高考數(shù)學理二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題4 第10講　立體幾何中的向量方法 Word版含答案

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1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第10講立體幾何中的向量方法題型1向量法求線面角(對應學生用書第33頁)核心知識儲備1兩條異面直線的夾角(1)兩異面直線的夾角.(2)設直線l1，l2的方向向量為s1，s2，則cos |coss1，s2|.2直線與平面的夾角(1)直線與平面的夾角.(2)設直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，則sin |cosa，n|.典題試解尋法【典題】(20xx全國卷)如圖101，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點圖101(1)證明MN平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的

2、正弦值. 【導學號：07804072】解(1)證明：由已知得AMAD2.如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC的中點知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中點E，連接AE.由ABAC得AEBC，從而AEAD，且AE.以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.由題意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.設n(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.所以直

3、線AN與平面PMN所成角的正弦值為.類題通法 向量法求線面角的一般步驟1.建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求出相關點的坐標.2.寫出相關向量的坐標.3.求平面的法向量.4.求線面角的正弦值.5.轉(zhuǎn)化為幾何結論.提醒：直線和平面所成角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值，即注意函數(shù)名稱的變化.對點即時訓練如圖102，菱形ABCD中，ABC60，AC與BD相交于點O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.圖102(1)求證：BD平面ACFE；(2)當直線FO與平面BED所成的角為45時，求異面直線OF與BE所成的角的余弦值大小解(1)證明：四邊形ABCD是菱形，BDAC.AE平面A

4、BCD，BD平面ABCD，BDAE.ACAEA，BD平面ACFE.(2)以O為原點，的方向為x，y軸正方向，過O且平行于CF的直線為z軸(向上為正方向)，建立空間直角坐標系，則B(0，0)，D(0，0)，E(1,0,2)，F(xiàn)(1,0，a)(a0)，(1,0，a)設平面EBD的法向量為n(x，y，z)，則有，即，令z1，則n(2,0,1)，由題意得sin 45|cos，n|，解得a3或.由a0，得a3，(1,0,3)，(1，2)，cos，故異面直線OF與BE所成的角的余弦值為.題型強化集訓(見專題限時集訓T1)題型2向量法求二面角(答題模板)(對應學生用書第34頁)利用向量法求二面角的大小是高考

5、對立體幾何的常規(guī)考法，它以代數(shù)運算代替抽象的思維，給立體幾何帶來了鮮活的方法，此類問題建系是突破口，求解的關鍵是平面的法向量(20xx全國卷T18,20xx全國卷T19,20xx全國卷T19,20xx全國卷T18,20xx全國卷T19,20xx全國卷T19,20xx全國卷T18)典題試解尋法【典題】(本小題滿分12分)(20xx全國卷)如圖103，四棱錐PABCD中，側面且，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中點圖103(1)(2)點，且，. 【導學號：07804073】審題指導題眼挖掘關鍵信息看到PAD為等邊三角形，想到等邊三角形的有關性質(zhì).看到PAD垂直于底面ABCD，想到面面垂直

6、的性質(zhì).看到證明直線CE平面PAB，想到線面平行的判定或面面平行的性質(zhì).看到M在棱PC上，想到P，M，C三點共線，想到點M的設法.看到直線BM與底面ABCD所成角為45，想到線面角的求法，想到平面法向量的計算方法.看到求二面角MABD的余弦值，想到求平面MAB與平面ABD的法向量.規(guī)范解答(1)證明：，連接EF，BF.因為E是PD的中點，所以EFAD，EFAD.2分由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF.4分又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，|為單位長度，建立如

7、圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0).7分設M(x，y，z)(0x1)，則 (x1，y，z)，(x，y1，z)因為BM與底面ABCD所成的角為45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20.8分則x，y1，z.由解得(舍去)，或所以M，從而.10分設m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則即所以可取m(0，2).11分于是cosm，n.因此二面角MABD的余弦值為.12分閱卷者說易錯點防范措施因空間想象力不足，導致不會作輔助線，進而導致(

8、1)無法證明.當題設條件出現(xiàn)邊的中點，要證明線面平行時，常取另一個邊的中點，構造平行關系.因?qū)D形和立體幾何的理論體系不熟，導致不會建系，進而不會求二面角的余弦值.熟知常見的空間直角坐標系的建法，結合已知的圖形中的垂直關系建系，如本題也可以AD的中點為坐標原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸建系.因?qū)ο蛄抗簿€知識不熟，導致點M的坐標計算不出，致使(2)無法求解.點M在棱PC上，則(01).通性通法 向量法求二面角的方法(1)若n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos |.然后利用圖形判斷二面角是銳角或鈍角.(2)若AB，CD是二面角l的兩個半平面內(nèi)與棱l垂

9、直的直線，則二面角的大小為與的夾角或其補角.對點即時訓練(20xx安徽馬鞍山模擬)已知四棱錐PABCD中，如圖104，底面ABCD是梯形，BC AD，ABAD，且ABBC1，AD2，頂點P在平面ABCD內(nèi)的射影H在AD上，PAPD.圖104(1)求證：平面PAB平面PAD；(2)若直線AC與PD所成角為60，求二面角APCD的余弦值. 【導學號：07804074】解(1)證明：PH平面ABCD，AB平面ABCD，PHAB.ABAD，ADPHH，AD，PH平面PAD，AB平面PAD.又AB平面PAB，平面PAB平面PAD.(2)以A為原點，建立空間直角坐標系Axyz，如圖，PH平面ABCD，z軸

10、PH.則A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，設AHa，PHh(0a2，h0)則P(0，a，h)(0，a，h)，(0，a2，h)，(1,1,0)PAPD，a(a2)h20.AC與PD所成角為60，|cos，| ，(a2)2h2，(a2)(a1)0，0a2，a1.h0，h1，P(0,1,1)(0,1,1)，(1,1,0)，(1,0，1)，(1，1,0)，設平面APC的法向量為n(x，y，z)，由，得平面APC的一個法向量為n(1，1,1)，設平面DPC的法向量為m(x，y，z)由，得平面DPC的一個法向量為m(1,1,1)cosm，n.二面角APCD的平面角為鈍角，二面角APCD

11、的余弦值為.題型強化集訓(見專題限時集訓T2、T4)題型3利用空間向量求解探索性問題(對應學生用書第36頁)核心知識儲備立體幾何中探索性問題的種類及其求法(1)立體幾何中的探索性題目主要有兩類：一是利用空間線面關系的判定與性質(zhì)定理進行推理探究，二是對幾何體的空間角、距離和體積等的研究(2)其解決方法多通過求角、距離、體積等把這些問題轉(zhuǎn)化為關于某個參數(shù)的方程問題，根據(jù)方程解的存在性來解決典題試解尋法【典題】如圖105(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AD1，BC2，E為CD上一點，且DE1，EC2，現(xiàn)沿BE折疊使平面BCE平面ABED，F(xiàn)為BE的中點，如圖105(2)圖105(1

12、)圖105(2)(1)求證：AE平面BCE；(2)能否在邊AB上找到一點P，使平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為？若存在，試確定點P的位置；若不存在，請說明理由思路分析(1)證明AEBEAE平面BCE；(2)證明CF平面ABED求點A，C，E，F(xiàn)的坐標由兩平面所成角的余弦值為確定P的位置解(1)證明：在直角梯形ABCD中作DMBC于M，連接AE，則CM211，CDDECE123，則DMAB2，cos C，則BE，AE，所以AE2BE2AB2，故AEBE，且折疊后AE與BE位置關系不變又平面BCE平面ABED，且平面BCE平面ABEDBE，所以AE平面BCE.(2)連接CF，因為在BCE中，

13、BCCE2，F(xiàn)為BE的中點，所以CFBE.又平面BCE平面ABED，且平面BCE平面ABEDBE，所以CF平面ABED.以F為坐標原點，過點F且平行于AE的直線為x軸，F(xiàn)B，F(xiàn)C所在直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Fxyz，則F(0,0,0)，A，C，E，從而，.設平面ACE的法向量為m(x1，y1，z1)，則即令z11，則x10，y1，可得平面ACE的一個法向量為m(0，1)假設在AB上存在一點P，使平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為，且(01)因為B，所以，故.又，所以，又，設平面PCF的法向量為n(x2，y2，z2)，則即令x221，得n(21，(1)，0)為平面P

14、CF的一個法向量，所以|cosm，n|， 解得或0，因此存在點P，且P為線段AB上靠近點B的三等分點或P與A重合時，平面ACE與平面PCF所成角的余弦值為.類題通法 利用空間向量巧解探索性問題(1)對于存在型問題，解題時，把要成立的結論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“是否有解”“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.(2)對于位置探索型問題，通常是借助向量，引入?yún)?shù)，綜合條件和結論列方程，解出參數(shù)，從而確定位置.對點即時訓練如圖106，在五面體ABCDPE中，PD平面ABCD，ADCBAD90，F(xiàn)為棱PA的中點，PDBC，ABAD1，且四邊形CDPE為平行四邊形圖106(1)判斷A

15、C與平面DEF的位置關系，并給予證明；(2)在線段EF上是否存在一點Q，使得BQ與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，請求出QE的長；若不存在，請說明理由. 【導學號：07804075】解(1)AC平面DEF.理由如下：設線段PC交DE于點N，連接FN，如圖所示，因為四邊形PDCE為平行四邊形，所以點N為PC的中點，又點F為PA的中點，所以FNAC，因為FN平面DEF，AC平面DEF，所以AC平面DEF.(2)如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系因為PDBC，ABAD1，所以CD2，所以P(0,0，)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，A

16、(1,0,0)，所以(1,1，)，(1,1,0)設平面PBC的法向量為m(x，y，z) ，則即解得令x1，得平面PBC的一個法向量為m(1,1，)假設存在點Q滿足條件由F，E(0,2，)，可得.設(01)，整理得Q，則，因為直線BQ與平面PBC所成角的正弦值為，所以|cos，m|，得142510，又01，所以，故在線段EF上存在一點Q，使得BQ與平面PBC所成角的正弦值為，且QE.題型強化集訓(見專題限時集訓T3)三年真題| 驗收復習效果(對應學生用書第37頁)1.(20xx全國卷)如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.圖107(1)證明：平面A

17、CD平面ABC；(2)過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值解(1)證明：由題設可得ABDCBD，從而ADCD.又ACD是直角三角形，所以ADC90.取AC的中點O，連接DO，BO，則DOAC，DOAO.又因為ABC是正三角形，故BOAC，所以DOB為二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2，又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.所以平面ACD平面ABC.(2)由題設及(1)知，OA，OB，OD兩兩垂直，以O為坐標原點，的方向為x軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxy

18、z，則A(1,0,0)，B(0，0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)由題設知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點，得E，故(1,0,1)，(2,0,0)，.設n(x，y，z)是平面DAE的法向量，則即可取n.設m是平面AEC的法向量，則同理可取m(0，1，)，則cosn，m.所以二面角DAEC的余弦值為.2(20xx全國卷)如圖108，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.圖108(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值解(1)證明：由已知BA

19、PCDP90，得ABAP，CDPD.因為ABCD，所以ABPD.又APDPP，所以AB平面PAD.因為AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PFAD，垂足為點F.由(1)可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.以F為坐標原點，的方向為x軸正方向，|為單位長度建立如圖所示的空間直角坐標系Fxyz.由(1)及已知可得A，P，B，C，所以，(，0,0)，(0,1,0)設n(x1，y1，z1)是平面PCB的一個法向量，則即所以可取n(0，1，)設m(x2，y2，z2)是平面PAB的一個法向量，則即所以可取m(1,0,1)，則cosn，m.所以二面角APBC的余弦值為.