高考數(shù)學理二輪復習教師用書:第1部分 重點強化專題 專題2 第4講 數(shù)列求和 Word版含答案

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1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第4講數(shù)列求和題型1數(shù)列中an與Sn的關系(對應學生用書第11頁)核心知識儲備1數(shù)列an中,an與Sn的關系:an2求數(shù)列an通項的方法:(1)疊加法形如anan1f(n)(n2)的數(shù)列應用疊加法求通項公式,ana1f(k)(和可求)(2)疊乘法形如f(n)(n2)的數(shù)列應用疊乘法求通項公式,ana1(積可求)(3)待定系數(shù)法形如anan1(n2,1,0)的數(shù)列應用待定系數(shù)法求通項公式,an典題試解尋法【典題1】(考查已知an與Sn的遞推關系求Sn)已知數(shù)列an滿足an13an2.若首項a12,則數(shù)列an的前n項和Sn_.解析因為an13an2,所以an113

2、(an1),故an1是以a113為首項,3為公比的等比數(shù)列,所以an13n,所以an3n1.Sna1a2an(311)(321)(3n1)(31323n)nnn,所以Snn.答案【典題2】(考查已知an與Sn的遞推關系求an)數(shù)列an中,a11,Sn為數(shù)列an的前n項和,且滿足1(n2)求數(shù)列an的通項公式解由已知,當n2時,1,所以1,即1,所以.又S1a11,所以數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,所以1(n1),即Sn.所以當n2時,anSnSn1.因此an類題通法給出Sn與an的遞推關系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)轉化為an的遞推關系,再求其通項公式;二是轉化為Sn

3、的遞推關系,先求出Sn與n之間的關系,再求an.提醒:在利用anSnSn1(n2)求通項公式時,務必驗證n1時的情形對點即時訓練1已知數(shù)列an滿足an1,若a1,則a2 018()A1BC1D2D由a1,an1,得a22,a31,a4,a52,于是歸納可得a3n2,a3n12,a3n1,因此a2 018a367222.故選D.2已知數(shù)列an前n項和為Sn,若Sn2an2n ,則Sn_.n2n(nN*)由Sn2an2n得當n1時,S1a12;當n2時,Sn2(SnSn1)2n,即1,所以數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,則n,Snn2n(n2),當n1時,也符合上式,所以Snn2n(nN*)題

4、型強化集訓(見專題限時集訓T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T10、T11、T12)題型2裂項相消法求和(答題模板)(對應學生用書第12頁)裂項相消法是指把數(shù)列與式中的各項分別裂開后,某些項可以相互抵消從而求和的方法,主要適用于或(其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和(20xx全國卷T15、20xx全國卷T17、20xx全國卷T16)典題試解尋法【典題】(本小題滿分12分)(20xx全國卷)Sn為數(shù)列an的前n項和已知an0,.(1)求an的通項公式;(2)設,求數(shù)列bn的前n項和. 【導學號:07804027】審題指導題眼挖掘關鍵信息看到a2an4Sn3,想到a2an14Sn13,兩

5、式作差,求an.看到bn,想到先求bn,想到能否裂項.規(guī)范解答(1)由a2an4Sn3,可知.1分兩式相減可得aa2(an1an)4an1,2分即.由于,所以an1an2.4分又由a2a14a13,解得a11(舍去)或a13.5分所以an是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為an2n1.6分(2)由an2n1可知bn.8分設數(shù)列bn的前n項和為Tn,則Tnb1b2bn.12分閱卷者說易錯點防范措施忽視an與Sn的關系導致思路不清.anSnSn1(n2)是聯(lián)系an與Sn的橋梁,常借助其實現(xiàn)互化關系.忽視化簡、因式分解致誤.當?shù)仁街谐霈F(xiàn)二元二次方程時,常考慮因式分解.忽視題設條件an0,導致增

6、解.對題設條件可適當標注,以引起注意,同時解題后要反思總結.忽視裂項或裂項后與原式不等價.形如的數(shù)列常用裂項相消法求和,裂項后要注意系數(shù)的變化.類題通法裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1,kN*)的形式,常見的裂項方式有:提醒:在裂項變形時,務必注意裂項前的系數(shù).對點即時訓練(20xx鄭州第三次質量預測)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a12,且滿足Snan1n1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若bnlog3(an1),設數(shù)列的前n項和為Tn,求證:Tn.解(1)由Snan1n1(nN*),得Sn1ann(n2,nN*),兩式相減,并化簡,得an13an2,

7、即an113(an1),又a112130,所以an1是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列,所以an1(3)3n13n.故an3n1.(2)證明:由bnlog3(an1)log33nn,得,Tn.題型強化集訓(見專題限時集訓T6、T9、T13)題型3錯位相減法求和(對應學生用書第13頁)核心知識儲備錯位相減法:用于等差數(shù)列an,等比數(shù)列bn構成的數(shù)列anbn,乘公比q作差典題試解尋法【典題】設數(shù)列an滿足a13a232a33n1an,nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設bn,求數(shù)列bn的前n項和Sn. 【導學號:07804028】解(1)因為a13a232a33n1an,所以當n2時,a13

8、a232a33n2an1,由得3n1an,所以an(n2)在中,令n1,得a1,適合an,所以an(nN*)(2)證明:由(1)可得bnn3n,Sn131232333n3n,3Sn132233334n3n1,由得2Sn33233343nn3n1n3n1,故Sn.類題通法 用錯位相減法求和時,應注意:(1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”,以便于下一步準確地寫出“SnqSn”的表達式.(3)應用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1,如果不能確定公比q是否為1,應分兩種情況進行討論,這在以前的高考中經(jīng)???/p>

9、查.對點即時訓練已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,公比q0,S22a22,S3a42.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設bn,求bn的前n項和Tn.解(1)S22a22,S3a42,得a3a42a2,則q2q20,又q0,q2.S22a22,a1a22a22,a1a1q2a1q2,a12.an2n.(2)由(1)知bn,Tn,Tn.錯位相減得Tn,可得Tn2.題型強化集訓(見專題限時集訓T14)三年真題| 驗收復習效果(對應學生用書第14頁)1(20xx全國卷)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動這款軟件的激活碼

10、為下面數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是()A440B330C220D110A設首項為第1組,接下來的兩項為第2組,再接下來的三項為第3組,依此類推,則第n組的項數(shù)為n,前n組的項數(shù)和為.由題意知,N100,令100n14且nN*,即N出現(xiàn)在第13組之后第n組的各項和為2n1,前n組所有項的和為n2n12n.設N是第n1組的第k項,若要使前N項和為2的整數(shù)冪,則N項的和即

11、第n1組的前k項的和2k1應與2n互為相反數(shù),即2k12n(kN*,n14),klog2(n3)n最小為29,此時k5,則N5440.故選A.2(20xx全國卷)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a33,S410,則_. 【導學號:07804029】設等差數(shù)列an的公差為d,則由得Snn11,2.22.3(20xx全國卷)設Sn是數(shù)列an的前n項和,且a11,an1SnSn1,則Sn_.an1Sn1Sn,an1SnSn1,Sn1SnSnSn1.Sn0,1,即1.又1,是首項為1,公差為1的等差數(shù)列1(n1)(1)n,Sn.4.(20xx全國卷)Sn為等差數(shù)列an的前n項和,且a11,S728.記bnlg an,其中x表示不超過x的最大整數(shù),如0.90,lg 991.(1)求b1,b11,b101;(2)求數(shù)列bn的前1 000項和解(1)設an的公差為d,據(jù)已知有721d28,解得d1.所以an的通項公式為ann.b1lg 10,b11lg 111,b101lg 1012.(2)因為bn所以數(shù)列bn的前1 000項和為1902900311 893.

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