《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程學(xué)案 文 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程學(xué)案 文 北師大版(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第八節(jié) 函數(shù)與方程
[考綱傳真] 結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù).
(對應(yīng)學(xué)生用書第24頁)
[基礎(chǔ)知識填充]
1.函數(shù)的零點(diǎn)
(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義
函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個函數(shù)的零點(diǎn).
(2)幾個等價關(guān)系
方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).
(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)
若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]
2、上的圖像是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號相反,即f(a)f(b)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)至少有一個零點(diǎn),即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解.
2.二分法
每次取區(qū)間的中點(diǎn),將區(qū)間一分為二,再經(jīng)比較,按需要留下其中一個小區(qū)間的方法稱為二分法.
3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函數(shù)
y=ax2+bx+c
(a>0)的圖像
與x軸的交點(diǎn)
(x1,0),
(x2,0)
(x1,0)
無交點(diǎn)
零點(diǎn)個數(shù)
2
1
0
[知識拓展]
3、
1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線,則“f(a)f(b)<0”是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件.
2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù),且f(a)f(b)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個零點(diǎn).
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”)
(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn).( )
(2)函數(shù)y=f(x),x∈D在區(qū)間(a,b)?D內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷),則f(a)f(b)<0.( )
(3)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)且f(a)f(b)<0
4、,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有且只有一個零點(diǎn).( )
(4)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在b2-4ac<0時沒有零點(diǎn).( )
[答案] (1) (2) (3) (4)√
2.(教材改編)函數(shù)f(x)=ex+3x的零點(diǎn)個數(shù)是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
B [∵f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,
∴f(x)在(-1,0)內(nèi)有零點(diǎn),
又f(x)為增函數(shù),∴函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn).]
3.(20xx安徽高考)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是( )
A.y=cos x B.y=sin x
C.y=ln
5、x D.y=x2+1
A [由于y=sin x是奇函數(shù);y=ln x是非奇非偶函數(shù),y=x2+1是偶函數(shù)但沒有零點(diǎn),只有y=cos x是偶函數(shù)又有零點(diǎn).]
4.(20xx江西贛中南五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=3x-x2的零點(diǎn)所在區(qū)間是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(-2,-1) D.(-1,0)
D [∵f(-2)=-,f(-1)=-,
f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,
∴f(0)f(1)>0,f(1)f(2)>0,
f(-2)f(-1)>0,f(-1)f(0)<0,故選D.]
5.函數(shù)f(x)=ax+1-2a在區(qū)間(-1,1)上存在一個零
6、點(diǎn),則實數(shù)a的取值范圍是________.
[∵函數(shù)f(x)的圖像為直線,
由題意可得f(-1)f(1)<0,
∴(-3a+1)(1-a)<0,解得<a<1,
∴實數(shù)a的取值范圍是.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第25頁)
函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷
(1)若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間( )
A.(a,b)和(b,c)內(nèi) B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)
C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi) D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)
(2)(20xx唐山模擬)設(shè)x0是方程x=的解,則
7、x0所在的范圍是( )
A. B.
C. D.
(1)A (2)B [(1)∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,
由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi)分別存在零點(diǎn),又函數(shù)f(x)是二次函數(shù),最多有兩個零點(diǎn);因此函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi),故選A.
(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-,
因為f(0)=0-=1>0,
f=-=->0,f=-=-<0.所以由零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)f(x)=x-在上存在零點(diǎn),即x0∈,故選B.]
8、
[規(guī)律方法] 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法:
判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點(diǎn),要根據(jù)具體題目靈活處理,當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時,就直接求出進(jìn)行判斷;當(dāng)不能直接求出時,可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷;當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無法判斷時,可畫出圖像判斷.
[變式訓(xùn)練1] (1)已知函數(shù)f(x)=ln x-x-2的零點(diǎn)為x0,則x0所在的區(qū)間是
( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
(2)(20xx衡陽模擬)已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),g(x)=[x]為取整函數(shù),x0是函數(shù)f(x)=ln x-的零點(diǎn),則g(x0)等于( ) 【導(dǎo)學(xué)號:00090
9、044】
A.1 B.2
C.3 D.4
(1)C (2)B [(1)∵f(x)=ln x-x-2在(0,+∞)上是增函數(shù),
又f(1)=ln 1--1=ln 1-2<0,
f(2)=ln 2-0<0,
f(3)=ln 3-1>0,
∴x0∈(2,3),故選C.
(2)f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->0,則x0∈(2,3),故g(x0)=2.]
判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)
(1)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)(20xx秦皇島模擬)函數(shù)f(x)
10、=的零點(diǎn)個數(shù)是________.
(1)B (2)3 [(1)令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,
可得|log0.5x|=x.
設(shè)g(x)=|log0.5x|,h(x)=x,在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x),h(x)的圖像,可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖像一定有2個交點(diǎn),因此函數(shù)f(x)有2個零點(diǎn).
(2)當(dāng)x>0時,作函數(shù)y=ln x和y=x2-2x的圖像,
由圖知,當(dāng)x>0時,f(x)有2個零點(diǎn);
當(dāng)x≤0時,由f(x)=0得x=-,
綜上,f(x)有3個零點(diǎn).]
[規(guī)律方法] 判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法:
(1)解方程法:所對應(yīng)方程f(x)=0有幾
11、個不同的實數(shù)解就有幾個零點(diǎn).
(2)零點(diǎn)存在性定理法:利用零點(diǎn)存在性定理并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.
(3)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖像,看其交點(diǎn)的個數(shù),其中交點(diǎn)的個數(shù),就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).
[變式訓(xùn)練2] (1)(20xx湖北高考)函數(shù)f(x)=2sin xsinx+-x2的零點(diǎn)個數(shù)為________.
(2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,則方程f(x)=log3|x|的解的個數(shù)是( )
A.0 B.2
C.4 D.6
(1)2 (2)C [(1)f(x)=2sin
12、 xsin-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,由f(x)=0,得sin 2x=x2.
設(shè)y1=sin 2x,y2=x2,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出二者的圖像,如圖所示.
由圖像知,兩個函數(shù)圖像有2個交點(diǎn),故函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn).
(2)畫出周期函數(shù)f(x)和y=log3|x|的圖像,如圖所示,則方程f(x)=log3|x|的解的個數(shù)是4.
]
函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
(20xx昆明模擬)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=f(x),且在區(qū)間[0,2]上f(x)=x,若關(guān)于x的方程f(x)=logax有三個不同的實根,求a的取值范圍.
13、[思路點(diǎn)撥] 先作出函數(shù)f(x)的圖像,根據(jù)方程有三個不同的根,確定應(yīng)滿足的條件.
[解] 由f(x-4)=f(x)知,函數(shù)的周期為4,又函數(shù)為偶函數(shù),所以f(x-4)=f(x)=f(4-x),
所以函數(shù)圖像關(guān)于x=2對稱,且f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=logax有三個不同的根,
則滿足如圖,即解得<a<.
故a的取值范圍是(,).
[規(guī)律方法] 已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法
(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決;
(
14、3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖像,然后數(shù)形結(jié)合求解.
[變式訓(xùn)練3] (1)函數(shù)f(x)=2x--a的一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是( ) 【導(dǎo)學(xué)號:00090045】
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
(2)(20xx山東高考)已知函數(shù)f(x)=其中m>0.若存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根,則m的取值范圍是________.
(1)C (2)(3,+∞) [(1)∵函數(shù)f(x)=2x--a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)=2x--a的一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則有f(1)f(2)<0,∴(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,∴0<a<3.
(2)作出f(x)的圖像如圖所示.當(dāng)x>m時,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三個不同的根,則有4m-m20.又m>0,解得m>3.]