浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教師用書:第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題5 突破點(diǎn)11 直線與圓 Word版含答案

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專題五平面解析幾何建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系高考點(diǎn)撥平面解析幾何是浙江新高考的重點(diǎn)內(nèi)容,常以“兩小一大”呈現(xiàn),兩小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系雙曲線的圖象和性質(zhì)(有時(shí)考查拋物線的圖象和性質(zhì)),一大題??疾橐詸E圓(或拋物線)為背景的圖象和性質(zhì)問題基于上述分析,本專題將從“直線與圓”“圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)”“圓錐曲線中的綜合問題”三條主線引領(lǐng)復(fù)習(xí)和提升突破點(diǎn)11直線與圓 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第41頁)核心知識(shí)提煉提煉1 圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時(shí),其標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2,特別地,當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),方程為x2y2r2.(2)圓

2、的一般方程x2y2DxEyF0,其中D2E24F0,表示以為圓心,為半徑的圓. 提煉2 求解直線與圓相關(guān)問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)三個(gè)定理:切線的性質(zhì)定理,切線長定理,垂徑定理(2)兩個(gè)公式:點(diǎn)到直線的距離公式d,弦長公式|AB|2(弦心距d)提煉3求距離最值問題的本質(zhì)(1)圓外一點(diǎn)P到圓C上的點(diǎn)距離的最大值為|PC|r,最小值為|PC|r,其中r為圓的半徑(2)圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是dr,最小距離是dr,其中d為圓心到直線的距離,r為圓的半徑(3)過圓內(nèi)一點(diǎn),直徑是最長的弦,與此直徑垂直的弦是最短的弦高考真題回訪回訪1兩條直線的位置關(guān)系1(20xx·浙江高考)設(shè)aR,則“a1”是“

3、直線l1:ax2y10與直線l2:x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件A若直線l1與l2平行,則a(a1)2×10,即a2或a1,所以a1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件2(20xx·浙江高考)若直線x2y50與直線2xmy60互相垂直,則實(shí)數(shù)m_.1直線x2y50與直線2xmy60互相垂直,22m0,m1.回訪2圓的方程3(20xx·浙江高考)已知aR方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓,則圓心坐標(biāo)是_,半徑是_(2,4)5由二元二次方程表示圓的條件可得a2a2,解得a2或1.當(dāng)a2時(shí),

4、方程為4x24y24x8y100,即x2y2x2y0,配方得2(y1)2<0,不表示圓;當(dāng)a1時(shí),方程為x2y24x8y50,配方得(x2)2(y4)225,則圓心坐標(biāo)為(2,4),半徑是5.4(20xx·浙江高考)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2y21,則|2xy4|6x3y|的最大值是_15x2y21,2xy4<0,6x3y>0,|2xy4|6x3y|42xy6x3y103x4y.令z103x4y,如圖,設(shè)OA與直線3x4y0垂直,直線OA的方程為yx.聯(lián)立得A,當(dāng)z103x4y過點(diǎn)A時(shí),z取最大值,zmax103×4×15.5(20xx·浙

5、江高考)如圖11­1,點(diǎn)P(0,1)是橢圓C1:1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長軸是圓C2:x2y24的直徑l1,l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.圖11­1(1)求橢圓C1的方程;(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程解(1)由題意得2分所以橢圓C的方程為y21.5分(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)由題意知直線l1的斜率存在,不妨設(shè)其為k,則直線l1的方程為ykx1.6分又圓C2:x2y24,故點(diǎn)O到直線l1的距離d,所以|AB|22.7分又l2l1,故直線l2的方程為xkyk0.由消

6、去y,整理得(4k2)x28kx0,故x0,所以|PD|.8分設(shè)ABD的面積為S,則S|AB|·|PD|,11分所以S,當(dāng)且僅當(dāng)k±時(shí)取等號(hào)所以所求直線l1的方程為y±x1.15分回訪3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系6(20xx·浙江高考)已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長度為4,則實(shí)數(shù)a的值是()A2B4C6D8B由圓的方程x2y22x2ya0可得,圓心為(1,1),半徑r.圓心到直線xy20的距離為d.由r2d22得2a24,所以a4.7(20xx·浙江高考)直線y2x3被圓x2y26x8y0所截得的弦長等于_4 圓的方程可化為

7、(x3)2(y4)225,故圓心為(3,4),半徑r5.又直線方程為2xy30,所以圓心到直線的距離為d,所以弦長為2 2×24 .8(20xx·浙江高考)如圖11­2,已知拋物線C1:yx2,圓C2:x2(y1)21,過點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過原點(diǎn)O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點(diǎn)圖11­2(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);(2)求PAB的面積解(1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為yk(xt).2分由消去y,整理得x24kx4kt0,由于直線PA與拋物線相切,得kt.3分因此,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t,t2)設(shè)

8、圓C2的圓心為D(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0)由題意知:點(diǎn)B,O關(guān)于直線PD對(duì)稱,故5分解得因此,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.7分(2)由(1)知|AP|t·,直線PA的方程為txyt20.點(diǎn)B到直線PA的距離是d.11分設(shè)PAB的面積為S(t),則S(t)|AP|·d.15分(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第43頁)熱點(diǎn)題型1圓的方程題型分析:求圓的方程是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,常用的方法是待定系數(shù)法或幾何法.【例1】(1)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱,經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),且被x軸分成的兩段弧長之比為12,則圓C的方程為_(2)已知M的圓心在第一象限,過原點(diǎn)O被x軸截得的弦長為6,且與直線3xy0相切,則圓

9、M的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)x22(2)(x3)2(y1)210(1)因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對(duì)稱,所以圓C的圓心C在y軸上,可設(shè)C(0,b),設(shè)圓C的半徑為r,則圓C的方程為x2(yb)2r2.依題意,得解得所以圓C的方程為x22.(2)法一:設(shè)M的方程為(xa)2(yb)2r2(a0,b0,r0),由題意知解得故M的方程為(x3)2(y1)210.法二:因?yàn)閳AM過原點(diǎn),故可設(shè)方程為x2y2DxEy0,又被x軸截得的弦長為6且圓心在第一象限,則232,故D6,與3xy0相切,則,即ED2,因此所求方程為x2y26x2y0.故M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y1)210.方法指津求圓的方程的兩種方法1幾何法,通過

10、研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程2代數(shù)法,即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù)變式訓(xùn)練1(1)(20xx·溫州市普通高中高考模擬考試)圓x2y22y30的圓心坐標(biāo)是_,半徑是_(2)拋物線y24x與過其焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線相交于A,B兩點(diǎn),其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M,則過M,A,B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)(0,1)2(2)(x1)2y24(1)化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,得x2(y1)24,由此知該圓的圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑為2.(2)由題意知,A(1,2),B(1,2),M(1,0),AMB是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形,則線段A

11、B是所求圓的直徑,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y24.熱點(diǎn)題型2直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系題型分析:直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容,解決的方法主要有幾何法和代數(shù)法.【例2】(1)已知直線l:mxy3m0與圓x2y212交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn)若|AB|2,則|CD|_.4由直線l:mxy3m0知其過定點(diǎn)(3,),圓心O到直線l的距離為d.由|AB|2得2()212,解得m.又直線l的斜率為m,所以直線l的傾斜角.畫出符合題意的圖形如圖所示,過點(diǎn)C作CEBD,則DCE.在RtCDE中,可得|CD|2×4.(2)(20xx·金

12、華十校聯(lián)考)如圖11­3,已知圓G:(x2)2y2r2是橢圓y21的內(nèi)接ABC的內(nèi)切圓,其中A為橢圓的左頂點(diǎn)求圓G的半徑r;過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點(diǎn),證明:直線EF與圓G相切圖11­3解設(shè)B(2r,y0),過圓心G作GDAB于D,BC交長軸于H.由得,即y0,2分而B(2r,y0)在橢圓上,y1,3分由式得15r28r120,解得r或r(舍去).5分證明:設(shè)過點(diǎn)M(0,1)與圓(x2)2y2相切的直線方程為ykx1,則,即32k236k50,解得k1,k2.將代入y21得(16k21)x232kx0,則異于零的解為x.8分設(shè)F(x1,k1x11),

13、E(x2,k2x21),則x1,x2,12分則直線FE的斜率為kEF,于是直線FE的方程為y1.即yx,則圓心(2,0)到直線FE的距離d,故結(jié)論成立.15分方法指津1直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運(yùn)算量研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn),兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直,圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式,所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式,過圓外一點(diǎn)求解切線段長可轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)的距離

14、,利用勾股定理計(jì)算2弦長的求解方法(1)根據(jù)平面幾何知識(shí)構(gòu)建直角三角形,把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示,l2(其中l(wèi)為弦長,r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離)(2)根據(jù)公式:l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長,x1,x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo),k為直線的斜率)(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求解變式訓(xùn)練2(1)(20xx·金麗衢十二校高三第二次聯(lián)考)如圖11­4,圓M和圓N與直線l:ykx分別相切于A,B,與x軸相切,并且圓心連線與l交于點(diǎn)C,若|OM|ON|且2,則實(shí)數(shù)k的值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334120】圖11­4A1B.C.D.D分別

15、過點(diǎn)M,N作x軸的垂線,垂足分別為E,F(xiàn).由題意,得MACNBC,由2,知|MA|2|NB|.又由x軸與直線ykx是兩個(gè)圓的公切線知MON90°,|MA|ME|,|NB|NF|,結(jié)合|OM|ON|,知|ME|2|NF|,OMENOF,所以|OF|ME|2|NF|,所以tanNOF,則tanBOFtan 2NOF,故選D.(2)已知點(diǎn)M(1,0),N(1,0),曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N距離的倍求曲線E的方程;已知m0,設(shè)直線l1:xmy10交曲線E于A,C兩點(diǎn),直線l2:mxym0交曲線E于B,D兩點(diǎn)C,D兩點(diǎn)均在x軸下方當(dāng)CD的斜率為1時(shí),求線段AB的長解設(shè)曲線E上任意

16、一點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),由題意,2分整理得x2y24x10,即(x2)2y23為所求.4分由題知l1l2,且兩條直線均恒過點(diǎn)N(1,0),設(shè)曲線E的圓心為E,則E(2,0),線段CD的中點(diǎn)為P,則直線EP:yx2,設(shè)直線CD:yxt,由解得點(diǎn)P.7分由圓的幾何性質(zhì),|NP|CD|,而|NP|222,|ED|23,|EP|22,2232,解得t0或t3,又C,D兩點(diǎn)均在x軸下方,直線CD:yx.由解得或9分設(shè)C,D,由消去y得:(u21)x22(u22)xu210,(*)方程(*)的兩根之積為1,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA2,又因?yàn)辄c(diǎn)C在直線l1:xmy10上,解得m1,11分直線l1:y(1)(x1),所以A(2,1),同理可得,B(2,1),所以線段AB的長為2.15分

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