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課時限時檢測(二十九) 數列的概念與簡單表示法
(時間：60分鐘 滿分：80分)命題報告
考查知識點及角度
題號及難度
基礎
中檔
稍難
求數列的通項公式
1,8
4
an與Sn間的關系
5,9,10
數列的性質
2,7
綜合應用
3
6,11
12
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．如圖5－1－1，關于星星的圖案中星星的個數構成一個數列，該數列的一個通項公式是( )
圖5－1－1
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝
【解析】 觀察所給圖案知，
2、an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
【答案】 C
2．在數列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數列最大項的值是( )
A．103 B.
C. D．108
【解析】 ∵an＝－22＋2＋3，
∴n＝7時，an最大．a7＝－272＋297＋3＝108.
【答案】 D
3．已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋2n，則a10＝( )
A．1 024 B．1 023
C．2 048 D．2 047
【解析】 ∵an＋1＝an＋2n，
∴an－an－1＝2n－1(n≥2)，
∴a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋
3、a1
＝29＋28＋…＋2＋1＝210－1＝1 023.
【答案】 B
4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數列{an}的通項公式是( )
A．2n－1 B.n－1
C．n2 D．n
【解析】 ∵an＝n(an＋1－an)，
∴＝，
∴an＝…a1＝…1＝n.
【答案】 D
5．(2014海淀模擬)數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，則a6＝( )
A．344 B．344＋1
C．45 D．45＋1
【解析】 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，n∈N*，
∴3Sn＝Sn＋1－Sn，則Sn＋1
4、＝4Sn，又S1＝a1＝1，
∴數列{Sn}是公比為4的等比數列．
∴Sn＝14n－1＝4n－1，從而a6＝S6－S5＝45－44＝344.
【答案】 A
6．(2014長沙模擬)對于數列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}為遞增數列”的( )
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】 充分性成立．理由如下：
∵|an|≥an，∴an＋1＞|an|≥an，
∴{an}為遞增數列．
必要性不成立．如數列－2,0,1，…
顯然a2＞|a1|不成立．
綜上可知，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”
5、是“{an}為遞增數列”的充分不必要條件．
【答案】 B
二、填空題(每小題5分，共15分)
7．已知數列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，則a16＝________.
【解析】 由題意知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此數列是以3為周期的周期數列，a16＝a35＋1＝a1＝.
【答案】
8．數列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N*，都有a1a2a3…an＝n2，則a3＋a5＝________.
【解析】 由題意知：a1a2a3…an－1＝(n－1)2，
∴an＝2(n≥2)，
∴a3＋a5＝2＋2＝.
【答案】
9．已知數列
6、{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*都有Sn＝an－，且1＜Sk＜9(k∈N*)，則a1的值為________，k的值為________．
【解析】 當n＝1時，a1＝a1－，∴a1＝－1.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－－
＝an－an－1，∴＝－2，
∴數列{an}是首項為－1，公比為－2的等比數列，
∴an＝－(－2)n－1，Sn＝－(－2)n－1－.
由1＜－(－2)k－1－＜9得－14＜(－2)k－1＜－2，
又k∈N*，∴k＝4.
【答案】?。? 4
三、解答題(本大題共3小題，共35分)
10．(10分)(2012大綱全國卷改編)已知數列{an}
7、中，a1＝1，前n項和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求數列{an}的通項公式．
【解析】 (1)∵Sn＝an，且a1＝1，
∴S2＝a2，即a1＋a2＝a2，得a2＝3.
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6.
(2)由題設知a1＝1.
當n≥2時，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理得an＝an－1，即＝，
于是＝3，＝，＝，…，＝，
以上n－1個式子的兩端分別相乘，得＝，
∴an＝，n≥2.
又a1＝1適合上式，故an＝，n∈N*.
11．(12分)已知數列{an}滿足前n項和Sn＝n2＋1，數列{bn}滿足bn＝，且前
8、n項和為Tn，設cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求數列{bn}的通項公式；
(2)判斷數列{cn}的增減性．
【解】 (1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴bn＝
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－＜0，
∴{cn}是遞減數列．
12．(13分)在數列{an}，{bn}中，a1＝2，an＋1－an＝6n＋2，點(，bn)在y＝x3＋mx的圖象上，{bn}的最小項為b3.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求m的取值范圍．
【解】 (1)∵an＋1－an＝6n＋2，
∴當n≥2時，an－an－
9、1＝6n－4.
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(6n－4)＋(6n－10)＋…＋8＋2
＝＋2
＝3n2－3n＋2n－2＋2
＝3n2－n，
顯然a1也滿足an＝3n2－n，
∴an＝3n2－n.
(2)∵點(，bn)在y＝x3＋mx的圖象上，
∴bn＝(3n－1)3＋m(3n－1)．
∴b1＝8＋2m，b2＝125＋5m，b3＝512＋8m，b4＝1 331＋11m.
∵{bn}的最小項是b3，
∴
∴－273≤m≤－129.
∵bn＋1＝(3n＋2)3＋m(3n＋2)，bn＝(3n－1)3＋m(3n－1)，
∴bn＋1－bn＝3[(3n＋2)2＋(3n－1)2＋(3n＋2)(3n－1)]＋3m＝3(27n2＋9n＋3＋m)，
當n≥4時，27n2＋9n＋3＞273，∴27n2＋9n＋3＋m＞0，
∴bn＋1－bn＞0，∴n≥4時，bn＋1＞bn.
綜上可知－273≤m≤－129，
∴m的取值范圍為[－273，－129]．
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高三數學理,山東版一輪備課寶典 【第5章】課時限時檢測29
