高中數(shù)學(xué)人教A版必修四 第二章 平面向量 第二章 章末檢測B含答案

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1、 人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 第二章　平面向量(B) (時間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1．已知向量a＝(4,2),b＝(x,3),且a∥b,則x的值是(　　) A．－6 B．6 C．9 D．12 2．下列命題正確的是(　　) A．單位向量都相等 B．若a與b共線,b與c共線,則a與c共線 C．若|a＋b|＝|a－b|,則a·b＝0 D．若a與b都是單位向量,則a·b＝1. 3．設(shè)向量a＝(m－2,m＋3),b＝(2m＋1,m－2),若a與b的

2、夾角大于90°,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－,2) B．(－∞,－)∪(2,＋∞) C．(－2,) D．(－∞,2)∪(,＋∞) 4．平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,若＝(2,4),＝(1,3),則·等于(　　) A．8 B．6 C．－8 D．－6 5．已知|a|＝1,|b|＝6,a·(b－a)＝2,則向量a與向量b的夾角是(　　) A. B. C. D. 6．關(guān)于平面向量a,b,c,有下列四個命題： ①若a∥b,a≠0,則存在λ∈R,使得b＝

3、λa； ②若a·b＝0,則a＝0或b＝0； ③存在不全為零的實(shí)數(shù)λ,μ使得c＝λa＋μb； ④若a·b＝a·c,則a⊥(b－c)． 其中正確的命題是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．已知|a|＝5,|b|＝3,且a·b＝－12,則向量a在向量b上的投影等于(　　) A．－4 B．4 C．－ D. 8．設(shè)O,A,M,B為平面上四點(diǎn),＝λ＋(1－λ)·,且λ∈(1,2),則(　　) A．點(diǎn)M在線段AB上 B．點(diǎn)B在線段AM上

4、C．點(diǎn)A在線段BM上 D．O,A,B,M四點(diǎn)共線 9．P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),＝(＋),則△ABC的面積與△ABP的面積之比為(　　) A. B．2 C．3 D．6 10．在△ABC中,＝2,＝2,若＝m＋n,則m＋n等于(　　) A. B. C. D．1 11．已知3a＋4b＋5c＝0,且|a|＝|b|＝|c|＝1,則a·(b＋c)等于(　　) A．－ B．－ C．0 D. 12．定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對任意的a＝(m,n),b

5、＝(p,q),令a⊙b＝mq－np.下面說法錯誤的是(　　) A．若a與b共線,則a⊙b＝0 B．a(chǎn)⊙b＝b⊙a(bǔ) C．對任意的λ∈R,有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13．設(shè)向量a＝(1,2),b＝(2,3),若向量λa＋b與向量c＝(－4,－7)共線,則λ＝________. 14．a(chǎn),b的夾角為120°,|a|＝1,|

6、b|＝3,則|5a－b|＝________. 15．已知向量a＝(6,2),b＝(－4,),直線l過點(diǎn)A(3,－1),且與向量a＋2b垂直,則直線l的方程為________． 16．已知向量＝(2,1),＝(1,7),＝(5,1),設(shè)M是直線OP上任意一點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則·的最小值為________． 三、解答題(本大題共6小題,共70分) 17．(10分)如圖所示,以向量＝a,＝b為邊作?AOBD,又＝,＝,用a,b表示、、. 18．(12分)已知a,b的夾角為120°,且|a|＝4,|b|＝2, 求：(1)(a－2

7、b)·(a＋b)； (2)|a＋b|； (3)|3a－4b|. 19．(12分)已知a＝(,－1),b＝,且存在實(shí)數(shù)k和t,使得x＝a＋(t2－3)b,y＝－ka＋tb,且x⊥y,試求的最小值． 20．(12分)設(shè)＝(2,5),＝(3,1),＝(6,3)．在線段OC上是否存在點(diǎn)M,使MA⊥MB？若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由． 21．(12分)設(shè)兩個向量e1、e2滿足|e1|＝2,|e2|＝1,e1、e2的夾角為60°

8、;,若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 22．(12分)已知線段PQ過△OAB的重心G,且P、Q分別在OA、OB上,設(shè)＝a,＝b,＝ma,＝nb. 求證：＋＝3. 第二章　平面向量(B) 答案 1．B　[∵a∥b,∴4×3－2x＝0,∴x＝6.] 2．C　[∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b |a－b|2＝a2＋b2－2a·b |a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.] 3．A　[∵a與b的夾角大于90°,∴a·b&

9、lt;0,∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0,即3m2－2m－8<0,∴－<m<2.] 4．A　[∵＝＝－＝(－1,－1),∴＝－＝(－1,－1)－(2,4)＝(－3,－5), ∴·＝(－1,－1)·(－3,－5)＝8.] 5．C　[∵a(b－a)＝a·b－|a|2＝2,∴a·b＝3,∴cos〈a,b〉＝＝＝,∴〈a,b〉＝.] 6．B　[由向量共線定理知①正確；若a·b＝0,則a＝0或b＝0或a⊥b,所以②錯誤；在a,b能夠作為基底時,對平面上任意向量,存在實(shí)數(shù)λ,μ使得c＝λa＋μb,所以③錯

10、誤；若a·b＝a·c,則a(b－c)＝0,所以a⊥(b－c),所以④正確,即正確命題序號是①④.] 7．A　[向量a在向量b上的投影為|a|cos〈a,b〉＝|a|·＝＝－＝－4.] 8．B　[∵＝λ＋(1－λ)＝＋λ(－)∴＝λ,λ∈(1,2),∴點(diǎn)B在線段AM上,故選B.] 9．C　[設(shè)△ABC邊BC的中點(diǎn)為D,則＝＝. ∵＝(＋)＝,∴＝,∴||＝||.∴＝3.] 10．B　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋故有m＋n＝＋＝.] 11．B　[由已知得4b＝－3a－5c,將等式兩邊平方得(4b)2＝(－3a－5c)2,化簡得a·c＝－.同理由5c＝

11、－3a－4b兩邊平方得a·b＝0,∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－.] 12．B　[若a＝(m,n)與b＝(p,q)共線,則mq－np＝0,依運(yùn)算“⊙”知a⊙b＝0,故A正確．由于a⊙b＝mq－np,又b⊙a(bǔ)＝np－mq,因此a⊙b＝－b⊙a(bǔ),故B不正確．對于C,由于λa＝(λm,λn),因此(λa)⊙b＝λmq－λnp,又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp,故C正確．對于D,(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a

12、|2|b|2,故D正確．] 13．2 解析　∵a＝(1,2),b＝(2,3), ∴λa＋b＝(λ,2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa＋b與向量c＝(－4,－7)共線, ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 14．7 解析　∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×(－)＝49. ∴|5a－b|＝7. 15．2x－3y－9＝0 解析　設(shè)P(x,y)是直線上任意一點(diǎn),根據(jù)題意,有·(a＋2b)＝(x－3,y＋1)·(－2,

13、3)＝0,整理化簡得2x－3y－9＝0. 16．－8 解析　設(shè)＝t＝(2t,t),故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8,故當(dāng)t＝2時,·取得最小值－8. 17．解?。剑絘－b.∴＝＋＝＋＝＋＝a＋b. 又＝a＋b.＝＋＝＋＝＝a＋b, ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b. 18．解　a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4. (1)(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)

14、＋(－4)－2×22＝12. (2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a＋b|＝2. (3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19, ∴|3a－4b|＝4. 19．解　由題意有|a|＝＝2,|b|＝＝1. ∵a·b＝×－1×＝0,∴a⊥b. ∵x·y＝0,∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0.化簡得k＝. ∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2

15、－.即t＝－2時,有最小值為－. 20．解　設(shè)＝t,t∈[0,1],則＝(6t,3t),即M(6t,3t).＝－＝(2－6t,5－3t), ＝－＝(3－6t,1－3t)．若MA⊥MB,則·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0.即45t2－48t＋11＝0,t＝或t＝.∴存在點(diǎn)M,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)或. 21．解　由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角, 得<0, 即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0. 整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te<0.(*) ∵|e1|＝2,|e2|＝1

16、,〈e1,e2〉＝60°. ∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1 ∴(*)式化簡得：2t2＋15t＋7<0.解得：－7<t<－. 當(dāng)向量2te1＋7e2與e1＋te2夾角為180°時,設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)． 對比系數(shù)得,∴ ∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是∪. 22. 證明　如右圖所示, ∵＝(＋)＝(a＋b), ∴＝＝(a＋b)． ∴＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b. ＝－＝nb－ma. 又P、G、Q三點(diǎn)共線, 所以存在一個實(shí)數(shù)λ,使得＝λ. ∴(－m)a＋b＝λnb－λma, ∴(－m＋λm)a＋(－λn)b＝0. ∵a與b不共線, ∴ 由①②消去λ得：＋＝3.