高考數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點強化專題 專題6 第16講　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 Word版含答案

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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第16講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(對應(yīng)學(xué)生用書第53頁)核心知識儲備1f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0時，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；(3)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)0或f(x)n0，1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：07804112】思路分析(1)求f(

2、x)結(jié)合a的取值討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)1f(m)mf(n)n由g(x)0求a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)2ax1.當(dāng)a0時，f(x).顯然，當(dāng)x(0,1)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時，f(x)0，所以2ax2x10恒成立，即f(x)0恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若0，即0a或a0，方程2ax2x10的兩根為x1，x2.當(dāng)a0，x20，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x時，2ax2x10，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減當(dāng)0ax10.當(dāng)x時，2ax2x10，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x時，2ax2x10，

3、f(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)；當(dāng)a時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)0a時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)a1，且mn，故f(m)mf(n)n.記g(x)f(x)x，則函數(shù)g(x)f(x)x在(0，)上單調(diào)遞增由g(x)f(x)xax22xln x，可得g(x)2ax20.因為x0，所以a.記h(x)(x0)，則h(x)(2).顯然，當(dāng)x(0,1)時，h(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時，h(x)0或f(x)0，把不等式解集與定義域取交集，就是對應(yīng)的

4、增區(qū)間或減區(qū)間.(2)含有參數(shù)：針對參數(shù)進(jìn)行分類討論，引起討論的因素包含：參數(shù)的正負(fù)性，導(dǎo)數(shù)有無極值點，極值點的大小關(guān)系，極值點與定義域的關(guān)系.對點即時訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)(ax2x1)exf(0)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若g(x)exf(x)ln x，h(x)ex，過點O(0,0)分別作曲線yg(x)與yh(x)的切線l1，l2，且l1與l2關(guān)于x軸對稱，求證：a0，當(dāng)x0時，f(x)0；當(dāng)2x0時，f(x)0時，f(x)0；當(dāng)x0時，f(x)0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)若a2或x0時，f(x)0；當(dāng)0x0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)

5、遞減區(qū)間為(，0)，.若a，f(x)x2ex0，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，)若a，當(dāng)x0時，f(x)0；當(dāng)2x0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和(0，)綜上所述，當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(0，)；單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)當(dāng)a0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)和.當(dāng)a時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，)；當(dāng)a0，所以在(0，)上，u(x)是單調(diào)遞增函數(shù)又因為u(1)0，uln0，所以u(1)u0，即x11.令t，則1ta，aa(1).故a0，右側(cè)f(x)0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大

6、值；若在x0附近左側(cè)f(x)0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值2設(shè)函數(shù)yf(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得典題試解尋法【典題】已知函數(shù)f(x)x2(a1)x2aln x(aR)(1)求函數(shù)f(x)的極值點；(2)若a2，求函數(shù)f(x)在1，t(t1)上的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號：07804113】解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)x(a1).由f(x)0，可得x1a，x21.若a0，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)極小值故f(x)的極小值點為1，無極大值點若

7、0a1，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值故f(x)的極小值點為a，極大值點為1.綜上，若a0，f(x)的極小值點為1，無極大值點；若0a1，f(x)極小值點為a，極大值點為1.(2)當(dāng)a2時，f(x)x23x22ln x.由(1)可知，函數(shù)f(x)在1,2上單調(diào)遞減，在2，)上單調(diào)遞增若12，則函數(shù)f(x)在1,2上單調(diào)遞減，在2，t上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(2)223222ln 222ln 2.綜上，當(dāng)12時，f(x)的最小值為22ln 2.類題通法1.求函數(shù)f(x)的極值，則先求方程f(x)0的根

8、，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號.2.若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來求解.3.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.對點即時訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)a(xln x)，e為自然對數(shù)的底數(shù)(1)當(dāng)a0時，試求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上有三個不同的極值點，求實數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)的定義域為x(0，)，f(x)a.當(dāng)a0時，對于任意x(0，)，exax0恒成立，所以若x1，f(x)0，若0x1，f(x)0，所以2a1等價于6分設(shè)

9、函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x.所以當(dāng)x時，g(x)0.故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為g.8分設(shè)函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x)所以當(dāng)x(0,1)時，h(x)0；當(dāng)x(1，)時，h(x)0時，g(x)h(x)，即f(x)1.12分閱卷者說易錯點防范措施處導(dǎo)數(shù)的運算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則不熟練，運算失分.對于復(fù)雜解析式求導(dǎo)要分清層次，包括運算層次，復(fù)合層次.處未對不等式進(jìn)行變形、分化函數(shù)致解題受阻.對于復(fù)雜不等式，變形轉(zhuǎn)化為等價的不等式證明，是證明不等式的重要方法.處未轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的不等關(guān)系致解題受阻.將不等式轉(zhuǎn)化為不等式兩邊函

10、數(shù)的最值關(guān)系是常用的方法，但要注意任意、存在等邏輯關(guān)系區(qū)別.類題通法1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形.(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x).(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值.(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.,特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題.2.構(gòu)造輔助函數(shù)的四種方法(1)移項法：證明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)g(x)0，所以函數(shù)p(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以p(x)p(0)0，所以函數(shù)p(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以p(x)p(0)0.所以f(x)(x)(2)設(shè)h(x)(x1)2ln(x

11、1)xmx2(x0)，所以h(x)2(x1)ln(x1)x2mx.由(1)知當(dāng)x0時，(x1)2ln(x1)x2xx(x1)，所以(x1)ln(x1)x，所以h(x)3x2mx.當(dāng)32m0，即m時，h(x)0，所以h(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以h(x)h(0)0，滿足題意當(dāng)32m時，設(shè)H(x)h(x)2(x1)ln(x1)(12m)x，H(x)2ln(x1)32m，令H(x)0，得x0e10，故h(x)在0，x0上單調(diào)遞減，在x0，)上單調(diào)遞增當(dāng)x0，x0)時，h(x)h(0)0，所以h(x)在0，x0)上單調(diào)遞減，所以h(x)0時，xf(x)f(x)0成立的x的取值范圍是()【導(dǎo)學(xué)號：07

12、804115】A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)A設(shè)yg(x)(x0)，則g(x)，當(dāng)x0時，xf(x)f(x)0，g(x)0，g(x)0時，f(x)0,0x1，當(dāng)x0，g(x)0，x0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)，故選A.3.(20xx全國卷)(1)討論函數(shù)f(x)ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x0時，(x2)exx20.(2)證明：當(dāng)a0,1)時，函數(shù)g(x)(x0)有最小值設(shè)g(x)的最小值為h(a)，求函數(shù)h(a)的值域解(1)f(x)的定義域為(，2)(2，)f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)x0時，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上單調(diào)

13、遞增因此當(dāng)x(0，)時，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)g(x)(f(x)a)由(1)知，f(x)a單調(diào)遞增對任意a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.當(dāng)0xxa時，f(x)a0，g(x)xa時，f(x)a0，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增因此g(x)在xxa處取得最小值，最小值為g(xa).于是h(a).由0，得y單調(diào)遞增，所以，由xa(0,2，得h(a).因為y單調(diào)遞增，對任意，存在唯一的xa(0,2，af(xa)0,1)，使得h(a).所以h(a)的值域是.綜上，當(dāng)a0,1)時

14、，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.4.(20xx全國卷)已知函數(shù)f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e2f(x0)22.解(1)f(x)的定義域為(0，)設(shè)g(x)axaln x，則f(x)xg(x)，f(x)0等價于g(x)0.因為g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a1，得a1.若a1，則g(x)1.當(dāng)0x1時，g(x)1時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增所以x1是g(x)的極小值點，故g(x)g(1)0.綜上，a1.(2)證明：由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x.設(shè)h(x)2x2ln x，則h(x)2.當(dāng)x時，h(x)0；當(dāng)x時，h(x)0.所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又h(e2)0，h0，h(1)0，所以h(x)在上有唯一零點x0，在上有唯一零點1，且當(dāng)x(0，x0)時，h(x)0；當(dāng)x(x0,1)時，h(x)0.因為f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一極大值點由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0得f(x0).因為xx0是f(x)在(0,1)上的最大值點，由e1(0,1)，f(e1)0得f(x0)f(e1)e2.所以e2f(x0)22.