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1、
課時(shí)作業(yè)23 平面向量應(yīng)用舉例
|基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘,60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.已知平面內(nèi)四邊形ABCD和點(diǎn)O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,則四邊形ABCD為( )
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四邊形
解析:由題意知a-b=d-c,
∴=,
∴四邊形ABCD為平行四邊形.故選D.
答案:D
2.一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1與F2的夾角為60,且F1,F(xiàn)2的大小分別為2 N和4 N,則F3的大小為( )
A.6 N B.2 N
C.2 N D.2 N
2、
解析:由向量的平行四邊形法則及力的平衡,得|F3|2=|-F1-F2|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos60=22+42+224=28,所以|F3|=2 N.
答案:D
3.河水的流速為2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?,則小船在靜水中的速度大小為( )
A.10 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D.12 m/s
解析:由題意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意圖如右圖.
∴小船在靜水中的速度大小|v|===2 (m/s).
答案:B
4.在△ABC中,AB=3,AC邊上的中線BD=,=5,
3、則AC的長(zhǎng)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:因?yàn)椋剑剑?
所以2=2=2-+2,
即2=1,所以||=2,即AC=2.
答案:B
5.在△ABC中,有下列四個(gè)命題:
①-=;
②++=0;
③若(+)(-)=0,則△ABC為等腰三角形;
④若>0,則△ABC為銳角三角形.
其中正確的命題有( )
A.①② B.①④
C.②③ D.②③④
解析:因?yàn)椋剑剑?,所以①錯(cuò)誤.++=+=-=0,所以②正確.由(+)(-)=2-2=0,得||=||,所以△ABC為等腰三角形,③正確.>0?cosA>0,所以A為銳角,但不能確定B,C的大小,所以
4、不能判定△ABC是否為銳角三角形,所以④錯(cuò)誤.故選C.
答案:C
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.如圖所示,一力作用在小車上,其中力F的大小為10牛,方向與水平面成60角,當(dāng)小車向前運(yùn)動(dòng)10米時(shí),力F做的功為________焦耳.
解析:設(shè)小車位移為s,則|s|=10米,
WF=Fs=|F||s|cos60=1010=50(焦耳).
答案:50
7.點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng),速度v=(4,-3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同,且每秒移動(dòng)的距離為|v|個(gè)單位).設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(-10,10),則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.
解析:由題意知,=5v=(20
5、,-15),
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則
解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10,-5).
答案:(10,-5)
8.一只鷹正以與水平方向成30角的方向向下飛行,直撲獵物,太陽光從頭上直照下來,鷹在地面上的影子的速度是40 m/s,則鷹的飛行速率為________.
解析:設(shè)鷹的飛行速度為v1,鷹在地面上的影子的速度為v2,則|v2|=40 m/s,因?yàn)辁椀倪\(yùn)動(dòng)方向是與水平方向成30角向下,故|v1|== (m/s).
答案: (m/s)
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.已知在平行四邊形ABCD中,E,F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),且AE=FC=AC,試用向量方法證明四邊形DEBF也是平
6、行四邊形.
證明:設(shè)=a,=b,
則=-=-a=b-a,
=-=b-=b-a,
所以=,且D,E,F(xiàn),B四點(diǎn)不共線,所以四邊形DEBF是平行四邊形.
10.如圖所示,在某次抗震救災(zāi)中,一架飛機(jī)從A地按北偏東35的方向飛行800 km到達(dá)B地接到受傷人員,然后又從B地按南偏東55的方向飛行800 km送往C地醫(yī)院,求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和.
解:設(shè),分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35的方向飛行800 km,從B地按南偏東55的方向飛行800 km,
則飛機(jī)飛行的路程指的是||+||;
兩次飛行的位移的和指的是+=,
依題意有||+||=800+800=1 600(
7、km),
又α=35,β=55,∠ABC=35+55=90,
所以||=
==800 (km),
其中∠BAC=45,所以方向?yàn)楸逼珫|35+45=80,從而飛機(jī)飛行的路程是1 600 km,兩次飛行的位移和的大小為800 km,方向?yàn)楸逼珫|80.
|能力提升|(20分鐘,40分)
11.在?ABCD中,AD=1,∠BAD=60,E為CD的中點(diǎn),若=1,則AB的長(zhǎng)為( )
A.1 B.
C. D.
解析:設(shè)AB的長(zhǎng)為a(a>0),
因?yàn)椋剑?,=+=-?
所以=(+)=-2+2=-a2+a+1.
由已知,得-a2+a+1=1.
又因?yàn)閍>0,所以a=,即AB的長(zhǎng)為
8、.
答案:B
12.已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足=+,則△APB的面積與△APC的面積之比為________.
解析:5=+2,
2-2=--2,
-2(+)=,如圖所示,以PA,PB為鄰邊作?PAEB,
則C,P,E三點(diǎn)共線,連接PE交AB于點(diǎn)O,則=2=4,
所以===
答案:12
13.如圖,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,M為CE的中點(diǎn),用向量的方法證明:
(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三點(diǎn)共線.
證明:以E為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.令||=1,則||
9、=1,||=2.
∵CE⊥AB,而AD=DC,
∴四邊形AECD為正方形,
∴可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為:
E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
(1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),
=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
∴=,∴∥,即DE∥BC.
(2)連接MD,MB,∵M(jìn)為EC的中點(diǎn),
∴M,∴=(-1,1)-=,
=(1,0)-=.
∵=-,∴∥.
又MD與MB有公共點(diǎn)M,
∴D,M,B三點(diǎn)共線.
14.如圖,在△ABC中,∠BAC=120,AB=AC=3,點(diǎn)D在線段BC上,且BD=DC.
求:(1)
10、AD的長(zhǎng);
(2)∠DAC的大小.
解析:(1)設(shè)=a,=b,
則=+=+=+(-)=+=a+b.
所以||2=2=2=a2+2ab+b2=9+233cos120+9=3.
故AD=.
(2)設(shè)∠DAC=θ,
則θ為向量與的夾角.
因?yàn)閏osθ=====0,
所以θ=90,
即∠DAC=90.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375