高中數學 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.2 函數的簡單性質自主訓練 蘇教版必修1

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1、 2.2 函數的簡單性質 自主廣場 我夯基 我達標 1.若函數f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞，4)上是減函數，則實數a的取值范圍是( ) A.a≤-3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3 思路解析：因為函數f(x)=x2+2(a-1)x+2有兩個單調區(qū)間，它在(-∞，-(a-1)］上是減函數，又因為f(x)在區(qū)間(-∞，4)上是減函數，因此必有4≤-(a-1)，解得a≤-3. 答案:A 2.設f(x)是定義在A上的減函數，且f(x)＞0，則下列函數中為增函數的個數是( )

2、 ①y=3-f(x) ②y=1+ ③y=［f(x)］2 ④y=1- A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析：∵f(x)是定義在A上的減函數，且f(x)＞0, 設x1、x2∈A，且x1＜x2，則f(x1)＞f(x2)＞0. ∴3-f(x1)＜3-f(x2)， 即y=3-f(x)在A上為增函數. , 即y=1+在A上為增函數. f2(x1)＞f2(x2)， 即y=f2(x)在A上是減函數. ， 即y=1-在A上為增函數. 答案:C 3.函數f(x)在區(qū)間(-4，7)上是增

3、函數，則y=f(x-3)的遞增區(qū)間是( ) A.(-2，3) B.(-1，10) C.(-1，7) D.(-4，10) 思路解析：∵f(x)在(-4，7)上是增函數,由-4＜x-3＜7，得-1＜x＜10且u=x-3在(-1，10)上也為增函數，∴f(x-3)在(-1，10)上為增函數. 答案:B 4.若y=f(x)在x∈［0，+∞)上的表達式為y=x(1-x)，且f(x)為奇函數，則x∈(-∞，0］時f(x)等于( ) A.-x(1-x) B.x(1+x)

4、 C.-x(1+x) D.x(x-1) 思路解析：∵x∈(-∞，0］時，-x≥0， ∴f(-x)=(-x)(1+x)，-f(x)=-x(1+x). ∴f(x)=x(1+x). 答案:B 5.已知函數f(x)=a-.若f(x)為奇函數，則a=______________. 解法一:∵f(x)的定義域為R,又∵f(x)為奇函數,∴f(0)=0,即a-=0.∴a=. 解法二:∵f(x)為奇函數,∴f(-x)=-f(x), 即a-=-a,解得a=. 答案: 6.函數y=的單調遞增區(qū)間是____________，單調遞減區(qū)間是____

5、________. 思路解析：由-x2-x+6≥0，即x2+x-6≤0,解得-3≤x≤2, ∴y=的定義域是［-3，2］.又u=-x2-x+6的對稱軸是x=-, ∴u在x∈［-3，-］上遞增，在x∈［-，2］上遞減. 又y=是［0，+∞)上的增函數,∴y=的遞增區(qū)間是［-3，-］，遞減區(qū)間是［-，2］. 答案:［-3，-］ ［-，2］ 7.函數y=f(x)是定義在R上的減函數，則y=f(|x+2|)的單調減區(qū)間是______________. 思路解析：∵y=f(u)在R上遞減,u=|x+2|在［-2，+∞)上遞增，在(-∞，-2］上遞減,∴y=f(|x+2|)在［-2，+∞)

6、上遞減. 答案:［-2，+∞) 8.若f(x)=2x2+px+3在(-∞，1］上是減函數，在［1，+∞)上是增函數，則f(1)=_____________. 思路解析：∵a=2＞0，f(x)開口向上， -=-=1p=-4， ∴f(x)=2x2-4x+3.∴f(1)=1. 答案:1 9.函數y=x2-4｜x｜-1的遞增區(qū)間為______________. 思路解析：圖象法，y= 答案:［-2，0］和［2，+∞) 10.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數，且定義域為［a-1，2a］，則a=_________，b=_________. 思路解析：定義域關于原點對稱，故

7、a-1=-2a，a=. 又對于f(x)有f(-x)=f(x)恒成立，∴b=0. 答案: 0 11.若f(x)=+a(x∈R且x≠0)為奇函數，則a=_____________. 思路解析：特值法：∵f(-1)=-f(1)，+a=-［+a］a=. 答案: 12.已知f(x)=ax7-bx+2且f(-5)=17，則f(5)=___________. 思路解析：整體思想：f(-5)=a(-5)7-b(-5)+2=17(a57-5b)=-15， ∴f(5)=a57-b5+2=-15+2=-13. 答案:-13 我綜合 我發(fā)展 13.函數f(x)=log9(x+8-)在［1,

8、+∞)上是增函數，求a的取值范圍. 思路解析：由函數f(x)=log9(x+8-)在［1,+∞)上是增函數可以得到兩個信息：①對任意的1≤x10恒成立. 解答：∵函數f(x)=log9(x+8-)在［1,+∞)上是增函數，∴對任意的1≤x10,>-1,a>-x1x2. ∵x2>x2≥1，∴要使a>-x1x2恒成立，只要a≥1. 又∵函數在f(x)=log9(x

9、+8-)在［1,+∞）上是增函數，∴1+8-a>0， 即a<9. 綜上,a的取值范圍為［-1,9). 另解：(用導數求解)令g(x)=x+8-，函數f(x)=log9(x+8-)在［1,+∞)上是增函數， ∴g(x)=x+8-在［1,+∞）上是增函數，g′(x)=1+. ∴1+8-a>0，且1+≥0在［1,+∞)上恒成立，得-1≤a<9. 14.討論函數f(x)=(a≠0)在區(qū)間(-1，1)內的單調性. 思路解析:根據函數的單調性定義求解. 解答：設-1＜x1＜x2＜１，則 f(x1)-f(x2)=. ∵x1、x2∈(-1，1)，且x1＜x2，∴x1-x2＜0，1+x1x2

10、＞0，(1-x12)(1-x22)＞0. 于是，當a＞0時，f(x1)＜f(x2)；當a＜0時，f(x1)＞f(x2). 故當a＞0時，函數在(-1，1)上是增函數；當a＜0時，函數在(-1，1)上為減函數. 我創(chuàng)新 我超越 15.判斷函數f(x)=的奇偶性. 思路解析:確定函數的定義域后可脫去絕對值符號. 解答：由得函數的定義域為［-1，1］.這時，｜x-2｜=2-x, ∴f(x)=.∴f(-x)==f(x). 且注意到f(x)不恒為零，從而可知f(x)=是偶函數，不是奇函數. 16.已知f(x)是R上的奇函數，且x∈(-∞，0)時，f(x)=-xlg(2-x)，求f(x

11、). 思路解析：先設x＞0，求f(x)的表達式，再合并. 解答：∵f(x)為奇函數，∴f(0)=0. 當x＞0時，-x＜0，f(-x)=xlg(2+x)，即-f(x)=xlg(2+x)， ∴f(x)=-xlg(2+x)(x＞0). ∴f(x)= 17.下列函數中，在(-∞，0)內是減函數的是( ) A.y=1-x2 B.y=x2+x C.y=- D.y= 思路解析：對于函數增減性的判定，只要畫出函數的草圖就

12、易于判斷了. 分別作出y=1-x2，y=x2+x，y=-，y=的圖象，如圖(1)—(4)所示. 答案:D 18.研究二次函數f(x)=2x2-4x-1的單調性，并加以證明. 思路解析：研究函數的單調性，首先得確定函數的單調區(qū)間，然后討論函數在這個區(qū)間上是遞增還是遞減. 從二次函數f(x)=2x2-4x-1=2(x-1)2-3的圖象可知，是開口向上的拋物線，且對稱軸方程為x=1.因此這個函數的定義域R分為(-∞，1)和[1，+∞)兩個單調區(qū)間，在(-∞，1)上遞減，在[1，+∞)上遞增. 證明：設x1、x2是[1，+∞)內的任意兩個實數，且x1＜x2， 則有f(x1)=2x

13、12-4x1-1，f(x2)=2x22-4x2-1， f(x2)-f(x1)=2(x22-x12)-4(x2-x1) =2(x2+x1)(x2-x1)-4(x2-x1)=2(x2-x1)(x1+x2-2). 很明顯，如能證明2(x2-x1)(x1+x2-2)＞0，就說明f(x)在[1，+∞)上遞增. 由于x1＜x2時，有x2-x1＞0，因此只要證明x1+x2-2＞0即可. 由于x1≥1，x2＞1，有x1+x2＞2，即x1+x2-2＞0， 所以f(x2)-f(x1)=2(x2-x1)(x1+x2-2)＞0，即f(x2)＞f(x1). 所以f(x)在[1，+∞)上遞增. 用同樣的方

14、法可證明f(x)在(-∞，1)上遞減. 對于二次函數f(x)=ax2+bx+c的單調性，有如下四種情況： (1)當a＞0時，x∈(-∞，-)，f(x)為減函數； (2)當a＞0時，x∈[-，+∞)，f(x)為增函數； (3)當a＜0時，x∈(-∞，-)，f(x)為增函數； (4)當a＜0時，x∈[-，+∞)，f(x)為減函數. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375