【人教A版】高中數(shù)學(xué) 3.3.3簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃練習(xí) 新人教A版必修5

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1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 高中數(shù)學(xué) 3.3.3 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃練習(xí) 新人教 A 版必修 5 基礎(chǔ)梳理 1用圖解法求目標(biāo)函數(shù)的最大最小值 當(dāng) x、y 滿足不等式組|x1|1，y0，yx1時(shí),目標(biāo)函數(shù) txy 的最大值是( ) A1 B2 C3 D5 2確定在某點(diǎn)取最優(yōu)解的條件 如圖所示,已知 A(2,4)、B(1,1)、C(4,2),動(dòng)點(diǎn) P(x,y)所在的區(qū)域?yàn)锳BC(包括邊界),若使目標(biāo)函數(shù) zaxy(a0)取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè),則 a 的值等于( ) A1 B.13 C6 D3 基礎(chǔ)梳理 1D 2A 自測(cè)自評(píng) 1已知變量 x,y 滿足不等式組x4y30，3x5y25，x1，則

2、目標(biāo)函數(shù) z2xy 取得最大值時(shí)的最優(yōu)解是( ) A(1,1) B(5,2) C.1，225 C(9,3) 2目標(biāo)函數(shù) zxy,在下圖所示的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界),使 z 取得最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) A(1,1) B(3,2) C(5,2) D(4,1) 3若實(shí)數(shù) x,y 滿足xy10，x0，則yx的取值范圍是( ) A(0,1) B(0,1 C(1,) D1,) 自測(cè)自評(píng) 1解析：點(diǎn)(9,3)不是可行解在其余的三個(gè)可行解中,當(dāng)x2xy經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,2)時(shí),z最大,故選 B. 答案：B 2解析：對(duì)直線yxb進(jìn)行平移,注意b越大,z越小 答案：A 3解析：xy10，x0所表示的可行域如右

3、圖所示,而yx表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率,過(guò)點(diǎn)O與直線AB平行的直線l的斜率為 1,l繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)必與AB相交,直線OB的傾角為 90,因此yx的范圍為(1,) 答案：C 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1設(shè) x,y 滿足條件：x0，yx，4x3y12，則x2y3x1的取值范圍是( ) A1,5 B2,6 C2,10 D3,11 1 解析：x2y3x112y1x1,令y1x1k,則k表示兩點(diǎn)P(x,y)和A(1,1)連線的斜率不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示： 由圖可知：1k5,312k11.故選 D. 答案：D 2(2014新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè) x,y 滿足約束條件xy70，x3y10，3xy50，則

4、 z2xy 的最大值為( ) A10 B8 C3 D2 2解析：畫(huà)出可行域后利用直線在y軸上的截距的幾何意義可求得最值 畫(huà)出可行域如圖所示 由z2xy,得y2xz,欲求z的最大值,可將直線y2x向下平移,當(dāng)經(jīng)過(guò)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),且滿足在y軸上的截距z最小時(shí),即得z的最大值,如圖,可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)z最大,由xy70，x3y10，得x5，y2，即A(5,2),則zmax2528. 答案：B 3不等式(x2y1)(xy3)0 表示的平面區(qū)域是( ) 3解析：將(0,0)代入知不等式成立,又區(qū)域不含邊界,故選 C. 答案：C 4某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物,每箱貨物的體積、重量、可獲利潤(rùn)如下表. 貨物 體

5、積/m3 重量/t 利潤(rùn)/元 甲 5 2 2 000 乙 4 5 1 000 若托運(yùn)貨物的總量體積不超過(guò) 24 m3,重量不超過(guò) 13 t,為了獲得最大利潤(rùn),則甲、乙兩種貨物應(yīng)各托運(yùn)的箱數(shù)為( ) A4,1 B3,2 C1,4 D2,4 4解析：設(shè)甲、乙兩種貨物各托運(yùn)x,y箱, 則5x4y24，2x5y13，z2 000 x1 000y.x，yN， 由5x4y24，2x5y13，得M(4,1) 作出可行域,當(dāng)z2 000 x1 000y經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí),zmax9 000.故選 A. 答案：A 5(2014浙江卷)當(dāng)實(shí)數(shù) x,y 滿足x2y40，xy10，x1時(shí),1axy4 恒成立,則實(shí)數(shù) a的取值

6、范圍是_ 5解析：先畫(huà)出可行域,然后利用數(shù)形結(jié)合確定出最值,進(jìn)一步求出a的值 畫(huà)可行域如圖所示,設(shè)目標(biāo)函數(shù)zaxy,即yaxz,要使 1z4 恒成立,則a0,數(shù)形結(jié)合知,滿足12a14，1a4即可,解得 1a32. 所以a的取值范圍是1，32. 答案：1，32 鞏固提高 6當(dāng) x,y 滿足條件|x|y|1 時(shí),變量 uxy3的取值范圍是( ) A(3,3) B.13，13 C.13，13 D.13，0 0，13 6解析：不等式|x|y|1 表示的平面區(qū)域如右圖所示： 令ky3x,則k表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)與A(0,3)的連線的斜率,|k|3,1|k|13. 又x0 時(shí),u0,|u|1313

7、u13.故選 B. 答案：B 7設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)滿足（xy1）（xy4）0，x3，y1，則 x2y2的最小值為( ) A. 5 B. 10 C.172 D10 7D 8在坐標(biāo)平面內(nèi),求不等式組yx1，y3|x|1所表示的平面區(qū)域的面積 8解析：畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示 在yx1 中,令x0,得y1,D(0,1) 在y3|x|1 中,令x0,得y1,C(0,1) 由yx1，y3x1，得A12，12. 由yx1，y3x1，得B(1,2) SCDA2121212,SCDB21121. 所求區(qū)域面積為SABCSCDASCDB32. 9 某商場(chǎng)為使銷售空調(diào)和冰箱獲得的總利潤(rùn)達(dá)到最大,對(duì)即

8、將出售的空調(diào)和冰箱相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)查,得出下表： 資金 每臺(tái)空調(diào)或 冰箱所需資金/百元 空調(diào) 冰箱 月資金供應(yīng)數(shù)量 /百元 成本 30 20 300 工人工資 5 10 110 每臺(tái)利潤(rùn) 6 8 問(wèn)：該商場(chǎng)怎樣確定空調(diào)或冰箱的月供應(yīng)量,才能使總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 9解析：設(shè)空調(diào)和冰箱的月供應(yīng)量分別為x,y臺(tái),月總利潤(rùn)為z百元,則30 x20y300，5x10y110，x，yN*， z6x8y,作出可行域(如圖所示) y34xz8,表示縱截距為z8,斜率為k34的直線,當(dāng)z最大時(shí)z8最大,此時(shí),直線y34xz8必過(guò)四邊形區(qū)域的頂點(diǎn) 由30 x20y300，5x10y110得交點(diǎn)(4,9)x

9、,y分別為 4,9 時(shí),zmax6x8y96(百元) 空調(diào)和冰箱的月供應(yīng)量分別為 4 臺(tái)、9 臺(tái)時(shí),月總利潤(rùn)最大,最大值為 96 百元 10某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗,已知生產(chǎn)甲種棉紗 1 噸需耗一級(jí)子棉 2 噸、二級(jí)子棉 1 噸； 生產(chǎn)乙種棉紗需耗一級(jí)子棉 1 噸、 二級(jí)子棉 2 噸,每 1 噸甲種棉紗的利潤(rùn)是 600 元,每 1 噸乙種棉紗的利潤(rùn)是 900 元,工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計(jì)劃中要求消耗一級(jí)子棉不超過(guò)300 噸、二級(jí)子棉不超過(guò) 250 噸甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到噸),能使利潤(rùn)總額最大？ 10解析：將已知數(shù)據(jù)列成下表,設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸,利潤(rùn)總額為z元,

10、 那么2xy300，x2y250，x0，y0， z600 x900y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域(如下圖),即可行域 作直線l： 600 x900y0,即直線l： 2x3y0,把直線l向右上方平移至l1的位置時(shí),直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M,且與原點(diǎn)距離最大,此時(shí)z600 x900y取最大值解方程組2xy300，x2y250得M的坐標(biāo)為x3503117,y200367. 故應(yīng)生產(chǎn)甲種棉紗 117 噸,乙種棉紗 67 噸,能使利潤(rùn)總額達(dá)到最大 要完成一項(xiàng)確定的任務(wù),如何統(tǒng)籌安排,盡量做到用最少的資源去完成它,這是線性規(guī)劃中最常見(jiàn)的問(wèn)題之一；資源數(shù)量一定,如何安排使用它們,使得效益最好,這是線性規(guī)劃中常見(jiàn)的問(wèn)題之二解決這類問(wèn)題的思路和方法為： 1 準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的已知條件,找出約束條件和目標(biāo)函數(shù),應(yīng)分清已知條件中,哪些屬于約束條件,哪些與目標(biāo)函數(shù)有關(guān),并列出正確的不等式組 2由二元一次不等式表示的平面區(qū)域畫(huà)出可行域 3在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解 4根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解,即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解 另外,線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、 最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得,也可能在可行域的邊界上取得,即滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)要準(zhǔn)確理解 z 的幾何意義