高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版文科: 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第8節(jié) 函數(shù)與方程學案 文 北師大版

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第八節(jié) 函數(shù)與方程 [考綱傳真] 結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù). (對應學生用書第24頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的定義 函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數(shù)的零點. (2)幾個等價關(guān)系 方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點. (3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理) 若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]

2、上的圖像是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反,即f(a)f(b)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)至少有一個零點,即相應的方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解. 2.二分法 每次取區(qū)間的中點,將區(qū)間一分為二,再經(jīng)比較,按需要留下其中一個小區(qū)間的方法稱為二分法. 3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點的關(guān)系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函數(shù) y=ax2+bx+c (a>0)的圖像 與x軸的交點 (x1,0), (x2,0) (x1,0) 無交點 零點個數(shù) 2 1 0 [知識拓展]

3、 1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線,則“f(a)f(b)<0”是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點的充分不必要條件. 2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù),且f(a)f(b)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個零點. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖像與x軸的交點.(  ) (2)函數(shù)y=f(x),x∈D在區(qū)間(a,b)?D內(nèi)有零點(函數(shù)圖像連續(xù)不斷),則f(a)f(b)<0.(  ) (3)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)且f(a)f(b)<0

4、,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有且只有一個零點.(  ) (4)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在b2-4ac<0時沒有零點.(  ) [答案] (1) (2) (3) (4)√ 2.(教材改編)函數(shù)f(x)=ex+3x的零點個數(shù)是(  ) A.0     B.1     C.2     D.3 B [∵f(-1)=-3<0,f(0)=1>0, ∴f(x)在(-1,0)內(nèi)有零點, 又f(x)為增函數(shù),∴函數(shù)f(x)有且只有一個零點.] 3.(20xx安徽高考)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點的是(  ) A.y=cos x B.y=sin x C.y=ln

5、x D.y=x2+1 A [由于y=sin x是奇函數(shù);y=ln x是非奇非偶函數(shù),y=x2+1是偶函數(shù)但沒有零點,只有y=cos x是偶函數(shù)又有零點.] 4.(20xx江西贛中南五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=3x-x2的零點所在區(qū)間是(  ) A.(0,1) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-1,0) D [∵f(-2)=-,f(-1)=-, f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5, ∴f(0)f(1)>0,f(1)f(2)>0, f(-2)f(-1)>0,f(-1)f(0)<0,故選D.] 5.函數(shù)f(x)=ax+1-2a在區(qū)間(-1,1)上存在一個零

6、點,則實數(shù)a的取值范圍是________.  [∵函數(shù)f(x)的圖像為直線, 由題意可得f(-1)f(1)<0, ∴(-3a+1)(1-a)<0,解得<a<1, ∴實數(shù)a的取值范圍是.] (對應學生用書第25頁) 函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷  (1)若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區(qū)間(  ) A.(a,b)和(b,c)內(nèi)     B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi) C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi) D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi) (2)(20xx唐山模擬)設(shè)x0是方程x=的解,則

7、x0所在的范圍是(  ) A. B. C. D. (1)A (2)B [(1)∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 由函數(shù)零點存在性定理可知:在區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi)分別存在零點,又函數(shù)f(x)是二次函數(shù),最多有兩個零點;因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi),故選A. (2)構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-, 因為f(0)=0-=1>0, f=-=->0,f=-=-<0.所以由零點存在性定理可得函數(shù)f(x)=x-在上存在零點,即x0∈,故選B.]

8、 [規(guī)律方法] 判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法: 判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點,要根據(jù)具體題目靈活處理,當能直接求出零點時,就直接求出進行判斷;當不能直接求出時,可根據(jù)零點存在性定理判斷;當用零點存在性定理也無法判斷時,可畫出圖像判斷. [變式訓練1] (1)已知函數(shù)f(x)=ln x-x-2的零點為x0,則x0所在的區(qū)間是 (  ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) (2)(20xx衡陽模擬)已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),g(x)=[x]為取整函數(shù),x0是函數(shù)f(x)=ln x-的零點,則g(x0)等于(  ) 【導學號:00090

9、044】 A.1 B.2 C.3 D.4 (1)C (2)B [(1)∵f(x)=ln x-x-2在(0,+∞)上是增函數(shù), 又f(1)=ln 1--1=ln 1-2<0, f(2)=ln 2-0<0, f(3)=ln 3-1>0, ∴x0∈(2,3),故選C. (2)f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->0,則x0∈(2,3),故g(x0)=2.] 判斷函數(shù)零點的個數(shù)  (1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為(  ) A.1     B.2 C.3     D.4 (2)(20xx秦皇島模擬)函數(shù)f(x)

10、=的零點個數(shù)是________. (1)B (2)3 [(1)令f(x)=2x|log0.5x|-1=0, 可得|log0.5x|=x. 設(shè)g(x)=|log0.5x|,h(x)=x,在同一坐標系下分別畫出函數(shù)g(x),h(x)的圖像,可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖像一定有2個交點,因此函數(shù)f(x)有2個零點. (2)當x>0時,作函數(shù)y=ln x和y=x2-2x的圖像, 由圖知,當x>0時,f(x)有2個零點; 當x≤0時,由f(x)=0得x=-, 綜上,f(x)有3個零點.] [規(guī)律方法] 判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法: (1)解方程法:所對應方程f(x)=0有幾

11、個不同的實數(shù)解就有幾個零點. (2)零點存在性定理法:利用零點存在性定理并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進行判斷. (3)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖像,看其交點的個數(shù),其中交點的個數(shù),就是函數(shù)零點的個數(shù). [變式訓練2] (1)(20xx湖北高考)函數(shù)f(x)=2sin xsinx+-x2的零點個數(shù)為________. (2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當x∈[0,1]時,f(x)=x,則方程f(x)=log3|x|的解的個數(shù)是(  ) A.0 B.2 C.4 D.6 (1)2 (2)C [(1)f(x)=2sin

12、 xsin-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,由f(x)=0,得sin 2x=x2. 設(shè)y1=sin 2x,y2=x2,在同一平面直角坐標系中畫出二者的圖像,如圖所示. 由圖像知,兩個函數(shù)圖像有2個交點,故函數(shù)f(x)有兩個零點. (2)畫出周期函數(shù)f(x)和y=log3|x|的圖像,如圖所示,則方程f(x)=log3|x|的解的個數(shù)是4. ] 函數(shù)零點的應用  (20xx昆明模擬)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=f(x),且在區(qū)間[0,2]上f(x)=x,若關(guān)于x的方程f(x)=logax有三個不同的實根,求a的取值范圍.

13、[思路點撥] 先作出函數(shù)f(x)的圖像,根據(jù)方程有三個不同的根,確定應滿足的條件. [解] 由f(x-4)=f(x)知,函數(shù)的周期為4,又函數(shù)為偶函數(shù),所以f(x-4)=f(x)=f(4-x), 所以函數(shù)圖像關(guān)于x=2對稱,且f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=logax有三個不同的根, 則滿足如圖,即解得<a<. 故a的取值范圍是(,). [規(guī)律方法] 已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法 (1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍; (2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決; (

14、3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖像,然后數(shù)形結(jié)合求解. [變式訓練3] (1)函數(shù)f(x)=2x--a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是(  ) 【導學號:00090045】 A.(1,3)    B.(1,2) C.(0,3)    D.(0,2) (2)(20xx山東高考)已知函數(shù)f(x)=其中m>0.若存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根,則m的取值范圍是________. (1)C (2)(3,+∞) [(1)∵函數(shù)f(x)=2x--a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)=2x--a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則有f(1)f(2)<0,∴(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,∴0<a<3. (2)作出f(x)的圖像如圖所示.當x>m時,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三個不同的根,則有4m-m20.又m>0,解得m>3.]

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