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1、
課時(shí)作業(yè)23 平面向量應(yīng)用舉例
|基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．已知平面內(nèi)四邊形ABCD和點(diǎn)O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，則四邊形ABCD為( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四邊形
解析：由題意知a－b＝d－c，
∴＝，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．故選D.
答案：D
2．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1與F2的夾角為60，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2 N和4 N，則F3的大小為( )
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
2、
解析：由向量的平行四邊形法則及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60＝22＋42＋224＝28，所以|F3|＝2 N.
答案：D
3．河水的流速為2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速度大小為( )
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：由題意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意圖如右圖．
∴小船在靜水中的速度大小|v|＝＝＝2 (m/s)．
答案：B
4．在△ABC中，AB＝3，AC邊上的中線BD＝，＝5，
3、則AC的長(zhǎng)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因?yàn)椋剑剑?
所以2＝2＝2－＋2，
即2＝1，所以||＝2，即AC＝2.
答案：B
5．在△ABC中，有下列四個(gè)命題：
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)(－)＝0，則△ABC為等腰三角形；
④若>0，則△ABC為銳角三角形．
其中正確的命題有( )
A．①② B．①④
C．②③ D．②③④
解析：因?yàn)椋剑剑?，所以①錯(cuò)誤.＋＋＝＋＝－＝0，所以②正確．由(＋)(－)＝2－2＝0，得||＝||，所以△ABC為等腰三角形，③正確.>0?cosA>0，所以A為銳角，但不能確定B，C的大小，所以
4、不能判定△ABC是否為銳角三角形，所以④錯(cuò)誤．故選C.
答案：C
二、填空題(每小題5分，共15分)
6．如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10牛，方向與水平面成60角，當(dāng)小車向前運(yùn)動(dòng)10米時(shí)，力F做的功為________焦耳．
解析：設(shè)小車位移為s，則|s|＝10米，
WF＝Fs＝|F||s|cos60＝1010＝50(焦耳)．
答案：50
7．點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度v＝(4，－3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同，且每秒移動(dòng)的距離為|v|個(gè)單位)．設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－10,10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
解析：由題意知，＝5v＝(20
5、，－15)，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則
解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10，－5)．
答案：(10，－5)
8．一只鷹正以與水平方向成30角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽(yáng)光從頭上直照下來(lái)，鷹在地面上的影子的速度是40 m/s，則鷹的飛行速率為________．
解析：設(shè)鷹的飛行速度為v1，鷹在地面上的影子的速度為v2，則|v2|＝40 m/s，因?yàn)辁椀倪\(yùn)動(dòng)方向是與水平方向成30角向下，故|v1|＝＝ (m/s)．
答案： (m/s)
三、解答題(每小題10分，共20分)
9．已知在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝FC＝AC，試用向量方法證明四邊形DEBF也是平
6、行四邊形．
證明：設(shè)＝a，＝b，
則＝－＝－a＝b－a，
＝－＝b－＝b－a，
所以＝，且D，E，F(xiàn)，B四點(diǎn)不共線，所以四邊形DEBF是平行四邊形．
10．如圖所示，在某次抗震救災(zāi)中，一架飛機(jī)從A地按北偏東35的方向飛行800 km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55的方向飛行800 km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和．
解：設(shè)，分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35的方向飛行800 km，從B地按南偏東55的方向飛行800 km，
則飛機(jī)飛行的路程指的是||＋||；
兩次飛行的位移的和指的是＋＝，
依題意有||＋||＝800＋800＝1 600(
7、km)，
又α＝35，β＝55，∠ABC＝35＋55＝90，
所以||＝
＝＝800 (km)，
其中∠BAC＝45，所以方向?yàn)楸逼珫|35＋45＝80，從而飛機(jī)飛行的路程是1 600 km，兩次飛行的位移和的大小為800 km，方向?yàn)楸逼珫|80.
|能力提升|(20分鐘，40分)
11．在?ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60，E為CD的中點(diǎn)，若＝1，則AB的長(zhǎng)為( )
A．1 B.
C. D.
解析：設(shè)AB的長(zhǎng)為a(a>0)，
因?yàn)椋剑?，＝＋＝－?
所以＝(＋)＝－2＋2＝－a2＋a＋1.
由已知，得－a2＋a＋1＝1.
又因?yàn)閍>0，所以a＝，即AB的長(zhǎng)為
8、.
答案：B
12．已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足＝＋，則△APB的面積與△APC的面積之比為________．
解析：5＝＋2，
2－2＝－－2，
－2(＋)＝，如圖所示，以PA，PB為鄰邊作?PAEB，
則C，P，E三點(diǎn)共線，連接PE交AB于點(diǎn)O，則＝2＝4，
所以＝＝＝
答案：12
13．如圖，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，M為CE的中點(diǎn)，用向量的方法證明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三點(diǎn)共線．
證明：以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．令||＝1，則||
9、＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四邊形AECD為正方形，
∴可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：
E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)連接MD，MB，∵M(jìn)為EC的中點(diǎn)，
∴M，∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.
∵＝－，∴∥.
又MD與MB有公共點(diǎn)M，
∴D，M，B三點(diǎn)共線．
14．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝AC＝3，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝DC.
求：(1)
10、AD的長(zhǎng)；
(2)∠DAC的大?。?
解析：(1)設(shè)＝a，＝b，
則＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
所以||2＝2＝2＝a2＋2ab＋b2＝9＋233cos120＋9＝3.
故AD＝.
(2)設(shè)∠DAC＝θ，
則θ為向量與的夾角．
因?yàn)閏osθ＝＝＝＝＝0，
所以θ＝90，
即∠DAC＝90.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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