三管齊下貴州省2014屆高三數(shù)學(xué) 第十三章 選修系列 理含解析新人教A版

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1、 第十三章　選修系列4 73　幾何證明選講 (一)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解平行線等分線段定理和平行線分線段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；3.理解直角三角形射影定理． 自主梳理 1．平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等． 2．平行線分線段成比例定理 兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段__________． 推論1　平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或________________)，所得的對(duì)應(yīng)線段__________．

2、 推論2　平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊________的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)________． 推論3　三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例． 3．相似三角形的判定 判定定理1　對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)________的兩個(gè)三角形相似． 判定定理2　對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且____________相等的兩個(gè)三角形相似． 判定定理3

3、　對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似． 4．相似三角形的性質(zhì) (1)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比； (2)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比； (3)相似三角形面積的比等于相似比的平方． 5．直角三角形射影定理 直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在____________與斜邊的______，斜邊上的高的________等于兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積． 自我檢測(cè) 1．如果梯形的中位線的長(zhǎng)為6 cm，上底長(zhǎng)為4 cm，那么下底長(zhǎng)為_(kāi)_____

4、__cm. 2．如圖，在△ABC中，ED∥BC，EF∥BD，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是(填序號(hào))________． ①＝；②＝；③＝；④＝. 3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝2，BD＝3，則AC＝________. 4．如圖所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，則BD＝________cm. 　　　 　　　 第4題圖　　　　　　第5題圖 5．(2011陜西)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________. 探究點(diǎn)一　

5、確定線段的n等分點(diǎn) 例1　已知線段PQ，在線段PQ上求作一點(diǎn)D，使PD∶DQ＝2∶1. 變式遷移1　已知△ABC，D在AC上，AD∶DC＝2∶1，能否在AB上找到一點(diǎn)E，使得線段EC的中點(diǎn)在BD上． 探究點(diǎn)二　平行線分線段成比例定理的應(yīng)用 例2　在△ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使BD＝CE，DE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：＝. 變式遷移2 如圖，已知AB∥CD∥EF，AB＝a，CD＝b(0

6、 探究點(diǎn)三　相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用 例3　如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，過(guò)D與BC平行的直線交AB于點(diǎn)E，∠ACE＝∠ABC，求證：ABCE＝ACDE. 變式遷移3 如圖，已知?ABCD中，G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG分別交BD和BC于E、F兩點(diǎn)，證明AFAD＝AGBF. 1．用添加平行輔助線的方法構(gòu)造使用平行線等分線段定理與平行線分線段成比例定理的條件．特別是在使用平行線分線段成比例定理及推論時(shí)，一定要注意對(duì)應(yīng)線段，對(duì)應(yīng)邊． 2．利用平行線等分線段定理將某線段任意等分

7、，需要過(guò)線段的一個(gè)端點(diǎn)作輔助線，在作圖時(shí)要注意保留作圖痕跡． 3．在證明兩個(gè)或兩個(gè)以上的比例式相等時(shí)，需要找第三個(gè)比例式與它們都相等，可考慮利用平行線分線段成比例定理或推論，也可以考慮用線段替換及等比定理，由相等的傳遞性得出結(jié)論． 4．判定兩個(gè)三角形相似，根據(jù)題設(shè)條件選擇使用三角形相似的判定定理． (滿(mǎn)分：75分) 一、填空題(每小題5分，共40分) 1．如圖所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正確的有________(填序號(hào))． (1)＝；(2)＝；(3)＝；(4)＝. 2．如圖所示，D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE∥BC交AC于E.已知＝，則＝______

8、____________________________________. 3．如圖，在四邊形ABCD中，EF∥BC，F(xiàn)G∥AD，則＋＝________. 4．在直角三角形中，斜邊上的高為6，斜邊上的高把斜邊分成兩部分，這兩部分的比為3∶2，則斜邊上的中線的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 5．(2010蘇州模擬)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD與AC相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，則EF＝________. 6．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC的長(zhǎng)為4，則EG＝____

9、____. 7．(2010天津武清一模)如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，則DE＝________. 8．如圖所示，BD、CE是△ABC的中線，P、Q分別是BD、CE的中點(diǎn)，則＝________. 二、解答題(共35分) 9．(11分)如圖所示，在△ABC中，∠CAB＝90，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分線，交AD于F，求證：＝. 10．(12分)如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，M是AD上一點(diǎn)，BM、CM的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于F、E. 求證：EF∥BC.

10、 11．(12分)(2010蘇州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于O點(diǎn)，直線l平行于BD且與AB，DC，BC，AD及AC的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)M，N，R，S和P， 求證：PMPN＝PRPS. 73　幾何證明選講 (一)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 自主梳理 2．成比例　兩邊的延長(zhǎng)線　成比例　相交　成比例 3．相等　夾角　5.斜邊上的射影　乘積　平方 自我檢測(cè) 1．8　2.③ 3. 解析　由射影定理：CD2＝ADBD. ∴AD＝，∴AC＝＝＝. 4. 解析　∵＝＝，∴BD

11、＝cm. 5．4 解析　∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90， ∴CD2＝AD2－AC2＝128， ∴CD＝8. 又∵AE⊥BC，∠B＝∠D， ∴△ABE∽△ADC，∴＝， ∴BE＝＝＝4. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　利用平行線等分線段定理可對(duì)線段任意等分，其作圖步驟為：首先作出輔助射線，然后在射線上依次截取任意相同長(zhǎng)度的n條線段，最后過(guò)輔助線上的各等分點(diǎn)作平行線，確定所求線段的n等分點(diǎn)． 解　在線段PQ上求作點(diǎn)D，使PD∶DQ＝2∶1，就是要作出線段PQ上靠近Q點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，通過(guò)線段PQ的一個(gè)端點(diǎn)作輔助射線，并取線段的三等分點(diǎn)，利用平行線等分線段定理確定D點(diǎn)的

12、位置． 作法：①作射線PN. ②在射線PN上截取PB＝2a，BC＝a. ③連接CQ. ④過(guò)點(diǎn)B作CQ的平行線，交PQ于D. ∴點(diǎn)D即為所求的點(diǎn)． 變式遷移1　 解　假設(shè)能找到，如圖，設(shè)EC交BD于點(diǎn)F，則F為EC的中點(diǎn)， 作EG∥AC交BD于G. ∵EG∥AC，EF＝FC， ∴△EGF≌△CDF，且EG＝DC， ∴EG綊AD，△BEG∽△BAD， ∴＝＝，∴E為AB的中點(diǎn)． ∴當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EC的中點(diǎn)在BD上． 例2　解題導(dǎo)引　證明線段成比例問(wèn)題，一般有平行的條件可考慮用平行線分線段成比例定理或推論，也可以用三角形相似或考慮用線段替換等方法． 證明　作E

13、G∥AB交BC于G，如圖所示， ∵△CEG∽△CAB， ∴＝，即＝＝， 又∵＝，∴＝. 變式遷移2 解　如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH∥EC，分別交BA，DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，H，由EF∥AB∥CD及FH∥EC，知AG＝CH＝EF，F(xiàn)G＝AE，F(xiàn)H＝EC.從而FG∶FH＝AE∶EC＝m∶n. 由BG∥DH，知BG∶DH＝FG∶FH＝m∶n. 設(shè)EF＝x，則得(x＋a)∶(x＋b)＝m∶n. 解得x＝， 即EF＝. 例3　解題導(dǎo)引　有關(guān)兩線段的比值的問(wèn)題，除了應(yīng)用平行線分線段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解．解題中要注意觀察圖形特點(diǎn)，巧添輔助線，對(duì)解題可起到事半功倍的

14、效果． 證明　方法一　∵AB∥CD， ∴＝，即＝.① ∵DE∥BC， ∴＝，即＝.② 由①②得＝，③ ∵∠FDC＝∠ECF，∠DEC＝∠FEC， ∴△EFC∽△ECD. ∴＝.④ 由③④得＝， 即ABCE＝ACDE. 方法二　∵AB∥CD，DE∥BC， ∴BEDC是平行四邊形． ∴DE＝BC. ∵∠ACE＝∠ABC，∠EAC＝∠BAC， ∴△AEC∽△ACB.∴＝. ∴＝，即ABCE＝ACDE. 變式遷移3 證明　因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形， 所以AB∥DC，AD∥BC. 所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA. 所以△ABF∽△GDA. 從而

15、有＝，即AFAD＝AGBF. 課后練習(xí)區(qū) 1．(4) 解析　由平行線分線段成比例定理可知(4)正確． 2. 解析　由＝知，＝，＝，故＝. 3．1 解析　∵EF∥BC，∴＝， 又∵FG∥AD，∴＝， ∴＋＝＋＝＝1. 4. 解析　設(shè)斜邊上的兩段的長(zhǎng)分別為3t,2t，由直角三角形中的射影定理知：62＝3t2t，解得t＝(t>0，舍去負(fù)根)，所以斜邊的長(zhǎng)為5，故斜邊上的中線的長(zhǎng)為. 5．15 解析　∵AD∥BC，∴＝＝＝，∴＝， ∵OE∥AD，∴＝＝， ∴OE＝AD＝12＝， 同理可求得OF＝BC＝20＝， ∴EF＝OE＋OF＝15. 6．2 解析　連接DE

16、，因?yàn)锳D⊥BC，所以△ADB是直角三角形，則DE＝AB＝BE＝DC.又因?yàn)镈G⊥CE于G，所以DG平分CE，故EG＝2. 7．6 解析　設(shè)DE＝x，∵DE∥AC， ∴＝，解得BE＝. ∴＝＝＝. 又∵AD平分∠BAC，∴＝＝＝， 解得x＝6. 8. 解析　連接DE，延長(zhǎng)QP交AB于N， 則 得PQ＝BC. 9．證明　由三角形的內(nèi)角平分線定理得， 在△ABD中，＝，① 在△ABC中，＝，②(3分) 在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BDBC， 即＝.③(6分) 由①③得：＝，④(9分) 由②④得：＝.(11分) 10．證明　延長(zhǎng)AD至G，使DG＝M

17、D，連接BG、CG. ∵BD＝DC，MD＝DG， ∴四邊形BGCM為平行四邊形．(4分) ∴EC∥BG，F(xiàn)B∥CG， ∴＝，＝， ∴＝，(8分) ∴EF∥BC.(12分) 11．證明　∵BO∥PM， ∴＝，(2分) ∵DO∥PS， ∴＝，∴＝.(4分) 即＝，由BO∥PR 得＝.(6分) 由DO∥PN得＝.(8分) ∴＝，即＝， ∴＝.∴PMPN＝PRPS.(12分) 74　幾何證明選講 (二)直線與圓的位置關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解圓周角定理，弦切角定理及其推論；2.理解圓的切線的判定及性質(zhì)定理；3.理解相交弦定理，割線定理，切割線定理；4.理解圓

18、內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定． 自主梳理 1．圓周角、弦切角及圓心角定理 (1)__________的度數(shù)等于其的對(duì)______的度數(shù)的一半． 推論1：________(或________)所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角__________相等． 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的__________等于90.反之，90的圓周角所對(duì)的弧是________(或__________)． (2)弦切角的度數(shù)等于其所夾孤的度數(shù)的____． (3)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)． 2．圓中比例線段有關(guān)定理 (1)相交弦定理：______的兩條____________，每條弦被

19、交點(diǎn)分成的____________的積相等． (2)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線和一條切線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)的____________． (3)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條________，該點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等． 溫馨提示　相交弦定理，切割線定理，割線定理揭示了與圓有關(guān)的線段間的比例關(guān)系，在與圓有關(guān)的比例線段問(wèn)題的證明、計(jì)算以及證明線段或角相等等問(wèn)題中應(yīng)用甚廣． 3．切線長(zhǎng)定理 從________一點(diǎn)引圓的兩條切線，__________相等． 4．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 (1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角______

20、__． 推論：圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)角的________． (2)判定定理：如果四邊形的__________，則四邊形內(nèi)接于____． 推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的____________，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)________． 5．圓的切線的性質(zhì)及判定定理 (1)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的________． 推論1：經(jīng)過(guò)________且________與垂直的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)． 推論2：經(jīng)過(guò)________且切線與垂直的直線必經(jīng)過(guò)______________________________． (2)判定定理：過(guò)半徑________且與這條半徑

21、________的直線是圓的切線． 自我檢測(cè) 1．如圖在Rt△ABC中，∠B＝90，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝2DB，以D為圓心，DB為半徑的圓與AC相切，則sin A＝________. 2．(2010南京模擬)如圖，AB是圓O的直徑，EF切圓O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC長(zhǎng)為_(kāi)_______． 3．(2011湖南)如圖，A，E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 4．如圖所示，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC交⊙O于點(diǎn)D，若AD＝32，CD＝18，則AB＝_____

22、___. 5．(2010揭陽(yáng)模擬)如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PD為⊙O的切線，D為切點(diǎn)，割線PEF經(jīng)過(guò)圓心O，PF＝12，PD＝4，則圓O的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_______、∠EFD的度數(shù)為_(kāi)_______. 探究點(diǎn)一　與圓有關(guān)的等角、等弧、等弦的判定 例1 如圖，⊙O的兩條弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.求證：OE＝CD. 變式遷移1 在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓O交BC于點(diǎn)N；若AC＝AB，求證：BN＝3MN. 探究點(diǎn)二　四點(diǎn)共圓的判定 例

23、2 如圖，四邊形ABCD中，AB、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，∠AED，∠AFB的角平分線交于點(diǎn)M，且EM⊥FM.求證：四邊形ABCD內(nèi)接于圓． 變式遷移2 如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)． (1)證明：A，P，O，M四點(diǎn)共圓； (2)求∠OAM＋∠APM的大小． 探究點(diǎn)三　與圓有關(guān)的比例線段的證明 例3 如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線PBC交⊙O于點(diǎn)B，C，

24、∠APC的角平分線分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，求證： (1)AD＝AE； (2)AD2＝DBEC. 變式遷移3 (2010全國(guó)) 如圖，已知圓上的?。?，過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BECD. 1．圓周角定理與圓心角定理在證明角相等時(shí)有較普遍的應(yīng)用，尤其是利用定理進(jìn)行等角代換與傳遞． 2．要注意一些常用的添加輔助線的方法，若證明直線與圓相切，則連結(jié)直線與圓的公共點(diǎn)和圓心證垂直；遇到直徑時(shí)，一般要引直徑所對(duì)的圓

25、周角，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角解決有關(guān)問(wèn)題． 3．判斷兩線段是否相等，除一般方法(通過(guò)三角形全等)外，也可用等線段代換，或用圓心角定理及其推論證明． 4．證明多點(diǎn)共圓的常用方法： (1)證明幾個(gè)點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)距離相等； (2)如果某兩點(diǎn)在某條線段的同旁，證明這兩點(diǎn)對(duì)這條線段的張角相等； (3)證明凸四邊形內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)(或外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角)． 5．圓中比例線段有關(guān)定理常與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用，要注意在題中找相等的角，找相似三角形，從而得到線段的比． (滿(mǎn)分：75分) 一、填空題(每小題5分，共40分) 1．如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB＝CD，

26、OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別是E，F(xiàn)，則結(jié)論①＝，②∠AOB＝∠COD，③OE＝OF，④＝中，正確的有________個(gè)． 2．(2010湖南)如圖所示，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P作一條直線與⊙O交于A、B兩點(diǎn)．已知PA＝2，點(diǎn)P到⊙O的切線長(zhǎng)PT＝4，則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 3．(2010陜西) 如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則＝________. 4．(2009廣東)如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝45，則圓O的面積為_(kāi)_______． 5．已知PA是圓O的切線，切

27、點(diǎn)為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB＝1，則圓O的半徑R＝________. 6．如圖，圓O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD＝2，AB＝3.則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 7．(2011天津)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 8．(2010天津)如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P.若＝，＝，則的值為_(kāi)_______． 二、解答題(共35分) 9．(11分)如圖，三

28、角形ABC中，AB＝AC，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與BC相切于B，與AC相交于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半徑r. 10．(12分)(2009江蘇)如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD. 11．(12分)(2011江蘇)如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC為定值． 74　幾何證明選講 (二)直線與圓的位置關(guān)系 自主梳理 1．(1)圓周

29、角　弧　同弧　等弧　所對(duì)的弧　圓周角　半圓　弦為直徑　(2)一半　 2.(1)圓　相交弦　兩條線段長(zhǎng) (2)等比中項(xiàng)　(3)割線　3.圓外　切線長(zhǎng)　4.(1)互補(bǔ)　對(duì)角　(2)對(duì)角互補(bǔ)　圓　內(nèi)角的對(duì)角　共圓 5．(1)半徑　圓心　切線　切點(diǎn)　圓心　(2)外端　垂直 自我檢測(cè) 1. 解析　設(shè)切點(diǎn)為T(mén)，則DT⊥AC，AD＝2DB＝2DT， ∴∠A＝30，sin A＝. 2．2 解析　連接CB，則∠DCA＝∠CBA， 又∠ADC＝∠ACB＝90， ∴△ADC∽△ACB. ∴＝. ∴AC2＝ABAD＝26＝12. ∴AC＝2. 3. 解析　如圖，連接CE，AO，

30、AB.根據(jù)A，E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BC為直徑，可得∠CEB＝90，∠CBE＝30，∠AOB＝60，故△AOB為等邊三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，∴AF＝AD－DF＝. 4．40 解析　如圖，連接BD，則BD⊥AC，由射影定理知， AB2＝ADAC＝3250＝1 600，故AB＝40. 5．4　30 解析　由切割線定理得PD2＝PEPF， ∴PE＝＝＝4，∴EF＝8，OD＝4. 又∵OD⊥PD，OD＝PO，∠P＝30， ∠POD＝60＝2∠EFD，∴∠EFD＝30. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引　(1)借用等弦或等弧所對(duì)圓周角相等，所對(duì)的圓心角相等，進(jìn)行

31、角的等量代換；同時(shí)也可借在同圓或等圓中，相等的圓周角(或圓心角)所對(duì)的弧相等，進(jìn)行弧(或弦)的等量代換． (2)本題的證法是證明一條線段等于另一條線段的一半的常用方法． 證明　作直徑AF，連接BF，CF，則∠ABF＝∠ACF＝90. 又OE⊥AB，O為AF的中點(diǎn)， 則OE＝BF. ∵AC⊥BD， ∴∠DBC＋∠ACB＝90， 又∵AF為直徑，∠BAF＋∠BFA＝90， ∵∠AFB＝∠ACB， ∴∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF. 從而得OE＝CD. 變式遷移1 證明　∵CM是∠ACB的平分線， ∴＝， 即BC＝AC， 又由割線定理得BMBA＝BNBC， ∴B

32、NAC＝BMBA， 又∵AC＝AB，∴BN＝3AM， ∵在圓O內(nèi)∠ACM＝∠MCN， ∴AM＝MN，∴BN＝3MN. 例2 解題導(dǎo)引　證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)它們?cè)谝粭l線段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ)． 證明　連接EF， 因?yàn)镋M是∠AEC的角平分線， 所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM. 同理，∠EFC＋∠EFA＝2∠EFM. 而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD ＝(180－∠FEC－∠EFC)＋(180－∠FEA－∠EFA) ＝360－2(∠FEM＋∠EFM)

33、 ＝360－2(180－∠EMF)＝2∠EMF＝180， 即∠BCD與∠BAD互補(bǔ)． 所以四邊形ABCD內(nèi)接于圓． 變式遷移2 (1)證明　連接OP，OM， 因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P， 所以O(shè)P⊥AP. 因?yàn)镸是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180， 由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)， 所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓． (2)解　由(1)得A，P，O，M四點(diǎn)共圓， 所以∠OAM＝∠OPM. 由(1)得OP⊥AP. 由圓心O在∠PAC的內(nèi)部， 可知∠OPM＋∠APM＝90， 所以∠OAM＋∠APM＝90. 例3

34、 解題導(dǎo)引　尋找適當(dāng)?shù)南嗨迫切危褞讞l要證的線段集中到這些相似三角形中，再用圓中角、與圓有關(guān)的比例線段的定理找到需要的比例式，使問(wèn)題得證． 證明　(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB. 因PE是∠APC的角平分線，故∠EPC＝∠APD，PA是⊙O的切線，故∠C＝∠PAB. 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE. (2)?△PCE∽△PAD?＝； ?△PAE∽△PBD?＝. 又PA是切線，PBC是割線?PA2＝PBPC?＝. 故＝，又AD＝AE，故AD2＝DBEC. 變式遷移3 證明　(1)因?yàn)椋?，所以∠BCD＝∠ABC. 又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故

35、∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因?yàn)椤螮CB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BECD. 課后練習(xí)區(qū) 1．4 解析　∵在同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)弦心距相等，故①②③成立，又由＝，得＝，∴④正確． 2．6 解析　連接BT，由切割線定理， 得PT2＝PAPB， 所以PB＝8，故AB＝6. 3. 解析?。?＝?AD＝?BD＝(cm)，＝. 4．8π 解析　連接OA，OB， ∵∠BCA＝45， ∴∠AOB＝90. 設(shè)圓O的半徑為R，在Rt△AOB中，R2＋R2＝AB2＝16，∴

36、R2＝8. ∴圓O的面積為8π. 5. 解析　如圖，依題意，AO⊥PA，AB⊥PC，PA＝2，PB＝1，∠P＝60， 在Rt△CAP中，有2OA＝2R＝2tan 60＝2， ∴R＝. 6．4 解析　由切割線定理得：DBDA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4. 7. 解析　設(shè)BE＝a，則AF＝4a，F(xiàn)B＝2a. ∵AFFB＝DFFC，∴8a2＝2，∴a＝， ∴AF＝2，F(xiàn)B＝1，BE＝，∴AE＝. 又∵CE為圓的切線，∴CE2＝EBEA＝＝. ∴CE＝. 8. 解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD， ∴△P

37、CB∽△PAD.∴＝＝. ∵＝，＝，∴＝. 9. 解　過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC交圓于點(diǎn)E，連接AE，BO并延長(zhǎng)交AE于F， 由題意∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，(2分) 又BE∥AC，∴∠CAB＝∠ABE，則AB＝AC知，∠ABC＝∠ACB＝∠AEB＝∠BAE，(4分) 則AE∥BC，四邊形ACBE為平行四邊形． ∴BF⊥AE.又BC2＝CDAC＝2， ∴BC＝，BF＝＝.(8分) 設(shè)OF＝x，則 解得r＝.(11分) 10．證明　由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，(3分) 故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，(5分) 從而∠CAB＝∠CDB.(7分) 再由△ABC≌△

38、BAD得∠CAB＝∠DBA， 因此∠DBA＝∠CDB，(10分) 所以AB∥CD.(12分) 11. 證明　如圖，連接AO1并延長(zhǎng)，分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D.連接BD，CE.因?yàn)閳AO1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，所以點(diǎn)O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑．(5分) 從而∠ABD＝∠ACE＝.(7分) 所以BD∥CE，于是＝＝＝.(10分) 所以AB∶AC為定值．(12分) 75　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解坐標(biāo)系的有關(guān)概念，理解簡(jiǎn)單圖形的極坐標(biāo)方程.2.會(huì)進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.3.理解直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，會(huì)進(jìn)行參數(shù)方程與普通方程的

39、互化，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用． 自主梳理 1．極坐標(biāo)系的概念 在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做________；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)____________． 設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離OM叫做點(diǎn)M的________，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的________，記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的__________，記作(ρ，θ)． 2．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)

40、度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為x＝__________，y＝__________.另一種關(guān)系為：ρ2＝__________，tan θ＝______________. 3．簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程 (1)一般地，如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有一個(gè)極坐標(biāo)適合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐標(biāo)適合方程φ(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲線的____________． (2)常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程 ①圓的極坐標(biāo)方程 ____________表示圓心在(r,0)半徑為|r|的圓； ____________表示圓心在

41、(r，)半徑為|r|的圓； ________表示圓心在極點(diǎn)，半徑為|r|的圓． ②直線的極坐標(biāo)方程 ____________表示過(guò)極點(diǎn)且與極軸成α角的直線； ____________表示過(guò)(a,0)且垂直于極軸的直線； ____________表示過(guò)(b，)且平行于極軸的直線； ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示過(guò)(ρ0，θ0)且與極軸成α角的直線方程． 4．常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程 (1)直線的參數(shù)方程 若直線過(guò)(x0，y0)，α為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程為這是直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)l有明顯的幾何意義． (2)圓的參數(shù)方程 若圓心在點(diǎn)M(a，b)，半徑為R

42、，則圓的參數(shù)方程為0≤α<2π. (3)橢圓的參數(shù)方程 中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． (4)拋物線的參數(shù)方程 拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為 自我檢測(cè) 1．(2010北京)極坐標(biāo)方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是(　　) A．兩個(gè)圓 B．兩條直線 C．一個(gè)圓和一條射線 D．一條直線和一條射線 2．(2010湖南)極坐標(biāo)方程ρ＝cos θ和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是(　　) A．圓、直線 B．直線、圓 C．圓、圓 D．直線、直線 3．(2010重慶)直線y＝x＋與圓心為D的圓(θ

43、∈[0,2π))交于A、B兩點(diǎn)，則直線AD與BD的傾斜角之和為(　　) A.π B.π C.π D.π 4．(2011廣州一模)在極坐標(biāo)系中，直線ρsin(θ＋)＝2被圓ρ＝4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______． 5．(2010陜西)已知圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝1，則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______________. 探究點(diǎn)一　求曲線的極坐標(biāo)方程 例1 在極坐標(biāo)系中，以(，)為圓心，為半徑的圓的方程為_(kāi)_______． 變式遷移1 如圖，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(a,

44、0)(a>0)，且與極軸垂直的直線l的極坐標(biāo)方程． 探究點(diǎn)二　極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 例2 (2009遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M、N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)． (1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． 變式遷移2 (2010東北三校第一次聯(lián)考)在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin(θ－)＝， (1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；

45、 (2)當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)． 探究點(diǎn)三　參數(shù)方程與普通方程的互化 例3 將下列參數(shù)方程化為普通方程： (1)；(2)；(3). 變式遷移3 化下列參數(shù)方程為普通方程，并作出曲線的草圖． (1)(θ為參數(shù))； (2) (t為參數(shù))． 探究點(diǎn)四　參數(shù)方程與極坐標(biāo)的綜合應(yīng)用 例4 求圓ρ＝3cos θ被直線(t是參數(shù))截得的弦長(zhǎng)． 變式遷移4 (2011課標(biāo)全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為

46、(α為參數(shù)) M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿(mǎn)足＝2，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2. (1)求C2的方程； (2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ＝與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|. 本節(jié)內(nèi)容要注意以下兩點(diǎn)：一、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程可結(jié)合極坐標(biāo)系中ρ和θ的具體含義求出，也可利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化得出．同直角坐標(biāo)方程一樣，由于建系的不同，曲線的極坐標(biāo)方程也會(huì)不同．在沒(méi)有充分理解極坐標(biāo)的前提下，可先化成直角坐標(biāo)解決問(wèn)題．二、在普通方程中，有些F(x，y)＝0不易得到，這時(shí)可借助于一個(gè)中間變量(即參數(shù))來(lái)找到變量x，y之間

47、的關(guān)系．同時(shí)，在直角坐標(biāo)系中，很多比較復(fù)雜的計(jì)算(如圓錐曲線)，若借助于參數(shù)方程來(lái)解決，將會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算量．將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時(shí)要注意其中的x，y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，也即在消去參數(shù)的過(guò)程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性．參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有：代入消元、加減消元、平方后相加減消元等．同極坐標(biāo)方程一樣，在沒(méi)有充分理解參數(shù)方程的前提下，可先化成直角坐標(biāo)方程再去解決相關(guān)問(wèn)題． (滿(mǎn)分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)(3，－)關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的極坐標(biāo)是(　　) A．(3，π)

48、 B．(3，) C．(3，π) D．(3，π) 2．曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos2－1的直角坐標(biāo)方程為(　　) A．x2＋(y－)2＝ B．(x－)2＋y2＝ C．x2＋y2＝ D．x2＋y2＝1 3．(2010湛江模擬)在極坐標(biāo)方程中，曲線C的方程是ρ＝4sin θ，過(guò)點(diǎn)(4，)作曲線C的切線，則切線長(zhǎng)為(　　) A．4 B. C．2 D．2 4．(2010佛山模擬)已知?jiǎng)訄A方程x2＋y2－xsin 2θ＋2ysin(θ＋)＝0(θ為參數(shù))，那么圓心的軌跡是(　　) A．橢圓 B．橢圓的一部分 C．拋物線

49、 D．拋物線的一部分 5．(2010安徽)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線C上到直線l距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2010天津)已知圓C的圓心是直線(t為參數(shù))與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為_(kāi)_______． 7．(2011廣東)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ<π)和(t∈R)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______． 8．(2010廣東深圳高級(jí)中學(xué)一模)在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，若以原點(diǎn)O為極

50、點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的極坐標(biāo)方程為_(kāi)_______． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2011江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過(guò)橢圓(φ為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程． 10．(12分)(2010福建)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|＋|PB|.

51、 11．(14分)(2010課標(biāo)全國(guó))已知直線C1：(t為參數(shù))，圓C2：(θ為參數(shù))． (1)當(dāng)α＝時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線． 75　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 自主梳理 1．極軸　極坐標(biāo)系　極徑　極角　極坐標(biāo)　2.ρcos θ　ρsin θ　x2＋y2　(x≠0)　3.(1)極坐標(biāo)方程　(2)①ρ＝2rcos θ　ρ＝2rsin θ　ρ＝r?、讦龋溅?ρ∈R)　ρcos θ＝a　ρsin θ＝b 自

52、我檢測(cè) 1．C　2.A　3.C 4．4 5．(－1,1)，(1,1) 解析　∵y＝ρsin θ， ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝1. 由得x2＋(y－1)2＝1. 由得或 ∴直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－1,1)和(1,1)． 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引　求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：①建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；②由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；③將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線上的極坐標(biāo)方程；④證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程，若方程的推導(dǎo)過(guò)程正確，化簡(jiǎn)過(guò)程都是同解變形，這一證明可以省略． 答案　ρ

53、＝asin θ，0≤θ<π 解析　圓的直徑為a，設(shè)圓心為C，在圓上任取一點(diǎn)A(ρ，θ)， 則∠AOC＝－θ或θ－， 即∠AOC＝|θ－|. 又ρ＝acos∠AOC＝acos|θ－|＝asin θ. ∴圓的方程是ρ＝asin θ，0≤θ<π. 變式遷移1 解　設(shè)P(ρ，θ)是直線l上任意一點(diǎn)，OPcos θ＝OA， 即ρcos θ＝a， 故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝a. 例2 解題導(dǎo)引　直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些，解此類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)變形，構(gòu)造形如ρc

54、os θ，ρsin θ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此應(yīng)注意對(duì)變形過(guò)程的檢驗(yàn)． 解　(1)由ρcos＝1得 ρ＝1. 從而C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1， 即x＋y＝2，當(dāng)θ＝0時(shí)，ρ＝2，所以M(2,0)． 當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝，所以N. (2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)． N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，)． 所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為， 則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為， 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)． 變式遷移2 解　(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρs

55、in θ， 圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0. 直線l：ρsin(θ－)＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 則直線l的直角坐標(biāo)方程為y－x＝1， 即x－y＋1＝0. (2)由得 故直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為(1，)． 例3 解題導(dǎo)引　參數(shù)方程通過(guò)消去參數(shù)化為普通方程．對(duì)于(1)直接消去參數(shù)k有困難，可通過(guò)兩式相除，先降低k的次數(shù)，再運(yùn)用代入法消去k；對(duì)于(2)可運(yùn)用恒等式(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ消去θ；對(duì)于(3)可運(yùn)用恒等式()2＋()2＝1消去t. 另外，參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，不僅要消去參數(shù)，還應(yīng)注意普通方

56、程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致． 解　(1)兩式相除，得k＝.將k＝代入，得x＝. 化簡(jiǎn)，得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y2＝2－x. 又x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程是y2＝2－x，x∈[0,2]． (3)由()2＋()2＝1， 得x2＋4y2＝1. 又x＝≠－1， 得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)． 變式遷移3 解　(1)由y2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x， 得y2＝2x＋1. ∵－≤si

57、n 2θ≤，∴－≤x≤. ∵－≤sin θ＋cos θ≤，∴－≤y≤. 故所求普通方程為 y2＝2 (－≤x≤，－≤y≤)，圖形為拋物線的一部分． 圖形如圖甲所示． (2)由x2＋y2＝2＋2＝1及x＝≠0，xy＝≥0知，所求軌跡為兩段圓弧x2＋y2＝1 (0

58、經(jīng)過(guò)圓心， 所以圓被直線截得的弦長(zhǎng)為3. 變式遷移4 解　(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M(，)． 由于M點(diǎn)在C1上， 所以即 從而C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sin θ. 射線θ＝與C1的交點(diǎn)A的極徑為ρ1＝4sin， 射線θ＝與C2的交點(diǎn)B的極徑為ρ2＝8sin. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2. 課后練習(xí)區(qū) 1．B　[由于極徑不變，極角關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)， ∴其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(3，)．故選B.] 2．B　[∵ρ＝2cos2－1，∴ρ2＝ρcos θ即x2＋y2＝x， ∴(x－)2＋y2＝.]

59、 3．C　[ρ＝4sin θ化為普通方程為x2＋(y－2)2＝4，點(diǎn)(4，)化為直角坐標(biāo)為(2，2)，切線長(zhǎng)、圓心到定點(diǎn)的距離及半徑構(gòu)成直角三角形，由勾股定理：切線長(zhǎng)為＝2，故選C.] 4．D　[圓心軌跡的參數(shù)方程為 即 消去參數(shù)得y2＝1＋2x(－≤x≤)，故選D.] 5．B　[∵曲線C的方程為(θ為參數(shù))， ∴(x－2)2＋(y＋1)2＝9，而l為x－3y＋2＝0， ∴圓心(2，－1)到l的距離d＝＝＝.又∵<3，>3，∴有2個(gè)點(diǎn)．] 6．(x＋1)2＋y2＝2 解析　直線(t為參數(shù))與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)，故圓C的圓心為(－1,0)．又圓C與直線x＋y＋3＝0相切

60、，∴圓C的半徑為r＝＝，∴圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2. 7．(1，) 解析　將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為＋y2＝1(0≤y≤1，－

61、x－4)，(8分) 即x－2y－4＝0.(12分) 10．解　方法一　(1)ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0， 即x2＋(y－)2＝5.(4分) (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得 (3－t)2＋(t)2＝5，即t2－3t＋4＝0.(6分) 由于Δ＝(3)2－44＝2>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，所以 又直線l過(guò)點(diǎn)P(3，)， 故由上式及t的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.(12分) 方法二　(1)同方法一． (2)因?yàn)閳AC的圓心為點(diǎn)(0，)，半徑r＝，直線l的普通方程為y＝－x＋3＋.(8分) 由得x2－

62、3x＋2＝0. 解得或(10分) 不妨設(shè)A(1,2＋)，B(2,1＋)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)， 故|PA|＋|PB|＝＋＝3.(12分) 11．解　(1)當(dāng)α＝時(shí)，C1的普通方程為y＝(x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1，聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，(，－)．(7分) (2)C1的普通方程為xsin α－ycos α－sin α＝0. A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2α，－cos αsin α)， 故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))．(9分) P點(diǎn)軌跡的普通方程為(x－)2＋y2＝.(12分) 故P點(diǎn)軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓． (14

63、分) 76　不等式選講 (一)絕對(duì)值不等式 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用含絕對(duì)值不等式的幾何意義證明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 自主梳理 1．含________________的不等式叫做絕對(duì)值不等式． 2．解含有絕對(duì)值的不等式的方法關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào)，基本方法有如下幾種： (1)分段討論： 根據(jù)|f(x)|＝去掉絕對(duì)值符號(hào)． (2)利用等價(jià)不等式： |f(x)|≤g(x)

64、?－g(x)≤f(x)≤g(x)； |f(x)|≥g(x)?f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x)． (3)兩端同時(shí)平方：即運(yùn)用移項(xiàng)法則，使不等式兩邊都變?yōu)榉秦?fù)數(shù)，再平方，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)． 3．形如|x－a|＋|x－b|≥c (a≠b)與|x－a|＋|x－b|≤c (a≠b)的絕對(duì)值不等式的解法主要有三種： (1)運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義； (2)____________________； (3)構(gòu)造分段函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象求解． 4．(1)定理：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，則|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)____________時(shí)，等號(hào)成立． (2)重要絕對(duì)值不等式|

65、|a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|. 使用時(shí)(特別是求最值時(shí))要注意等號(hào)成立的條件，即 |a＋b|＝|a|＋|b|?ab≥0； |a－b|＝|a|＋|b|?ab≤0； |a|－|b|＝|a＋b|?b(a＋b)≤0； |a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0； 注：|a|－|b|＝|a＋b|?|a|＝|a＋b|＋|b|?|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|?b(a＋b)≤0. 同理可得|a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0. 自我檢測(cè) 1．(2010江西)不等式＞的解集是(　　) A．(0,2) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．

66、(－∞，0)∪(0，＋∞) 2．(2011天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，則集合A∩B＝________. 3．(2011濰坊模擬)已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)<5 B．a(chǎn)≤5 C．a(chǎn)>5 D．a(chǎn)≥5 4．若不等式|x＋1|＋|x－2|7＋x； (3)|x－1|＋|2x＋1|<2. 變式遷移1 (2011江蘇)解不等式x＋