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課時限時檢測(二十三) 正弦定理和余弦定理
(時間：60分鐘 滿分：80分)命題報告
考查知識點及角度
題號及難度
基礎
中檔
稍難
正弦定理
1,7
余弦定理
2
8
判斷三角形形狀
5
10
求三角形的面積
4
11
綜合應用
3
6,9
12
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.
若acos A＝bsin B，則sin Acos A＋cos2B＝( )
A．－ B. C．－1 D．1
【解析】 由a
2、cos A＝bsin B得sin Acos A＝sin2B，
∴sin Acos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
【答案】 D
2．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，則A的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，則cos A≥.因為0＜A＜π，所以0＜A≤.
【答案】 C
3．若△ABC中，6sin A＝4sin B＝3sin C，則cos B＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 由正弦定理得6a＝4
3、b＝3c，所以b＝a，c＝2a.
所以cos B＝＝＝.
【答案】 D
4．(2013·課標全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為( )
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D.－1
【解析】 ∵B＝，C＝，∴A＝π－B－C＝π－－＝.
由正弦定理＝，得＝，
即＝，
∴c＝2.
∴S△ABC＝bcsin A＝×2×2sin ＝＋1.
故選B.
【答案】 B
5．(2014·濰坊模擬)在△ABC中，內(nèi)角A、B的對邊分別是a、b，若＝，則△ABC為( )
A．
4、等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 法一 ∵＝＝，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，
∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
法二 ∵＝＝，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)．
∴a2c2－a4＝b2c2－b4.
即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.
∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0.
即a＝b或a2＋b2＝c2.
即△ABC為等腰三角形或直角三角形．
【答案】 C
6．(2013&
5、#183;課標全國卷Ⅰ)已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝( )
A．10 B．9
C．8 D．5
【解析】 由23cos2A＋cos 2A＝0得23cos2A＋2cos2A－1＝0，
解得cos A＝±.
∵A是銳角，∴cos A＝.
又a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴49＝b2＋ 36－2×b×6×，
∴b＝5或b＝－.
又∵b＞0，∴b＝5.
【答案】 D
二、填空題(每小題5分，共15分)
7．(2012·北京高考)
6、在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，則∠C的大小為________．
【解析】 在△ABC中，由正弦定理可知＝，
即sin B＝＝＝.
又∵a>b，∴∠B＝.
∴∠C＝π－∠A－∠B＝.
【答案】
8．(2012·湖北高考)設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則角C＝________.
【解析】 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，則cos C＝＝－.
又因為角C為△ABC的內(nèi)角，所以C＝.
【答案】
9．(2013·安徽高考)設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊
7、的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，則角C＝________.
【解析】 由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因為b＋c＝2a，
所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－.因為C∈(0，π)，所以C＝.
【答案】
三、解答題(本大題共3小題，共35分)
10．(10分)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B·sin C＝sin2A，試判斷△ABC的形狀．
【解】 (1)由已知得cos A＝＝＝，
又∠A是△ABC的內(nèi)角，∴A＝.
(2)
8、由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.
∴(b－c)2＝0，即b＝c.又A＝，∴△ABC是等邊三角形．
11．(12分)(2014·威海期中)△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asin A＋bsin B－csin C＝asin B.
(1)求角C；
(2)若a＋b＝5，S△ABC＝，求c的值．
【解】 (1)根據(jù)正弦定理＝＝，原等式可轉(zhuǎn)化為：
a2＋b2－c2＝ab，
cos C＝＝，
∴C＝60°.
(2)S△ABC＝absin C＝ab·＝，
∴ab＝6，
c2＝a2＋b2－2ab
9、83;cos C＝(a＋b)2－3ab＝25－18＝7，
∴c＝.
12．(13分)(2013·天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin的值．
【解】 (1)在△ABC中，由＝，可得bsin A＝asin B.
又由bsin A＝3csin B，可得a＝3c，又a＝3，
故c＝1.
由b2＝a2＋c2－2accos B，cos B＝，可得b＝.
(2)由cos B＝，得sin B＝，
進而得
cos 2B＝2cos2B－1＝－，
sin 2B＝2sin BcosB＝，
所以sin(2B－)＝sin 2Bcos －cos 2Bsin
＝.
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高三數(shù)學理,山東版一輪備課寶典 【第3章】課時限時檢測23
