《高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航 四 轉(zhuǎn)化與化歸思想講學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航 四 轉(zhuǎn)化與化歸思想講學(xué)案 理（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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四、轉(zhuǎn)化與化歸思想
轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法．一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.
方法一 一般與特殊的轉(zhuǎn)化問題
模型解法
一般和特殊之間的轉(zhuǎn)化法是在解題的過程中將某些一般問題進(jìn)行特殊化處理或是將某些特殊問題進(jìn)行一般化處理的方法．此方法多用于選擇題和填空題的解答．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：
①確立轉(zhuǎn)化對(duì)象，一般將要解決的問題作為轉(zhuǎn)化對(duì)象．
②尋找轉(zhuǎn)化元素，由一般問題轉(zhuǎn)
2、化為特殊問題時(shí)，尋找“特殊元素”；由特殊問題轉(zhuǎn)化為一般問題時(shí)，尋找“一般元素”．
③轉(zhuǎn)化為新問題，根據(jù)轉(zhuǎn)化對(duì)象與“特殊元素”或“一般元素”的關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為新的需要解決的問題．
④得出結(jié)論，求解新問題，根據(jù)所得結(jié)論求解原問題，得出結(jié)論．
典例1 已知函數(shù)f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1,1]上的最小值為－3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1] B．[12，＋∞)
C．[－1,12] D.
解析 當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－3x，x∈[－1,1]，顯然滿足條件，故排除選項(xiàng)A，B；
當(dāng)a＝－時(shí)，函數(shù)f(x)＝x3－x，
f′(x)＝x2－＝(x2－1)，
3、當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f′(x)≤0，
所以f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，
所以f(x)min＝f(1)＝－＝－3，滿足條件，
故排除C.
綜上，故選D.
答案 D
思維升華 常用的“特殊元素”有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．對(duì)于選擇題，在題設(shè)條件都成立的情況下，用特殊值探求正確選項(xiàng)，即通過對(duì)特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律；對(duì)于填空題，當(dāng)結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以用特殊值代替變化的不定量．
跟蹤演練1 若x，y滿足約束條件
則的取值范圍為( )
A.
B.
C.∪
D.∪[1，＋∞)
答案 B
解析 可行域
4、為如圖所示的陰影部分，設(shè)z＝，因?yàn)辄c(diǎn)(－2，－1)在可行域內(nèi)，所以z＝＝0，排除C，D；又點(diǎn)A(0，－2)在可行域內(nèi)，所以z＝＝1，排除A.
方法二 數(shù)與形的轉(zhuǎn)化問題
模型解法
數(shù)與形的轉(zhuǎn)化包含由數(shù)到形和由形到數(shù)兩個(gè)方面．由數(shù)到形就是把問題的數(shù)量信息轉(zhuǎn)換為圖形信息，由形到數(shù)就是把圖形信息進(jìn)行代數(shù)化處理，用數(shù)量關(guān)系刻畫事物的本質(zhì)特征，從而得解．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：
①數(shù)形轉(zhuǎn)化，確定需要等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)量關(guān)系(解析式)與圖形關(guān)系．
②轉(zhuǎn)化求解，通過降維等方式合理轉(zhuǎn)化，使問題簡(jiǎn)單化并進(jìn)行分析與求解．
③回歸結(jié)論，回歸原命題，得出正確結(jié)論．
典例2 某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過
5、切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件的材料利用率為(材料利用率＝新工件的體積/原工件的體積)( )
A. B.
C. D.
解析 由三視圖知該幾何體是一個(gè)底面半徑為r＝1，母線長(zhǎng)為l＝3的圓錐，則圓錐的高為h＝＝＝2.
由題意知加工成的體積最大的正方體ABCD—A1B1C1D1的一個(gè)底面A1B1C1D1在圓錐的底面上，過平面AA1C1C的軸截面如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，
則有＝，
即＝，解得x＝，
則原工件的材料利用率為
＝＝，故選A.
答案 A
思維升華 數(shù)與形轉(zhuǎn)化問題，特別是空間轉(zhuǎn)化問題，往往在解決空間幾
6、何體問題的過程中將某些空間幾何體問題進(jìn)行特殊化處理，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來處理，降低維度，簡(jiǎn)化求解過程，降低難度．
跟蹤演練2 已知直線l：y＝kx＋1(k≠0)與橢圓3x2＋y2＝a相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，記直線l與y軸的交點(diǎn)為C.
(1)若k＝1，且|AB|＝，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若＝2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最大值及此時(shí)橢圓的方程．
解 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由
得4x2＋2x＋1－a＝0，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
從而|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝，
解得a＝2.
(2)由
得(3＋k2)x
7、2＋2kx＋1－a＝0，
則x1＋x2＝－，x1x2＝.
易知C(0,1)，由＝2，
得(－x1，1－y1)＝2(x2，y2－1)，
解得x1＝－2x2，
所以x1＋x2＝－x2＝－，
則x2＝.
△AOB的面積S△AOB＝|OC|·|x1－x2|
＝|x2|＝＝≤＝，
當(dāng)且僅當(dāng)k2＝3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x2＝，
x1x2＝－2x＝－2×＝－，
又x1x2＝＝，則＝－，解得a＝5.
所以△AOB面積的最大值為，
此時(shí)橢圓的方程為3x2＋y2＝5.
方法三 形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化問題
模型解法
形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化法是針對(duì)幾何問題采用的一種特殊轉(zhuǎn)化方法．
8、主要適用于涉及平行、垂直的證明，如常見線面平行、垂直的推理與證明實(shí)際就是充分利用線面位置關(guān)系中的判定定理、性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：
①分析特征，一般要分析形體特征，根據(jù)形體特征確立需要轉(zhuǎn)化的對(duì)象．
②位置轉(zhuǎn)化，將不規(guī)則幾何體通過切割、挖補(bǔ)、延展等方式轉(zhuǎn)化為便于觀察、計(jì)算的常見幾何體．由于新的幾何體是轉(zhuǎn)化而來，一般需要對(duì)新的幾何體的位置關(guān)系、數(shù)據(jù)情況進(jìn)行必要分析，準(zhǔn)確理解新的幾何體的特征．
③得出結(jié)論，在新的幾何結(jié)構(gòu)中解決目標(biāo)問題．
典例3 如圖，已知三棱錐P—ABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，則三棱錐P—ABC的體積為__________
9、．
解析 因?yàn)槿忮F三組對(duì)邊兩兩相等，則可將三棱錐放在一個(gè)特定的長(zhǎng)方體中(如圖所示)．
把三棱錐P—ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體AEBG—FPDC，
易知三棱錐P—ABC的各棱分別是長(zhǎng)方體的面對(duì)角線．
不妨令PE＝x，EB＝y(tǒng)，EA＝z，
由已知有
解得x＝6，y＝8，z＝10，
從而知三棱錐P—ABC的體積為
V三棱錐P—ABC＝V長(zhǎng)方體AEBG—FPDC－V三棱錐P—AEB－V三棱錐C—ABG－V三棱錐B—PDC－V三棱錐A—FPC
＝V長(zhǎng)方體AEBG－FPDC－4V三棱錐P—AEB＝6×8×10－4××6×8×10＝1
10、60.
答案 160
思維升華 形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化常將空間問題平面化、不規(guī)則幾何體特殊化，使問題易于解決．同時(shí)也要注意方法的選取，否則會(huì)跳入自己設(shè)的“陷阱”中．
跟蹤演練3 如圖，在棱長(zhǎng)為5的正方體ABCD—A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝2，點(diǎn)Q是A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體PQEF的體積( )
A．是變量且有最大值
B．是變量且有最小值
C．是變量且有最大值和最小值
D．是常數(shù)
答案 D
解析 點(diǎn)Q到棱AB的距離為常數(shù)，所以△EFQ的面積為定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以點(diǎn)P到平面EFQ的距離是常數(shù)，于是可得四面體PQEF的體積為常數(shù)．
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