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四、轉化與化歸思想
轉化與化歸思想，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而得到解決的一種方法．一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.
方法一 一般與特殊的轉化問題
模型解法
一般和特殊之間的轉化法是在解題的過程中將某些一般問題進行特殊化處理或是將某些特殊問題進行一般化處理的方法．此方法多用于選擇題和填空題的解答．破解此類題的關鍵點：
①確立轉化對象，一般將要解決的問題作為轉化對象．
②尋找轉化元素，由一般問題轉
2、化為特殊問題時，尋找“特殊元素”；由特殊問題轉化為一般問題時，尋找“一般元素”．
③轉化為新問題，根據(jù)轉化對象與“特殊元素”或“一般元素”的關系，將其轉化為新的需要解決的問題．
④得出結論，求解新問題，根據(jù)所得結論求解原問題，得出結論．
典例1 已知函數(shù)f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1,1]上的最小值為－3，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1] B．[12，＋∞)
C．[－1,12] D.
解析 當a＝0時，函數(shù)f(x)＝－3x，x∈[－1,1]，顯然滿足條件，故排除選項A，B；
當a＝－時，函數(shù)f(x)＝x3－x，
f′(x)＝x2－＝(x2－1)，
3、當－1≤x≤1時，f′(x)≤0，
所以f(x)在[－1,1]上單調遞減，
所以f(x)min＝f(1)＝－＝－3，滿足條件，
故排除C.
綜上，故選D.
答案 D
思維升華 常用的“特殊元素”有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．對于選擇題，在題設條件都成立的情況下，用特殊值探求正確選項，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律；對于填空題，當結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以用特殊值代替變化的不定量．
跟蹤演練1 若x，y滿足約束條件
則的取值范圍為( )
A.
B.
C.∪
D.∪[1，＋∞)
答案 B
解析 可行域
4、為如圖所示的陰影部分，設z＝，因為點(－2，－1)在可行域內，所以z＝＝0，排除C，D；又點A(0，－2)在可行域內，所以z＝＝1，排除A.
方法二 數(shù)與形的轉化問題
模型解法
數(shù)與形的轉化包含由數(shù)到形和由形到數(shù)兩個方面．由數(shù)到形就是把問題的數(shù)量信息轉換為圖形信息，由形到數(shù)就是把圖形信息進行代數(shù)化處理，用數(shù)量關系刻畫事物的本質特征，從而得解．破解此類題的關鍵點：
①數(shù)形轉化，確定需要等價轉化的數(shù)量關系(解析式)與圖形關系．
②轉化求解，通過降維等方式合理轉化，使問題簡單化并進行分析與求解．
③回歸結論，回歸原命題，得出正確結論．
典例2 某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過
5、切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內，則原工件的材料利用率為(材料利用率＝新工件的體積/原工件的體積)( )
A. B.
C. D.
解析 由三視圖知該幾何體是一個底面半徑為r＝1，母線長為l＝3的圓錐，則圓錐的高為h＝＝＝2.
由題意知加工成的體積最大的正方體ABCD—A1B1C1D1的一個底面A1B1C1D1在圓錐的底面上，過平面AA1C1C的軸截面如圖所示，設正方體的棱長為x，
則有＝，
即＝，解得x＝，
則原工件的材料利用率為
＝＝，故選A.
答案 A
思維升華 數(shù)與形轉化問題，特別是空間轉化問題，往往在解決空間幾
6、何體問題的過程中將某些空間幾何體問題進行特殊化處理，轉化為平面幾何問題來處理，降低維度，簡化求解過程，降低難度．
跟蹤演練2 已知直線l：y＝kx＋1(k≠0)與橢圓3x2＋y2＝a相交于A，B兩個不同的點，記直線l與y軸的交點為C.
(1)若k＝1，且|AB|＝，求實數(shù)a的值；
(2)若＝2，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值及此時橢圓的方程．
解 設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由
得4x2＋2x＋1－a＝0，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
從而|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝，
解得a＝2.
(2)由
得(3＋k2)x
7、2＋2kx＋1－a＝0，
則x1＋x2＝－，x1x2＝.
易知C(0,1)，由＝2，
得(－x1，1－y1)＝2(x2，y2－1)，
解得x1＝－2x2，
所以x1＋x2＝－x2＝－，
則x2＝.
△AOB的面積S△AOB＝|OC|·|x1－x2|
＝|x2|＝＝≤＝，
當且僅當k2＝3時取等號，此時x2＝，
x1x2＝－2x＝－2×＝－，
又x1x2＝＝，則＝－，解得a＝5.
所以△AOB面積的最大值為，
此時橢圓的方程為3x2＋y2＝5.
方法三 形體位置關系的轉化問題
模型解法
形體位置關系的轉化法是針對幾何問題采用的一種特殊轉化方法．
8、主要適用于涉及平行、垂直的證明，如常見線面平行、垂直的推理與證明實際就是充分利用線面位置關系中的判定定理、性質定理實現(xiàn)位置關系的轉化．破解此類題的關鍵點：
①分析特征，一般要分析形體特征，根據(jù)形體特征確立需要轉化的對象．
②位置轉化，將不規(guī)則幾何體通過切割、挖補、延展等方式轉化為便于觀察、計算的常見幾何體．由于新的幾何體是轉化而來，一般需要對新的幾何體的位置關系、數(shù)據(jù)情況進行必要分析，準確理解新的幾何體的特征．
③得出結論，在新的幾何結構中解決目標問題．
典例3 如圖，已知三棱錐P—ABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，則三棱錐P—ABC的體積為__________
9、．
解析 因為三棱錐三組對邊兩兩相等，則可將三棱錐放在一個特定的長方體中(如圖所示)．
把三棱錐P—ABC補成一個長方體AEBG—FPDC，
易知三棱錐P—ABC的各棱分別是長方體的面對角線．
不妨令PE＝x，EB＝y(tǒng)，EA＝z，
由已知有
解得x＝6，y＝8，z＝10，
從而知三棱錐P—ABC的體積為
V三棱錐P—ABC＝V長方體AEBG—FPDC－V三棱錐P—AEB－V三棱錐C—ABG－V三棱錐B—PDC－V三棱錐A—FPC
＝V長方體AEBG－FPDC－4V三棱錐P—AEB＝6×8×10－4××6×8×10＝1
10、60.
答案 160
思維升華 形體位置關系的轉化常將空間問題平面化、不規(guī)則幾何體特殊化，使問題易于解決．同時也要注意方法的選取，否則會跳入自己設的“陷阱”中．
跟蹤演練3 如圖，在棱長為5的正方體ABCD—A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝2，點Q是A1D1的中點，點P是棱C1D1上的動點，則四面體PQEF的體積( )
A．是變量且有最大值
B．是變量且有最小值
C．是變量且有最大值和最小值
D．是常數(shù)
答案 D
解析 點Q到棱AB的距離為常數(shù)，所以△EFQ的面積為定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以點P到平面EFQ的距離是常數(shù)，于是可得四面體PQEF的體積為常數(shù)．
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高考數(shù)學二輪復習 考前數(shù)學思想領航 四 轉化與化歸思想講學案 理
