【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 空間點、線、面之間的位置關(guān)系學(xué)案 理 新人教A版

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1、 學(xué)案42　空間點、線、面之間的位置關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標： 1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的含義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題． 自主梳理 1．平面的基本性質(zhì) 公理1：如果一條直線上的________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)． 公理2：過______________的三點，有且只有一個平面． 公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有________過該點的公共直線． 2．直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類 (2)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩

2、條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的____________叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)． ②范圍：______________. 3．直線與平面的位置關(guān)系有________、______、________三種情況． 4．平面與平面的位置關(guān)系有______、______兩種情況． 5．平行公理 平行于______________的兩條直線互相平行． 6．定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角____________． 自我檢測 1．(2011泉州月考)若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的位置

3、關(guān)系是(　　) A．相交 B．相交或異面 C．平行或異面 D．平行、相交或異面 2．已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，則c與b(　　) A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 3．如圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是(　　) 4．(2010全國Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于(　　) A．30 B．45 C．60 D．

4、90 5．下列命題： ①空間不同三點確定一個平面； ②有三個公共點的兩個平面必重合； ③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面； ④三角形是平面圖形； ⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形； ⑥垂直于同一直線的兩直線平行； ⑦一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交； ⑧兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形． 其中正確的命題是________．(填序號) 探究點一　平面的基本性質(zhì) 例1　 如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于H，連接EH. (

5、1)求AH∶HD； (2)求證：EH、FG、BD三線共點． 變式遷移1　 如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點，且EH與FG相交于點O. 求證：B、D、O三點共線． 探究點二　異面直線所成的角 例2　(2009全國Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 變式遷移2　(2011淮南月考)在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，

6、BC＝，且AD⊥BC，對角線BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角． 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例　 (12分)如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60. (1)求四棱錐的體積； (2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值． 多角度審題　對(1)只需求出高PO，易得體積；對(2)可利用定義，過E點作PA的平行線，構(gòu)造三角形再求解． 【答題模板】 解　(1)在四棱錐P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD， ∴∠PBO是PB與

7、平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60，[2分] 在Rt△AOB中，∵BO＝ABsin 30＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BOtan 60＝， ∵底面菱形的面積S＝222＝2， ∴四棱錐P—ABCD的體積VP—ABCD＝2＝2.[6分] (2) 取AB的中點F，連接EF，DF， ∵E為PB中點，∴EF∥PA， ∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補角)．[8分] 在Rt△AOB中， AO＝ABcos 30＝， ∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝. 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝， 由余弦定理得cos∠DEF＝[10分] ＝＝＝. 所以異面

8、直線DE與PA所成角的余弦值為.[12分] 【突破思維障礙】 求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決．根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點位置無關(guān)，往往將角的頂點取在其中的一條直線上，特別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點或異面線段的端點．總之，頂點的選擇要與已知量有關(guān)，以便于計算，具體步驟如下： (1)利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上；(2)證明作出的角即為所求角；(3)利用三角形來求解，異面直線所成角的范圍是(0，90]． 【易錯點剖析】 1

9、．求異面直線所成的角時，僅指明哪個角，而不進行證明． 2．忘記異面直線所成角的范圍，余弦值回答為負值． 1．利用平面基本性質(zhì)證明“線共點”或“點共線”問題： (1)證明共點問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證交點在第三條直線上，有時也可將問題轉(zhuǎn)化為證明三點共線． (2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上，因此共線． 2．異面直線的判定方法： (1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)． (2)反證法：用此方法可以證明兩直線是異面直線． 3．求異面直線所成的角的步驟： (1)一般是

10、用平移法(可以借助三角形的中位線、平行四邊形等)作出異面直線的夾角； (2)證明作出的角就是所求的角； (3)利用條件求出這個角； (4)如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是(　　) A．異面 B．相交 C．平行 D．異面或相交 2．給出下列命題： ①若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；②若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a

11、與c異面；③一定存在平面α同時和異面直線a、b都平行．其中正確的命題為(　　) A．① B．② C．③ D．①③ 3．(2011寧德月考) 如圖所示，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為(　　) A．90 B．60 C．45 D．0 4．(2009全國Ⅱ)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D

12、. 5．(2011三明模擬)正四棱錐S—ABCD的側(cè)棱長為，底面邊長為，E為SA的中點，則異面直線BE和SC所成的角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論： ①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.則正確結(jié)論的序號是______． 7．(2009四川)如圖所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________． 8．如圖所示，正四

13、面體P—ABC中，M為棱AB的中點，則PA與CM所成角的余弦值為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2011溫州月考) 如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點． 求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面； (2)CE，D1F，DA三線共點． 10．(12分) 在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P，Q，R分別是棱CC1，A1D1，A1B1的中點，畫出過這三點的截面，并求這個截面的周長． 11．(14分)(2011舟山模擬) 如圖，正方體ABCD—A

14、1B1C1D1的棱長為2，E為AB的中點． (1)求證：AC⊥平面BDD1； (2)求異面直線BD1與CE所成角的余弦值． (3)求點B到平面A1EC的距離． 學(xué)案42　空間點、線、面之間的位置關(guān)系 自主梳理 1．兩點　不在一條直線上　一條　2.(1)平行　相交 (2)①銳角或直角?、凇?.平行　相交　在平面內(nèi) 4．平行　相交　5.同一條直線　6.相等或互補 自我檢測 1．D　[a，c都與直線b異面，并不能確定直線a，c的關(guān)系．] 2．C　[a，b是異面直線，直線c∥直線a. 因而cD b， 否則，若c∥b，則a∥b與已知矛

15、盾， 因而cDb.] 3．C　[A中PQ∥RS；B中RS∥PQ； D中RS和PQ相交．] 4．C　[ 將直三棱柱ABC—A1B1C1補成如圖所示的幾何體． 由已知易知：該幾何體為正方體． 連接C1D，則C1D∥BA1. ∴異面直線BA1與AC1所成的角為∠AC1D(或補角)， 在等邊△AC1D中，∠AC1D＝60.] 5．④ 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　證明線共點的問題實質(zhì)上是證明點在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點看作是兩平面的公共點，由公理3得證． (1)解　∵＝＝2，∴EF∥AC. ∴EF∥平面ACD.而EF?平面EFGH， 且平面EF

16、GH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH. 而EF∥AC，∴AC∥GH. ∴＝＝3，即AH∶HD＝3∶1. (2)證明　∵EF∥GH，且＝，＝， ∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形． 令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD， P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點． 變式遷移1　證明　∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD. 同理可證O∈平面BCD， ∴O∈平面ABD∩平面BCD， 即O∈BD，∴B、D、O三點共線． 例

17、2　解題導(dǎo)引　高考中對異面直線所成角的考查，一般出現(xiàn)在綜合題的某一步，求異面直線所成角的一般步驟為： (1)平移：選擇適當?shù)狞c，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置的點，如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點． (2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角． (3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之． (4)取舍：因為異面直線所成角θ的取值范圍是0<θ≤90，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為異面直線所成的角． D　[ 如圖，A1D⊥平面ABC，且D為BC的中點，設(shè)三棱柱的各棱長為1，則AD＝，由A1D⊥平面

18、ABC知A1D＝，Rt△A1BD中，易求A1B＝＝. ∵CC1∥AA1，∴AB與AA1所成的角即為AB與CC1所成的角．在△A1BA中，由余弦定理可知cos∠A1AB＝＝.∴AB與CC1所成的角的余弦值為.] 變式遷移2　解　 如圖所示，分別取AD、CD、AB、BD的中點E、F、G、H，連接EF、FH、HG、GE、GF. 由三角形的中位線定理知，EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角． 同理，GH∥AD，HF∥BC.GH＝，HF＝， 又AD⊥BC，∴∠GHF＝90，∴GF2＝GH2＋HF2＝1. 在△EFG中，EG2＋

19、EF2＝1＝GF2， ∴∠GEF＝90，即AC和BD所成的角為90. 課后練習(xí)區(qū) 1．D 2．C　[①錯，c可與a、b都相交； ②錯，因為a、c可能相交也可能平行； ③正確，例如過異面直線a、b的公垂線段的中點且與公垂線垂直的平面即可滿足條件．] 3．B　[ 將三角形折成三棱錐，如圖所示，HG與IJ為一對異面直線，過D分別作HG與IJ的平行線， 因GH∥DF， IJ∥AD， 所以∠ADF為所求， 因此HG與IJ所成角為60.] 4．C　[ 如圖所示，連接A1B，則A1B∥C D1故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B所成的角．設(shè)AB＝a，則A1E＝a

20、，A1B＝a， BE＝a. △A1BE中，由余弦定理得 cos∠A1BE＝ ＝＝.] 5．C　[設(shè)AC中點為O，則OE∥SC，連接BO，則∠BEO(或其補角)即為異面直線BE和SC所成的角， EO＝SC＝，BO＝BD＝， 在△SAB中，cos A＝＝＝ ＝，∴BE＝. 在△BEO中，cos∠BEO＝＝， ∴∠BEO＝60. ] 6．①③ 解析　把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，易知AB⊥EF，AB∥CM，EF與MN異面，MN⊥CD，故①③正確． 7．90 解析　延長A1B1至D，使A1B1＝B1D，則AB1∥BD， ∠MBD就是直線A

21、B1和BM所成的角．設(shè)三棱柱的各條棱長為2， 則BM＝，BD＝2， C1D2＝A1D2＋A1C－2A1DA1C1cos 60 ＝16＋4－24＝12. DM2＝C1D2＋C1M2＝13， ∴cos∠DBM＝＝0，∴∠DBM＝90. 8. 解析　如圖，取PB中點N，連接CN、MN. ∠CMN為PA與CM所成的角(或補角)， 設(shè)PA＝2，則CM＝， MN＝1，CN＝. ∴cos∠CMN＝＝. 9．證明　(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B， ∵E、F分別是AB和AA1的中點， ∴EF∥A1B，且EF＝A1B，(2分) 又∵A1D1綊BC， ∴四邊形A1B

22、CD1是平行四邊形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF與CD1確定一個平面α， ∴E，F(xiàn)，C，D1∈α， 即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(6分) (2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1， ∴四邊形CD1FE是梯形， ∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，(8分) 則P∈CE?平面ABCD，且P∈D1F?平面A1ADD1， ∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.(10分) 又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點．(12分) 10．解　如圖所示，連接QR并延長，分別與C1B1，C1D1的延長線交于E，F(xiàn)兩點．

23、連接EP交BB1于M點， 連接FP交DD1于N點． 再連接RM，QN，則五邊形PMRQN為過三點P，Q，R的截面．(3分) 由Q，R分別是邊A1D1，A1B1的中點，知△QRA1≌△ERB1，(6分) ∴B1E＝QA1＝a， 由△EB1M∽△EC1P， 知EM∶EP＝EB1∶EC1＝1∶3，(9分) PM＝EP＝＝a， 同理PN＝PM＝a， 易求RM＝QN＝a，QR＝a， ∴五邊形PMRQN的周長為a. (12分) 11．(1)證明　由已知有D1D⊥平面ABCD 得AC⊥D1D，又由ABCD是正方形， 得AC⊥BD，∵D1D與BD相交，∴AC⊥平面BDD1.(4分)

24、 (2)解　延長DC至G，使CG＝EB，連接BG、D1G， ∵CG綊EB，∴四邊形EBGC是平行四邊形． ∴BG∥EC. ∴∠D1BG就是異面直線BD1與CE所成的角．(6分) 在△D1BG中，D1B＝2， BG＝，D1G＝＝. ∴cos∠D1BG＝ ＝＝. ∴異面直線BD1與CE所成角的余弦值是.(8分) (3)解　連接A1B， ∵△A1AE≌△CBE，∴A1E＝CE＝. 又∵A1C＝2， ∴點E到A1C的距離d＝＝. ∴S△A1EC＝A1Cd＝， S△A1EB＝EBA1A＝1.(11分) 又∵VB—A1EC＝VC—A1EB， 設(shè)點B到平面A1EC的距離為h， ∴S△A1ECh＝S△A1EBCB，∴h＝2，h＝. ∴點B到平面A1EC的距離為.(14分) 12