Hardy型不等式的研究數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文

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1、Hardy型不等式的研究 Research of Hardy inequality 摘要: 本文首先利用下列權函數(shù): , 得到新的加權Hardy不等式: . 下列是經(jīng)典Hardy不等式的特殊形式: , 我們所得的結果正是對上述經(jīng)典Hardy不等式特殊形式的加強, 其中,是p=8的Hardy不等式的最佳常數(shù). 我們第二個工作是對下述經(jīng)典積分型Hardy不等式進行推廣: 其中, . 獲得了: , 其中, . 關鍵詞: Hardy不等式(離散型); Hardy積分不等式; Holder不等式; Bernolli不等式; 權函數(shù); 權系數(shù) Resea

2、rch of Hardy Inequality Abstract: In this paper , by using the following weight function: . We get the new Hardy inequality of weight coefficient: . The following formula is the special form of classic Hardy inequality: . And is the Hardy inequality’s optimal constant of p=8.The result we

3、get is just a reinforcement of this special form of classic Hardy inequality. The second job we do is a promotion to the classic integral type of Hardy inequality: . Assuming . Then we obtain . And we define . Key words : Hardy inequality ; Hardy integral inequality ; Holder inequality ;

4、Bernolli inequality; weight function ; weight coefficient Classification : O178 目 次 摘要 I 目次 IV 1 Hardy離散型不等式 1 1.1 Hardy離散型不等式簡介 1 1.2 加權Hardy離散型不等式研究動態(tài) 2 2 Hardy積分型不等式 3 2.1 Hardy積分型不等式簡介 4 2.2 加權Hardy積分型不等式研究動態(tài) 5 3 Hardy不等式的一個加強改進

5、 9 3.1 主要定理及其推論的稱述 9 3.2 主要引理 9 3.3 主要定理及其推論的證明 11 4 Hardy積分型不等式的推廣 13 參考文獻 16 附錄 18 學位論文數(shù)據(jù)集 19 18 1 Hardy離散型不等式 1.1 Hardy離散型不等式簡介 著名的Hardy不等式表述為[1]: …………………………..（1.1） 其中,,（）,,是最佳常數(shù). 自從1920年Hardy首先證明這個不等式以來,已有大量的改進和推廣工作[2

6、]-[7]. 1988年,楊必成、朱勻華[8]對P=2建立了（1.1）的加強的不等式 ． 2000年,黃啟亮[9]對P=3/2建立了（1.1）的加強不等式 ． 2000年,羅健英[10]對P=3建立了（1.1）的加強不等式 ． 2005年,隆建軍[11]對P=5建立了（1.1）的加強不等式 . 2009年,趙利彬[12]關于P =7的Hardy不等式的一個加強不等式 1.2 加權Hardy離散型不等式研究動態(tài) 設,

7、,,,,,則 ...….……………….………....（1.2） 僅當時等號成立. ………………….………………（1.3） 僅當時等號成立,特別時,得到Carleman不等式[13]. 1998年,楊必成[14]在附加條件下,將（1.3）式改進為: ………………….….（1.4） 令然后將原其中k換成n,得到[15]: ……………….…（1.5） .…………………（1.6） 特別地,時,得到[16]: ………………..…………（1.7） 2000年,Rakotondr

8、atsimba,Y. [17]考慮了二維離散Hardy不等式: , 其中. 2005年,馬雪雅[18]對離散形式的經(jīng)典Hardy不等式 進行推廣,其中,得出以下結論: 設,且,則下列兩個命題等價: 第一,存在常數(shù),使得對任何非負單調(diào)遞減的數(shù)列有下列不等式: 第二,存在常數(shù),使得對任意,有 2006年,高明哲等[19]通過引入可變單位向量的概念并利用Gram矩陣建立了Holder不等式的一個改進,由此給出離散Hardy不等式的一個很強的結果: 設,,,且.如果, 那么 , 其中,,是可變單位向量. 2 Hardy積分型不等

9、式 2.1 Hardy積分型不等式簡介 設,在上非負可積,,則 , 等號成立當且僅當時,其中是最佳常數(shù). 自從1920年Hardy首先證明這個不等式以來,已有大量的改進和推廣工作,以下對目前已經(jīng)得出的部分結論進行闡述. 1971年Boyd[20]利用Hardy不等式證明了下述結果: 設在上非負可測,,使得,則 . 其中是最佳常數(shù). 1979年, Kokilasvili,V.M. [21]證明了 成立的充要條件是 , 其中,. 1984年, Kufner,A. [22]證明了如下結論: 設在上非負可測函數(shù),,,則 , 其中, ,若. 1992年, 匡昌

10、繼證明了 , 其中,. 當時,,當時,. 1999年, Pachpatte,B,G還利用Fubini定理其多元形式. 2.2 加權Hardy積分型不等式研究動態(tài) 令.,則 Oguntuase等[23]-[24]就,,,,, ,分別為的共軛指數(shù),求出 . 設在上非負遞增,,為非負權函數(shù), . 則成立的充要條件是, 其中 , . 1972年, Muckenhoupt B[25]得出定理: 設是上的非負局部可積函數(shù),則對所有可測函數(shù),不等式 , 成立的充分必要條件是:存在常數(shù),使得對任意有 , 或者 , 1990年, Arin

11、o—Muckenhoup[26]在研究Hardy-Littlewood極大算子在Lorentz空間中的加權有界性時,將問題轉(zhuǎn)化為加權Hardy不等式對所有非增函數(shù)成立時權函數(shù)的特征刻劃,得出定理: 設是上的非局部可積權函數(shù),,則對所有非負非增可測函數(shù)不等式成立,當且僅當存在常數(shù),使得對,有 . 1989年, 丁勇證明了加權弱型Hardy不等式: 設,,.在上非負可測, 記 ,. 1997年, Burenkov,V.I.等[27]證明了差分型加權Hardy不等式: 設,是上非負權函數(shù),使得 ,,. 若存在,使得 ,, 在上可測,,則常數(shù),使得 1999年, P

12、eter,W.等[28]證明了三維加權混合范數(shù)Hardy不等式: ,,,,則 . 2004年, 楊必成[29]應用權函數(shù)的方法,建立一個Hardy型積分不等的若干推廣: 設,,.若,則有 , , 進一步還有 , , 2006年, 高明哲等[30]通過引入可變單位向量的概念并利用Gram矩陣建立了Holder不等式的一個改進,由此給出積分型Hardy不等式的一個很強的結果: 設,,且, 如果 , 那么 , 其中,,是可變單位向量. 2009年, 王文杰,何樂平[31]通過引入?yún)?shù)并利用Holder不等式進行加強,從而建立了一些新的不等式: 設,,,,,,,

13、, 使 ,, 則有 其中,,而. 3 Hardy不等式的一個加強改 3.1 主要定理及其推論的稱述 對于p=8的情形,目前還沒有（1.1）式加強結果,本文對P=8建立（1.1）式的加強不等式,獲得了: 定理3.1.1 如果且,那么 ． 推論3.1.1 如果且,那么 , 其中,是p=8的Hardy不等式的最佳常數(shù). 3.2 主要引理 引理3.2.1 （Bernoulli不等式）設: （1）如果； …………………….….. （3.1） （2）如果. …………………….…

14、…. （3.2） 引理3.2.2 …..……………….…（3.3） 其中, . 證明: 令r=8/7,s=8,則,再令,則由Holder不等式得 ………..……（3.4） 其中, =,,又由于 ． ……………………….………（3.5） 引理3.2.3 ,……………………………（3.6） 當且僅當n=1等號成立. 證明: 由及Bernoulli不等式知,當時有

15、 ………（3.7） 于是,當時 ……（3.8） 當時（3.8）中的. Bernolli不等式及得 ……………（3.9） 引理3.2.4 設 ,……（3.10） 則當時有 ………………………….…..（3.11） 證明: 先證 , , , 所以在,其次,由Lagrange微分中值定理, , 使． 3.3 主要定理及其推論的證明 定理3.1.1的證明 由引理3.2.2、引理3.2.3、引理3.2.4得

16、 .................................................................（3.12） 故有（3.12）及引理3.2.1得 定理獲證. 推論3.1.1的證明 易知 為單調(diào)遞增函數(shù),且有上確界,即 , 故 , 從而 . 4 Hardy積分型不等式的推廣 Hardy積分型不等式[32]的表述: 設,在上非負可積,,則 ……………………（4.1） 僅當時等號成立,其中是最佳常數(shù). 下面的目的是將不等式(4.1),推廣到

17、兩個變量的情況,即: 定理4.1 設是上的非負可積函數(shù),為常數(shù),令 ……………………………（4.2） 則 ……………….…（4.3） 證明: 設,,定義 ……………..………….…（4.4） 則當,時,. 分部積分產(chǎn)生: ..………….…（4.5） 其中,故由（4.4）和（4.5）,得到 ..……………….…（4.6） 對指數(shù)和利用Holder不等式,于是有 ….…（4.7） 將（4.7）帶入（4.6）的右端,得到 ..……………….…（4.8） 利

18、用不等式[33] ..……………………………….…（4.9） 有 ………………………（4.10） 從（4.4）,（4.8）和（4.10）,得到 …………………………（4.11） 對（4.11）積分產(chǎn)生 ……………………（4.12） 對（4.12）左端分部積分,利用（4.4）,得到 …………………………（4.13） 利用Holder不等式,有 …………….…（4.14） 利用（4.13）和（4.14）,得到 ……………….………（4.15） 從（4.4）,（4.9）和（4.15）,有 ………………………………（4.

19、16） 從（4.4）,（4.12）和（4.16）,得到 …………………………（4.17） 令,,因和是任意的,故由（4.17）產(chǎn)生 ,即定理得證. 參考文獻 [1] Hardy G H, Little wood J E ,Polya G P, Inequalities , Cambridge UniversitPress , 1952. 239-242. [2] Hardy G H , A note on two inequalities, London Math, So

20、c, 1936, 11:167-171. [3] Mitrinovic D S, Pecaric J E and Fink A M, Classcal and New Inequalities in Analy- -sis, Kluwer Academic Publishers,1993. [4] Hardy G H, Littlewood J E and Polye G, Inequalities, Cambridge UniversityPress, 1952. [5] Christopher Olutunde Imoru, On some integral inequalit

21、ies related to Hardy’s,Canad Math Bull, 1977,20: 307-312. [6] Chan L Y, Some extensions of Hardy’s inequalities, Canad Math Bull, 1979. [7] Pachpatte B G, On a new class of Hardy type inequalities, Proc. Royal. Soc. Edinb, 1987,105(A), 265-274. [8] 楊必成, 朱勻華,關于Hardy不等式的一個改進, 中山大學學報(自然科學版), 1998,

22、37(1),41-44. [9] 黃啟亮, 關于P=3/2的Hardy 不等式的一個加強改進, 廣西師范大學學(自然科學報),2000,18(1):21-23. [10] 羅健英, 關于p=3的Hardy不等式的一個加強改進, 西南民族學院學報(自然科學版),2000,(04):25-28. [11] 隆建軍,關于 p=5的Hardy不等式的一個加強改進, 沙洋師范高等?？茖W校學報(自然科學版),2005,(05):46-48. [12] 趙利彬, 關于P =7的Hardy不等式的一個加強改進, 佳木斯大學學報 (自然科學版) 2009 ,09,.27(5). [13] 陳計,葉中豪

23、, 初等數(shù)學前沿, 南京: 江蘇出版社,1996. [14] Yang Bicheng and L.Debnath, On a New Generalization of Hardy-Hilberts Inequa- -lity and Its Applications, Math Anal Appl ,1999, 233,484-497. [15] 匡繼昌, 常用不等式, 山東科學技術出版社,2004. [16] Alzer.H, On Carleman’s inequality, Portugal.Math,1993, 50(3): 331-334. [17] Rakotond

24、ratsimba.Y., Two-Dimensional Discrete Hardy inequalities, Acta Math. Hungar, 2000,86(3):213-236. [18] 馬雪雅, 關于非增序列的加權Hardy不等式,數(shù)學雜志, 2005, 25(6) . [19] 高明哲, Hardy不等式的改進, 南京大學學報數(shù)學半年刊,2006.11, 23 (2). [20] David.W.Boyd, On the exponent of an osculatory packing , Canad.J.Math. 1971, 23:355-363 . [21]

25、 Kokilasvili,V.M, Characterization of the Besov-Lipschitz and Triebel-Lizorkin spaces the case q<1 Soobsc, Akad.Nauk Gruzin,1979, SSR96(1):37-40. [22] Kufner,A, Discreteness and simplicity of the spectrum of a quasilinear Sturm- Liou ville -type problem on an infinite interval , Pokroky Mat.Fyz. As

26、tronom,1984, 29(1): 29-40. [23] James Adedayo Oguntuase and Christopher Olutunde Imoru, New Generalizations of Hardys Integral Inequality, Math.Anal. Appl, 2000, 241(1):73-82 . [24] Heining.H.P, Fourier Inequalities Wish Nonradial WeightsCanad, Journal Of Math, 1993, 45(1):104-116. [25] Muckenho

27、upt B, Hardy’S inequality with weights, Studia Math 1972, 44(1). [26] Arino M and Muckenhoupt B, Maximal function on classical Lorentz spaces and Hardy’S inequality with weights for nonincreasing functions,Trans Amer Math Soc, 1990,320(2):727—735． [27] Burenkov,V.I, Journal of Inequalities and App

28、lications, Journal Of Math ,1997,1. [28] Peter,W, Three-dimensional mixed-norm weighted Hardy inequality, J.Math.Anal. Appl,1999,234(1):287-292. [29] 楊必成,關于一個Hardy 型積分不等式的推廣,南昌大學學報(理科版), 2004, 28(3). [30] 楊必成,高明哲, 關于Hardy - Hilbert不等其中的一個最佳常數(shù), 數(shù)學進展,1997, 26(2):159-164. [31] 王文杰,何樂平, 含參數(shù)的Hardy-

29、 Hilbert 型積分不等式的加強, 湖南科技大學學報（自然科學版）,2009, 24(4). [32] Hardy G H, A note on two inequalities, J . London Math. Soc. 1936 ,11 . [33] Mitrinovic D S , Pecaric J E and Fink A M, Classical and New Inequalities in Analy- -sis,Dordrecht : Kluwer AcademicPublishers , 1993. 附錄: Bernoulli不等式,Holder不等式簡單說明 Bernoulli不等式: 設,則 (1).如果． (2).如果． Holder不等式: 設,,,則 （1）若,則. （2）若,則.