎng)方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則正視圖，側(cè)視圖，俯視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐.故答案為：.【點(diǎn)睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.視頻17（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題

14、目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】（1），.（2）依題意，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.視頻18（1）；（2）【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長(zhǎng)；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、，則，則，解得，故；（2）設(shè)平面的法向量為，則，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，所以，因此，二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利

15、用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；（3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.19（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.【詳解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的

16、前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,當(dāng)n=1時(shí)，,當(dāng)n2時(shí),顯然對(duì)于n=1不成立,.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，數(shù)列的前n項(xiàng)積與項(xiàng)的關(guān)系，其中由,得到，進(jìn)而得到是關(guān)鍵一步；要熟練掌握前n項(xiàng)和，積與數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系，消和（積）得到項(xiàng)（或項(xiàng)的遞推關(guān)系），或者消項(xiàng)得到和（積）的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法.視頻20（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成

17、立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）由（1）得，且，當(dāng) 時(shí)，要證， ，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證， ，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，令，當(dāng)時(shí)，單減，假設(shè)能取到，則，故；當(dāng)時(shí)，單增，假設(shè)能取到，則，故；綜上所述，在恒成立【點(diǎn)睛】本題為難題，根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問解法并不唯一，分類討論對(duì)函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性問題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問題.視頻21（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；（2）設(shè)點(diǎn)、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方

18、程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將

19、圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值22（1），（為參數(shù)）；（2）或.【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）由題意，的普通方程為，所以的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）（2）由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡(jiǎn)得或【點(diǎn)晴】本題主要考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.23（1）.（2）.

20、【分析】（1）利用絕對(duì)值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于，當(dāng)或時(shí)所對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6，數(shù)軸上到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】解絕對(duì)值不等式的方法有零點(diǎn)分段法、幾何意義法解含有兩個(gè)絕對(duì)值，且其中的的系數(shù)相等時(shí)，可以考慮利用數(shù)軸上絕對(duì)值的幾何意義求解；利用絕對(duì)值三角不等式求最值也是常見的問題，注意表述取等號(hào)的條件.答案第19頁(yè)，共20頁(yè)