Hardy型不等式的研究數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

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1、Hardy型不等式的研究 Research of Hardy inequality 摘要: 本文首先利用下列權(quán)函數(shù): , 得到新的加權(quán)Hardy不等式: . 下列是經(jīng)典Hardy不等式的特殊形式: , 我們所得的結(jié)果正是對(duì)上述經(jīng)典Hardy不等式特殊形式的加強(qiáng), 其中,是p=8的Hardy不等式的最佳常數(shù). 我們第二個(gè)工作是對(duì)下述經(jīng)典積分型Hardy不等式進(jìn)行推廣: 其中, . 獲得了: , 其中, . 關(guān)鍵詞: Hardy不等式(離散型); Hardy積分不等式; Holder不等式; Bernolli不等式; 權(quán)函數(shù); 權(quán)系數(shù) Resea

2、rch of Hardy Inequality Abstract: In this paper , by using the following weight function: . We get the new Hardy inequality of weight coefficient: . The following formula is the special form of classic Hardy inequality: . And is the Hardy inequality’s optimal constant of p=8.The result we

3、get is just a reinforcement of this special form of classic Hardy inequality. The second job we do is a promotion to the classic integral type of Hardy inequality: . Assuming . Then we obtain . And we define . Key words : Hardy inequality ; Hardy integral inequality ; Holder inequality ;

4、Bernolli inequality; weight function ; weight coefficient Classification : O178 目 次 摘要 I 目次 IV 1 Hardy離散型不等式 1 1.1 Hardy離散型不等式簡(jiǎn)介 1 1.2 加權(quán)Hardy離散型不等式研究動(dòng)態(tài) 2 2 Hardy積分型不等式 3 2.1 Hardy積分型不等式簡(jiǎn)介 4 2.2 加權(quán)Hardy積分型不等式研究動(dòng)態(tài) 5 3 Hardy不等式的一個(gè)加強(qiáng)改進(jìn)

5、 9 3.1 主要定理及其推論的稱述 9 3.2 主要引理 9 3.3 主要定理及其推論的證明 11 4 Hardy積分型不等式的推廣 13 參考文獻(xiàn) 16 附錄 18 學(xué)位論文數(shù)據(jù)集 19 18 1 Hardy離散型不等式 1.1 Hardy離散型不等式簡(jiǎn)介 著名的Hardy不等式表述為[1]: …………………………..（1.1） 其中,,（）,,是最佳常數(shù). 自從1920年Hardy首先證明這個(gè)不等式以來(lái),已有大量的改進(jìn)和推廣工作[2

6、]-[7]. 1988年,楊必成、朱勻華[8]對(duì)P=2建立了（1.1）的加強(qiáng)的不等式 ． 2000年,黃啟亮[9]對(duì)P=3/2建立了（1.1）的加強(qiáng)不等式 ． 2000年,羅健英[10]對(duì)P=3建立了（1.1）的加強(qiáng)不等式 ． 2005年,隆建軍[11]對(duì)P=5建立了（1.1）的加強(qiáng)不等式 . 2009年,趙利彬[12]關(guān)于P =7的Hardy不等式的一個(gè)加強(qiáng)不等式 1.2 加權(quán)Hardy離散型不等式研究動(dòng)態(tài) 設(shè),

7、,,,,,則 ...….……………….………....（1.2） 僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. ………………….………………（1.3） 僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,特別時(shí),得到Carleman不等式[13]. 1998年,楊必成[14]在附加條件下,將（1.3）式改進(jìn)為: ………………….….（1.4） 令然后將原其中k換成n,得到[15]: ……………….…（1.5） .…………………（1.6） 特別地,時(shí),得到[16]: ………………..…………（1.7） 2000年,Rakotondr

8、atsimba,Y. [17]考慮了二維離散Hardy不等式: , 其中. 2005年,馬雪雅[18]對(duì)離散形式的經(jīng)典Hardy不等式 進(jìn)行推廣,其中,得出以下結(jié)論: 設(shè),且,則下列兩個(gè)命題等價(jià): 第一,存在常數(shù),使得對(duì)任何非負(fù)單調(diào)遞減的數(shù)列有下列不等式: 第二,存在常數(shù),使得對(duì)任意,有 2006年,高明哲等[19]通過引入可變單位向量的概念并利用Gram矩陣建立了Holder不等式的一個(gè)改進(jìn),由此給出離散Hardy不等式的一個(gè)很強(qiáng)的結(jié)果: 設(shè),,,且.如果, 那么 , 其中,,是可變單位向量. 2 Hardy積分型不等

9、式 2.1 Hardy積分型不等式簡(jiǎn)介 設(shè),在上非負(fù)可積,,則 , 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),其中是最佳常數(shù). 自從1920年Hardy首先證明這個(gè)不等式以來(lái),已有大量的改進(jìn)和推廣工作,以下對(duì)目前已經(jīng)得出的部分結(jié)論進(jìn)行闡述. 1971年Boyd[20]利用Hardy不等式證明了下述結(jié)果: 設(shè)在上非負(fù)可測(cè),,使得,則 . 其中是最佳常數(shù). 1979年, Kokilasvili,V.M. [21]證明了 成立的充要條件是 , 其中,. 1984年, Kufner,A. [22]證明了如下結(jié)論: 設(shè)在上非負(fù)可測(cè)函數(shù),,,則 , 其中, ,若. 1992年, 匡昌

10、繼證明了 , 其中,. 當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),. 1999年, Pachpatte,B,G還利用Fubini定理其多元形式. 2.2 加權(quán)Hardy積分型不等式研究動(dòng)態(tài) 令.,則 Oguntuase等[23]-[24]就,,,,, ,分別為的共軛指數(shù),求出 . 設(shè)在上非負(fù)遞增,,為非負(fù)權(quán)函數(shù), . 則成立的充要條件是, 其中 , . 1972年, Muckenhoupt B[25]得出定理: 設(shè)是上的非負(fù)局部可積函數(shù),則對(duì)所有可測(cè)函數(shù),不等式 , 成立的充分必要條件是:存在常數(shù),使得對(duì)任意有 , 或者 , 1990年, Arin

11、o—Muckenhoup[26]在研究Hardy-Littlewood極大算子在Lorentz空間中的加權(quán)有界性時(shí),將問題轉(zhuǎn)化為加權(quán)Hardy不等式對(duì)所有非增函數(shù)成立時(shí)權(quán)函數(shù)的特征刻劃,得出定理: 設(shè)是上的非局部可積權(quán)函數(shù),,則對(duì)所有非負(fù)非增可測(cè)函數(shù)不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù),使得對(duì),有 . 1989年, 丁勇證明了加權(quán)弱型Hardy不等式: 設(shè),,.在上非負(fù)可測(cè), 記 ,. 1997年, Burenkov,V.I.等[27]證明了差分型加權(quán)Hardy不等式: 設(shè),是上非負(fù)權(quán)函數(shù),使得 ,,. 若存在,使得 ,, 在上可測(cè),,則常數(shù),使得 1999年, P

12、eter,W.等[28]證明了三維加權(quán)混合范數(shù)Hardy不等式: ,,,,則 . 2004年, 楊必成[29]應(yīng)用權(quán)函數(shù)的方法,建立一個(gè)Hardy型積分不等的若干推廣: 設(shè),,.若,則有 , , 進(jìn)一步還有 , , 2006年, 高明哲等[30]通過引入可變單位向量的概念并利用Gram矩陣建立了Holder不等式的一個(gè)改進(jìn),由此給出積分型Hardy不等式的一個(gè)很強(qiáng)的結(jié)果: 設(shè),,且, 如果 , 那么 , 其中,,是可變單位向量. 2009年, 王文杰,何樂平[31]通過引入?yún)?shù)并利用Holder不等式進(jìn)行加強(qiáng),從而建立了一些新的不等式: 設(shè),,,,,,,

13、, 使 ,, 則有 其中,,而. 3 Hardy不等式的一個(gè)加強(qiáng)改 3.1 主要定理及其推論的稱述 對(duì)于p=8的情形,目前還沒有（1.1）式加強(qiáng)結(jié)果,本文對(duì)P=8建立（1.1）式的加強(qiáng)不等式,獲得了: 定理3.1.1 如果且,那么 ． 推論3.1.1 如果且,那么 , 其中,是p=8的Hardy不等式的最佳常數(shù). 3.2 主要引理 引理3.2.1 （Bernoulli不等式）設(shè): （1）如果； …………………….….. （3.1） （2）如果. …………………….…

14、…. （3.2） 引理3.2.2 …..……………….…（3.3） 其中, . 證明: 令r=8/7,s=8,則,再令,則由Holder不等式得 ………..……（3.4） 其中, =,,又由于 ． ……………………….………（3.5） 引理3.2.3 ,……………………………（3.6） 當(dāng)且僅當(dāng)n=1等號(hào)成立. 證明: 由及Bernoulli不等式知,當(dāng)時(shí)有

15、 ………（3.7） 于是,當(dāng)時(shí) ……（3.8） 當(dāng)時(shí)（3.8）中的. Bernolli不等式及得 ……………（3.9） 引理3.2.4 設(shè) ,……（3.10） 則當(dāng)時(shí)有 ………………………….…..（3.11） 證明: 先證 , , , 所以在,其次,由Lagrange微分中值定理, , 使． 3.3 主要定理及其推論的證明 定理3.1.1的證明 由引理3.2.2、引理3.2.3、引理3.2.4得

16、 .................................................................（3.12） 故有（3.12）及引理3.2.1得 定理獲證. 推論3.1.1的證明 易知 為單調(diào)遞增函數(shù),且有上確界,即 , 故 , 從而 . 4 Hardy積分型不等式的推廣 Hardy積分型不等式[32]的表述: 設(shè),在上非負(fù)可積,,則 ……………………（4.1） 僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,其中是最佳常數(shù). 下面的目的是將不等式(4.1),推廣到

17、兩個(gè)變量的情況,即: 定理4.1 設(shè)是上的非負(fù)可積函數(shù),為常數(shù),令 ……………………………（4.2） 則 ……………….…（4.3） 證明: 設(shè),,定義 ……………..………….…（4.4） 則當(dāng),時(shí),. 分部積分產(chǎn)生: ..………….…（4.5） 其中,故由（4.4）和（4.5）,得到 ..……………….…（4.6） 對(duì)指數(shù)和利用Holder不等式,于是有 ….…（4.7） 將（4.7）帶入（4.6）的右端,得到 ..……………….…（4.8） 利

18、用不等式[33] ..……………………………….…（4.9） 有 ………………………（4.10） 從（4.4）,（4.8）和（4.10）,得到 …………………………（4.11） 對(duì)（4.11）積分產(chǎn)生 ……………………（4.12） 對(duì)（4.12）左端分部積分,利用（4.4）,得到 …………………………（4.13） 利用Holder不等式,有 …………….…（4.14） 利用（4.13）和（4.14）,得到 ……………….………（4.15） 從（4.4）,（4.9）和（4.15）,有 ………………………………（4.

19、16） 從（4.4）,（4.12）和（4.16）,得到 …………………………（4.17） 令,,因和是任意的,故由（4.17）產(chǎn)生 ,即定理得證. 參考文獻(xiàn) [1] Hardy G H, Little wood J E ,Polya G P, Inequalities , Cambridge UniversitPress , 1952. 239-242. [2] Hardy G H , A note on two inequalities, London Math, So

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